Prozentrechnung

Prozent heißt „von Hundert“. Ein Prozent ist ein Hundertstel eines Ganzen: 1 % von 200 € sind 2 €. Prozentangaben begegnen dir beim Rabatt im Laden, bei der Mehrwertsteuer, bei Zinsen, in Umfragen und auf dem Akku deines Handys. Sie machen Anteile vergleichbar, weil sie sich immer auf 100 beziehen.

Hier lernst du, Prozente in Brüche und Dezimalzahlen umzuwandeln und die drei Grundaufgaben zu lösen. Dazu kommen prozentuale Veränderungen, einfache Zinsen und die häufigsten Denkfehler. Am Ende erfährst du, woher das Zeichen % stammt. Die Seite gehört zur Arithmetik.

Was bedeutet Prozent?

Das Wort stammt vom lateinischen pro centum, „für hundert“. Sind von 100 Feldern 35 gefüllt, sind das 35 Prozent, geschrieben 35 %. Ein Prozentwert ist immer ein Bruch mit dem Nenner 100.

Prozent in Bruch umwandeln

Schreibe die Prozentzahl über den Nenner 100 und kürze den Bruch so weit wie möglich.

Prozent in Dezimalzahlen umwandeln

Teile die Prozentzahl durch 100. Beim Komma bedeutet das: zwei Stellen nach links. Umgekehrt verschiebst du das Komma zwei Stellen nach rechts, wenn du eine Dezimalzahl in Prozent umrechnest.

Bruch in Prozent umrechnen

Entweder erweiterst du den Bruch auf den Nenner 100, oder du wandelst ihn in eine Dezimalzahl um und rechnest diese in Prozent um. So ist $\frac{3}{5}$ = $\frac{60}{100}$ = 60 %. Und $\frac{3}{8}$ = 3 : 8 = 0,375 = 37,5 %.

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz

Jede Prozentaufgabe handelt von drei Größen. Der Grundwert G ist das Ganze, also 100 %. Der Prozentwert W ist der Teil davon. Der Prozentsatz p % sagt, wie viel Prozent des Grundwerts der Prozentwert ausmacht. In einer Klasse mit 25 Kindern (Grundwert) fahren 40 % mit dem Rad (Prozentsatz). Das sind 25 · 0,4 = 10 Kinder (Prozentwert).

Prozentualen Anteil berechnen

Gesucht ist der Prozentsatz. Du teilst den Prozentwert durch den Grundwert.

Prozentwert berechnen

Gesucht ist der Teil. Du multiplizierst den Grundwert mit dem Prozentsatz. Im Kopf hilft dir ein Trick: 10 % bekommst du, indem du das Komma eine Stelle nach links schiebst. 5 % ist die Hälfte davon, 1 % bekommst du durch zwei Stellen nach links.

Grundwert berechnen

Gesucht ist das Ganze. Du teilst den Prozentwert durch den Prozentsatz.

Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Wenn du den Dreisatz kennst, kannst du jede Prozentaufgabe auch damit lösen. Prozentwert und Prozentsatz sind direkt proportional: Doppelt so viele Prozent bedeuten doppelt so viel Wert. Du gehst über 1 % zum Ziel.

Prozentuale Veränderung

Preise steigen, Mengen schrumpfen. Mit Prozent beschreibst du solche Veränderungen im Verhältnis zum alten Wert. Der alte Wert ist dabei immer der Grundwert, also 100 %.

Rabatt und Preissenkung

Mehrwertsteuer (19 %)

In Deutschland beträgt die Mehrwertsteuer (Umsatzsteuer) normalerweise 19 %. Für viele Lebensmittel, Bücher und Zeitungen gilt ein ermäßigter Satz von 7 %. Der Nettopreis ist der Preis ohne Steuer, er entspricht 100 %. Der Bruttopreis ist der Preis mit Steuer und entspricht bei 19 % genau 119 %.

Einfache Zinsformel (Zinsrechnung)

Wer Geld anlegt oder leiht, bekommt oder zahlt Zinsen. Auch das ist Prozentrechnung: Das Kapital K ist der Grundwert, der Zinssatz p % pro Jahr ist der Prozentsatz, und die Zinsen Z sind der Prozentwert. Bei der einfachen Zinsrechnung kommen die Zinsen nicht wieder zum Kapital dazu.

Typische Fehler bei der Prozentrechnung

Prozentpunkte oder Prozent?

Wenn eine Größe von 20 % auf 25 % steigt, sagt man: Sie steigt um 5 Prozentpunkte. Prozentpunkte beschreiben den Abstand zweier Prozentwerte. Die Veränderung in Prozent misst dagegen, wie stark der Wert relativ gewachsen ist.

20 % rauf, 20 % runter

Ein Preis steigt um 20 % und sinkt danach um 20 %. Liegt er dann wieder beim Start? Nein! Rechne nach: 100 € · 1,2 = 120 € und 120 € · 0,8 = 96 €. Der Preis liegt 4 % unter dem Ausgangswert. Der Grund: Die zweiten 20 % beziehen sich auf den neuen Grundwert 120 €, nicht auf 100 €.

Auch andersherum klappt es nicht: 100 € · 0,8 = 80 € und 80 € · 1,2 = 96 €. Von 80 € zurück auf 100 € brauchst du eine Steigerung um 25 %, denn 80 · 1,25 = 100. Von 120 € zurück auf 100 € brauchst du eine Senkung um $\frac{20}{120}$ = $\frac{1}{6}$, also ungefähr 16,7 %.

Rabatte nicht einfach addieren

Zwei Rabatte nacheinander wirken nicht wie ihre Summe. Erst 20 % und dann noch 10 % auf den reduzierten Preis ergibt den Faktor 0,8 · 0,9 = 0,72. Das sind 28 % Rabatt, nicht 30 %.

Geschichte: Von der centesima zum Prozentzeichen

Rom und die centesima

Schon die Römer rechneten mit Hundertsteln, obwohl sie weder das Wort Prozent noch das Zeichen kannten. In der römischen Mathematik und Verwaltung spielte die centesima, „der Hundertste“, eine große Rolle. Unter Kaiser Augustus gab es eine Steuer auf Verkäufe von einem Hundertstel, die centesima rerum venalium. Eine Erbschaftssteuer von einem Zwanzigstel, also 5 %, hieß vicesima hereditatum. Zinsen wurden oft monatlich mit einem Hundertstel angegeben, den centesimae usurae: 1 % pro Monat sind 12 % im Jahr.

Vom „per cento“ zum Zeichen %

Das Rechnen mit Prozenten wurde im Mittelalter und in der Renaissance vor allem von italienischen Kaufleuten gepflegt. Rechenbücher wie die von Fibonacci (1202) oder Luca Pacioli (Summa de arithmetica, 1494) behandeln Gewinn, Verlust und Zinsen ausführlich. Die Kaufleute schrieben „per cento“ in Handschriften oft abgekürzt, zum Beispiel als „p cento“. Nach der üblichen Erklärung verschmolz diese Abkürzung zu einem Zeichen: Aus dem „c“ mit einem Strich und einem kleinen Kringel wurde eine Form mit zwei Kringeln, getrennt durch einen Strich. Spätestens im 17. Jahrhundert ähnelte das Zeichen dem heutigen %.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, Open Court, Chicago 1928–1929 (Nachdruck Dover, New York 1993).
• Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008.
• Wikipedia: Prozentrechnung