Potenzen und Potenzgesetze: Regeln einfach erklärt

Potenzen sind eine Kurzschreibweise für wiederholtes Multiplizieren: Statt 2 · 2 · 2 · 2 · 2 schreibst du 2⁵ und liest „zwei hoch fünf“. Das Ergebnis ist 32. Potenzen begegnen dir bei Flächen (ein Quadratmeter ist „Meter hoch zwei“), bei der Speichergröße deines Handys, beim Zinseszins und in fast allen Naturwissenschaften.

Hier lernst du, wie du mit Potenzen rechnest und was Exponenten wie 0, −3 oder ½ bedeuten. Am Ende erfährst du, wer die hochgestellten Zahlen eingeführt hat und ob die Geschichte von den Weizenkörnern auf dem Schachbrett stimmt. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Was ist eine Potenz?

Eine Potenz besteht aus zwei Zahlen. Die untere, große Zahl heißt Basis (oder Grundzahl). Sie sagt dir, welche Zahl du multiplizierst. Die kleine, hochgestellte Zahl heißt Exponent (oder Hochzahl). Sie sagt dir, wie oft die Basis als Faktor auftritt. Das Ergebnis ist der Potenzwert. Im Alltag nennt man oft auch den ganzen Ausdruck „Potenz“.

Zwei Exponenten haben eigene Namen. „Hoch zwei“ heißt Quadrat, nach der Fläche eines Quadrats (mehr bei den Quadratzahlen). „Hoch drei“ heißt Kubikzahl, nach dem Volumen eines Würfels. Das Wort „Potenz“ selbst stammt vom lateinischen potentia (Macht, Kraft).

Rechenregeln für Potenzen: die Potenzgesetze

Mit Potenzen rechnest du nach festen Regeln, den Potenzgesetzen. Alle lassen sich aus der Definition herleiten: Du schreibst die Potenzen als Produkte aus und zählst die Faktoren.

Die Potenzgesetze im Überblick
Regel	Formel	Beispiel
Gleiche Basis, multiplizieren	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$
Gleiche Basis, dividieren	$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$5^{6} : 5^{2} = 5^{4}$
Potenz einer Potenz	${(a^{m})}^{n} = a^{m \cdot n}$	${(3^{2})}^{3} = 3^{6}$
Gleicher Exponent, multiplizieren	$a^{n} \cdot b^{n} = {(a \cdot b)}^{n}$	$2^{3} \cdot 5^{3} = 10^{3}$
Gleicher Exponent, dividieren	$a^{n} : b^{n} = {(a : b)}^{n}$	$12^{4} : 4^{4} = 3^{4}$

Potenzen multiplizieren

Haben zwei Potenzen die gleiche Basis, addierst du die Exponenten. Der Grund: 2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2). Das sind insgesamt 3 + 4 = 7 Faktoren, also 2⁷.

Haben zwei Potenzen den gleichen Exponenten, multiplizierst du die Basen und behältst den Exponenten. Denn 2³ · 5³ = (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 10³.

Potenzen dividieren

Bei gleicher Basis subtrahierst du die Exponenten. Das ist Kürzen: Von sechs Fünfern im Zähler fallen zwei gegen die zwei im Nenner weg, vier bleiben. Also ist 5⁶ : 5² = 5⁴ = 625.

Bei gleichem Exponenten dividierst du die Basen: 12⁴ : 4⁴ = (12 : 4)⁴ = 3⁴ = 81.

Potenz einer Potenz

Wird eine Potenz erneut potenziert, multiplizierst du die Exponenten. Es ist (3²)³ = 3² · 3² · 3² = 3⁶ = 729.

Potenzen addieren und subtrahieren

Bei Summen und Differenzen ist alles anders als beim Multiplizieren. Es gibt kein Potenzgesetz, das Potenzen mit verschiedenen Exponenten zusammenfasst. Du darfst nur gleichartige Potenzen verrechnen, also solche mit gleicher Basis und gleichem Exponenten. Das gleicht den gleichartigen Termen: Drei Äpfel plus fünf Äpfel sind acht Äpfel.

Potenzen addieren

Gleichartige Potenzen addierst du, indem du die Vorfaktoren addierst: 3x² + 5x² = 8x². Der Exponent bleibt unverändert. Bei Zahlen gilt 2³ + 2³ = 2 · 2³ = 2⁴ = 16.

