Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Graph eine gerade Linie ist. Das Wort kommt vom lateinischen linea, „Linie“. Lineare Funktionen beschreiben alles, was gleichmäßig wächst oder abnimmt. Ein Handytarif zeigt das gut: Er kostet 5 € Grundgebühr im Monat plus 3 € für jedes Gigabyte. Bei x Gigabyte zahlst du K(x) = 3x + 5 Euro. Mit jedem weiteren Gigabyte steigt der Preis um dieselben 3 €.

Auf dieser Seite lernst du die beiden Zahlen kennen, die eine Gerade festlegen: die Steigung und den y-Achsenabschnitt. Du zeichnest Geraden, rechnest die Steigung aus zwei Punkten aus, stellst Funktionsgleichungen auf und bestimmst Nullstelle und Schnittpunkte. Was eine Funktion überhaupt ist, steht auf der Seite Funktionen. Dort findest du auch die Schreibweise f(x).

Definition und Schreibweise

Die Gleichung einer linearen Funktion hat immer dieselbe Form. Es gibt nur zwei Zahlen, die du frei wählen kannst.

Bei K(x) = 3x + 5 ist m = 3 und b = 5. Als Eingaben sind alle Zahlen erlaubt, der Definitionsbereich ist also alle reellen Zahlen (bei Sachaufgaben wie dem Tarif natürlich nur sinnvolle Werte wie x ≥ 0). Die lineare Funktion ist der einfachste Typ im Überblick der Funktionstypen.

Wertetabelle: Punkte der Geraden

Um eine Gerade zu zeichnen, berechnest du einige Funktionswerte und trägst sie in eine Wertetabelle ein. Für die Funktion f(x) = 2x − 1:

Beachte: Wenn x um 1 größer wird, wird f(x) immer um genau 2 größer. Diese gleichmäßige Zunahme macht die Funktion linear. Und bei x = 0 steht der Wert −1, das ist der y-Achsenabschnitt b.

Steigung und y-Achsenabschnitt

Die Steigung m sagt, wie steil die Gerade ist und in welche Richtung sie läuft. Sie gibt an, um wie viel y sich ändert, wenn x um 1 größer wird. Der y-Achsenabschnitt b sagt, wo die Gerade die y-Achse schneidet, nämlich im Punkt (0 | b).

Das Steigungsdreieck

Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das du an die Gerade zeichnest. Du gehst von einem Punkt auf der Geraden waagerecht ein Stück nach rechts (Δx, gesprochen „Delta x“) und dann senkrecht bis zur Geraden zurück (Δy). Das Zeichen Δ steht für „Änderung“. Die Steigung ist das Verhältnis der beiden Seiten:

In der Zeichnung geht das Dreieck von (1 | 1) nach rechts bis (2 | 1) und dann nach oben bis (2 | 3). Es ist Δx = 1 und Δy = 2, also m = 2 : 1 = 2. Das passt zu f(x) = 2x − 1.

Eine Gerade zeichnen

Mit der Gleichung y = mx + b zeichnest du eine Gerade in drei Schritten, ganz ohne lange Wertetabelle:

1. Markiere den y-Achsenabschnitt: den Punkt (0 | b) auf der y-Achse.
2. Lies m als Bruch: Bei m = 2 ist es 2/1, also 1 nach rechts und 2 nach oben. Bei m = ½ geht man 2 nach rechts und 1 nach oben. Bei negativem m geht man nach unten.
3. Zeichne vom y-Achsenabschnitt aus das Steigungsdreieck, markiere den neuen Punkt und ziehe mit dem Lineal die Gerade durch beide Punkte, über sie hinaus in beide Richtungen.

Steigend, fallend, waagerecht

Das Vorzeichen von m verrät sofort die Richtung der Geraden:

• m > 0: Die Gerade steigt von links nach rechts. Je größer m, desto steiler.
• m < 0: Die Gerade fällt.
• m = 0: Die Gerade ist waagerecht, f(x) = b. Jede Eingabe liefert denselben Wert.

Ist b = 0, geht die Gerade durch den Ursprung. Dann ist f(x) = mx, und du hast eine direkte Proportionalität vor dir: Verdoppelst du x, verdoppelt sich auch y. Jede Proportionalität ist also eine lineare Funktion, aber nicht umgekehrt.