Bei ungleichen Exponenten rechnest du die Potenzen aus oder klammerst den gemeinsamen Faktor aus: 2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24. Mit Ausklammern: 2³ · (1 + 2) = 8 · 3 = 24.

Potenzen subtrahieren

Auch hier verrechnest du nur gleichartige Potenzen: 7a³ − 2a³ = 5a³. Bei verschiedenen Exponenten rechnest du aus oder klammerst aus: 3⁴ − 3² = 81 − 9 = 72, mit Ausklammern 3² · (3² − 1) = 9 · 8 = 72. Eine besondere Differenz ist 5² − 3² = 16. Sie lässt sich als (5 − 3) · (5 + 3) = 2 · 8 schreiben, mehr dazu bei der Differenz zweier Quadrate.

Null und negative Exponenten

Was soll 2⁰ bedeuten? Null Faktoren zu multiplizieren, klingt unsinnig. Die Mathematik löst das mit einer Festlegung: Die Potenzgesetze sollen auch für Exponenten wie 0 und −3 gelten. Daraus ergibt sich zwangsläufig, was diese Potenzen bedeuten.

Null als Exponent

Jede Zahl durch sich selbst geteilt ergibt 1. Es ist also 5³ : 5³ = 125 : 125 = 1. Nach dem Divisionsgesetz gilt aber auch 5³ : 5³ = 5³⁻³ = 5⁰. Beides zusammen ergibt 5⁰ = 1.

Negative Exponenten

Dividierst du eine kleine Potenz durch eine große, wird der Exponent negativ. Es ist 2³ : 2⁵ = 8 : 32 = $\frac{1}{4}$ . Nach dem Gesetz gilt aber auch 2³⁻⁵ = 2⁻². Also muss 2⁻² der Bruch $\frac{1}{4}$ = 1 : 2² sein.

Das Muster siehst du bei den Zweierpotenzen: Pro Zeile nach unten sinkt der Exponent um 1, und der Wert halbiert sich. Das setzt sich über die Null hinaus fort.

Zweierpotenzen mit positiven, null und negativen Exponenten
Potenz	Bruch	Wert
2⁴	16	16
2³	8	8
2²	4	4
2¹	2	2
2⁰	1	1
2⁻¹	$\frac{1}{2}$	0,5
2⁻²	$\frac{1}{4}$	0,25
2⁻³	$\frac{1}{8}$	0,125

Wurzeln als Potenzen

Die Wurzel ist die Umkehrung des Potenzierens. Es ist √9 = 3, weil 3² = 9 gilt (mehr dazu bei den Quadratwurzeln). Entsprechend ist die dritte Wurzel von 8 gleich 2, weil 2³ = 8 ist. Allgemein ist die n-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ die nicht negative Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt. Dabei ist a ≥ 0.

Gebrochene (rationale) Exponenten

Wie passt ein Bruch in den Exponenten? Auch hier sollen die Potenzgesetze gelten. Angenommen, a^1/2 ist eine Zahl. Dann gilt nach dem Gesetz für die Potenz einer Potenz: (a^1/2)² = a^{1/2 · 2} = a¹ = a. Eine Zahl, die quadriert a ergibt, ist aber genau √a. Also gilt a^1/2 = √a. Das Argument gilt für jede Wurzel.

Auch das Rechnen mit Wurzeln wird einfacher. Aus (a · b)^1/2 = a^1/2 · b^1/2 folgt zum Beispiel √(a · b) = √a · √b. Dieses Gesetz brauchst du, wenn du Radikale multiplizierst.

Zweierpotenzen und Computer

Ein Bit, die kleinste Einheit im Computer, hat nur zwei Zustände: 0 oder 1. Mit n Bits lassen sich deshalb 2ⁿ verschiedene Muster bilden. Darum begegnen dir Zweierpotenzen bei Farbtiefen, Speichergrößen und Netzwerkadressen.