Die Gleichung aus zwei Punkten aufstellen

Sind zwei Punkte der Geraden bekannt, findest du die Funktionsgleichung in zwei Schritten: Erst berechnest du m, dann setzt du einen der Punkte in y = mx + b ein und löst nach b auf.

Genauso geht es mit P(1 | 1) und Q(4 | 7): m = 2, dann 1 = 2 · 1 + b, also b = −1 und f(x) = 2x − 1. Das ist die Gerade aus der ersten Zeichnung. Eine Gerade ist durch zwei verschiedene Punkte eindeutig festgelegt, mit einem Punkt allein bleibt die Steigung offen.

Die Nullstelle

Die Nullstelle ist die Stelle x, an der die Gerade die x-Achse schneidet, also f(x) = 0. Du löst die Gleichung mx + b = 0, wie auf der Seite Gleichungen lösen beschrieben:

Für f(x) = 2x − 1 gilt: 2x − 1 = 0, also 2x = 1 und x = ½. Für f(x) = −x + 3 ist die Nullstelle x = 3. Eine waagerechte Gerade (m = 0) hat keine Nullstelle, außer sie liegt auf der x-Achse.

Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei Geraden mit verschiedener Steigung schneiden sich in genau einem Punkt. Dort haben beide denselben x- und denselben y-Wert. Du findest ihn, indem du die Funktionsterme gleichsetzt. Rechne für f(x) = 2x − 1 und g(x) = x + 2:

2x − 1 = x + 2. Ziehe auf beiden Seiten x ab und addiere 1: x = 3. Einsetzen: f(3) = 2 · 3 − 1 = 5. Der Schnittpunkt ist S(3 | 5). Probe mit g: 3 + 2 = 5. Das stimmt.

Mehr dazu, auch mit Sonderfällen und weiteren Verfahren, steht auf der Seite Lineare Gleichungssysteme.

Parallele und senkrechte Geraden

Die Steigung verrät auch, wie zwei Geraden zueinander liegen:

• Parallel sind Geraden mit gleicher Steigung: m₁ = m₂. Zum Beispiel y = 2x − 1 und y = 2x + 3. Sie schneiden sich nie.
• Senkrecht (im rechten Winkel) stehen Geraden, wenn das Produkt der Steigungen −1 ergibt: m₁ · m₂ = −1. Zum Beispiel y = 2x − 1 und y = −½x + 4, denn 2 · (−½) = −1.

Die zweite Regel gilt, wenn beide Achsen dieselbe Einteilung haben. Aus der Steigung m erhältst du die Steigung der senkrechten Geraden, indem du den Kehrwert bildest und das Vorzeichen wechselst: aus 3 wird −⅓, aus −¼ wird 4.

Übungen

Ausblick: Steigung bei anderen Kurven

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei gekrümmten Kurven ändert sie sich von Punkt zu Punkt. Genau dieses Problem löst die Ableitung: Sie gibt die Steigung der Tangente in jedem Punkt an. Das Steigungsdreieck, das du hier kennengelernt hast, ist der erste Schritt dorthin.

Geschichte: Geraden im Koordinatensystem

Gerade Linien kannte schon Euklid, doch Gleichungen für sie gab es lange nicht. Um 1350 zeichnete Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382) die Änderung von Größen als Bilder, eine frühe Vorstufe des Graphen. Um 1636 zeigte Pierre de Fermat (1607–1665), dass eine Gleichung ersten Grades in zwei Unbekannten eine Gerade beschreibt. Etwa zur gleichen Zeit verband René Descartes (1596–1650) in seinem Werk La Géométrie (1637) Algebra und Geometrie. Nach ihm heißt das Koordinatensystem „kartesisch“.

Wie aus diesen Bausteinen der Funktionsbegriff wuchs, erzählt der Abschnitt Geschichte des Funktionsbegriffs.

Häufige Fragen

Woran erkenne ich eine lineare Funktion?

An der Form mx + b: x kommt nur in der ersten Potenz vor, nicht als x², nicht im Nenner und nicht unter einer Wurzel. In der Wertetabelle ändert sich y bei gleichen x-Schritten immer um denselben Betrag.

Ist jede Gerade der Graph einer Funktion?

Nein. Eine senkrechte Gerade, zum Beispiel x = 2, ist keine Funktion, denn zu x = 2 gehören unendlich viele y-Werte. Eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Lineare Funktion
• MacTutor History of Mathematics: René Descartes (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Nicole Oresme (englisch)
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.