Wichtige Zweierpotenzen und wo du ihnen begegnest
Exponent n	Wert 2ⁿ	Beispiel
0	1	ein einziger Zustand
1	2	ein Bit: aus oder an
2	4	zwei Bits, vier Muster
3	8	ein Byte besteht aus 8 Bit
4	16	eine Hexadezimalziffer
6	64	Felder auf dem Schachbrett
7	128	Zeichen im ASCII-Code
8	256	Werte, die ein Byte annehmen kann (0 bis 255)
10	1.024	fast tausend, praktisch für Schätzungen
16	65.536	Werte mit 16 Bit
24	16.777.216	Farben bei 24 Bit Farbtiefe
32	4.294.967.296	mögliche Adressen im alten Internetprotokoll IPv4
64	18.446.744.073.709.551.616	über 18 Trillionen

Eine Faustregel erleichtert das Schätzen: 2¹⁰ = 1.024 liegt nahe bei 10³ = 1.000 (nur 2,4 % Unterschied). Deshalb ist 2²⁰ ungefähr eine Million. Die letzte Zeile der Tabelle führt dich zur Schachbrett-Legende weiter unten.

Typische Fehler bei Potenzen

Geschichte: Wie die hochgestellte Zahl entstand

Vom Quadrat zur Hochzahl

Schon in der babylonischen Mathematik gab es Tafeln mit Quadraten und Kuben. Die Griechen dachten in Figuren: „hoch zwei“ war ein Quadrat, „hoch drei“ ein Würfel. Höhere Potenzen ließen sich nicht mehr zeichnen. Diophant von Alexandria (3. Jahrhundert n. Chr.) half sich mit Wortzeichen: dynamis für x², kybos für x³ und dynamodynamis („Quadrat-Quadrat“) für x⁴. Selbst François Viète schrieb um 1600 noch Wörter wie A quadratus und A cubus.

Oresme und die gebrochenen Exponenten

Erstaunlich früh dachte Nikolaus von Oresme weiter. Um 1360 rechnete er in seiner Schrift De proportionibus proportionum („Über die Verhältnisse der Verhältnisse“) mit Verhältnissen, wie sie in der Musik und der Mechanik vorkommen. Ein Verhältnis zu verdoppeln heißt, es zu quadrieren. Oresme fragte, was es bedeutet, ein Verhältnis zu halbieren oder anderthalbmal zu nehmen. Das Anderthalbfache des Verhältnisses 4 : 1 ist bei ihm 8 : 1, in unserer Schreibweise 4^3/2 = 8. Seine Regeln entsprachen unseren Potenzgesetzen, seine Schreibweise war aber umständlich.

Descartes und die Exponentenschreibweise

Im 15. und 16. Jahrhundert gab es viele Schreibweisen nebeneinander. Der Franzose Nicolas Chuquet notierte 1484 kleine Zahlen als Exponenten, sogar die Null und negative Zahlen. Durchgesetzt hat sich die Form von René Descartes. In seinem Werk La Géométrie (1637) schrieb er Potenzen mit hochgestellten Zahlen, etwa a³ oder a⁴. Nur das Quadrat schrieb er meist noch als aa. Die lateinische Ausgabe von 1649 verbreitete diese Schreibweise in ganz Europa.

Negative und gebrochene Exponenten setzten sich erst später durch. John Wallis erklärte Mitte des 17. Jahrhunderts, was solche Hochzahlen bedeuten sollten. Isaac Newton schrieb in Briefen von 1676 Ausdrücke wie a^1/2 statt der Wurzel. Damit war die Schreibweise von heute vollständig. Die Umkehrung des Potenzierens findest du bei den Logarithmen.

Die Schachbrett-Legende

Die bekannteste Geschichte über Potenzen handelt vom Schachspiel. Der Erfinder darf sich vom König eine Belohnung wünschen. Er bittet um Weizenkörner: ein Korn auf das erste Feld des Schachbretts, zwei auf das zweite, vier auf das dritte und auf jedes weitere Feld doppelt so viele wie auf das vorige. Der König lacht über den bescheidenen Wunsch.

Auf dem n-ten Feld liegen 2ⁿ⁻¹ Körner, auf dem 64. Feld also 2⁶³ = 9.223.372.036.854.775.808. Insgesamt sind es 1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18.446.744.073.709.551.615 Körner. Bei etwa 50 g pro 1.000 Körner wiegt der Haufen rund 900 Milliarden Tonnen. Die weltweite Weizenernte beträgt etwa 800 Millionen Tonnen pro Jahr, es wären also über tausend Jahresernten.

Quellen und weiterführende Literatur

Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, Open Court, Chicago 1928–1929 (Nachdruck Dover, New York 1993).
MacTutor History of Mathematics: Nicole Oresme (englisch)
MacTutor History of Mathematics: René Descartes (englisch)
Wikipedia: Potenz (Mathematik)