Wurzelgleichungen

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte unter einem Wurzelzeichen steht, zum Beispiel $\sqrt{2x+1}=5$. Um sie zu lösen, musst du die Wurzel loswerden. Das geht durch Quadrieren, denn ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$. Dabei kann aber etwas schiefgehen: Quadrieren kann Lösungen hinzufügen, die gar keine sind. Deshalb gehört zu jeder Wurzelgleichung eine Probe.

Du solltest die Quadratwurzel kennen und Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen können. Für Beispiele mit Quadrat brauchst du die pq-Formel.

Was ist eine Wurzelgleichung?

Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt. Daraus folgen zwei Regeln, auf die es bei Wurzelgleichungen ankommt (Wurzeln und gebrochene Exponenten).

• Der Ausdruck unter der Wurzel, der Radikand, muss $\ge 0$ sein. Das legt die Definitionsmenge fest, also die Zahlen, die du für x einsetzen darfst.
• Eine Quadratwurzel ist nie negativ. Es ist $\sqrt{9}=3$ und nicht $-3$. Deshalb hat $\sqrt{x}=-3$ keine Lösung.

Das Grundverfahren

Steht neben der Wurzel noch etwas, isolierst du sie zuerst. Das gilt auch für Faktoren vor der Wurzel.

Scheinlösungen: Warum die Probe Pflicht ist

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung (Äquivalenzumformungen). Aus $a=b$ folgt $a^2=b^2$, aber umgekehrt gilt es nicht: Aus $a^2=b^2$ folgt nur $a=b$ oder $a=-b$. Zum Beispiel ist ${(-3)}^2=3^2$, obwohl $-3\ne 3$ ist. Beim Quadrieren kann deshalb eine zweite „Lösung“ entstehen, die zur Ausgangsgleichung nicht passt: eine Scheinlösung.

Du kannst Scheinlösungen oft schon vorher ausschließen: Eine Wurzel ist nie negativ, also muss auch die andere Seite $\ge 0$ sein. Hier heißt das $x-5\ge 0$, also $x\ge 5$. Damit fällt $x=4$ sofort heraus. Trotzdem solltest du immer die Probe machen, auch weil sie Rechenfehler aufdeckt.

Gleichungen mit zwei Wurzeln

Stehen beide Wurzeln auf verschiedenen Seiten, quadrierst du einmal und bekommst eine einfache Gleichung. Kommen zwei Wurzeln auf einer Seite vor, musst du zweimal quadrieren: Isoliere eine Wurzel, quadriere, isoliere die zweite Wurzel, quadriere noch einmal. Beim ersten Quadrieren brauchst du eine binomische Formel (Binomische Formeln): ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$.

Achte darauf, nicht jeden Summanden einzeln zu quadrieren. ${\left(\sqrt{x+7}\right)}^2$ ergibt $x+7$, aber ${(1+\sqrt{x})}^2$ ist nicht $1+x$.

Substitution

Manche Gleichungen sehen wie quadratische Gleichungen aus, wenn du $\sqrt{x}$ als eine neue Unbekannte betrachtest. Das nennt man Substitution (Ersetzen). Du setzt $z=\sqrt{x}$ und bekommst wegen $x=z^2$ eine quadratische Gleichung in z. Wichtig ist die Nebenbedingung $z\ge 0$, denn eine Wurzel ist nie negativ.

Dritte und höhere Wurzeln

Bei einer dritten Wurzel $\sqrt[3]{}$ potenzierst du mit 3. Der Unterschied zur Quadratwurzel: Die dritte Wurzel gibt es auch für negative Zahlen, denn ${(-2)}^3=-8$ und damit $\sqrt[3]{-8}=-2$. Aus $a^3=b^3$ folgt immer $a=b$. Deshalb gibt es beim Potenzieren mit 3 keine Scheinlösungen. Bei geraden Wurzeln wie $\sqrt[4]{}$ gilt wieder dasselbe wie beim Quadrieren.

Grafische Deutung

Eine Gleichung $\sqrt{x-3}=x-5$ kannst du als Frage lesen: Wo schneiden sich die Graphen von $f(x)=\sqrt{x-3}$ und $g(x)=x-5$? Die Lösungen der Gleichung sind die x-Werte der Schnittpunkte. Die Wurzelfunktion ist eine Potenzfunktion mit dem Exponenten $\frac{1}{2}$ (Potenzfunktionen).

Das Bild zeigt auch, woher die Scheinlösung kommt. Beim Quadrieren ersetzt du $f(x)=g(x)$ durch $f{(x)}^2=g{(x)}^2$. Diese Gleichung gilt für beide Äste der liegenden Parabel, also auch für den gespiegelten Ast $-\sqrt{x-3}$. Die Gerade trifft ihn bei $x=4$. Dort gilt $-\sqrt{1}=-1=4-5$. Das ist eine Gleichung mit einem Minuszeichen vor der Wurzel und damit nicht die ursprüngliche.

Zum Kontrollieren eignet sich der Gleichungslöser, der Scheinlösungen anzeigt. Für einzelne Wurzeln gibt es den Wurzelrechner.

Wurzelgleichungen im Alltag

Wurzeln stecken in vielen Formeln aus der Physik. Wenn eine Größe unter der Wurzel gesucht ist, bekommst du eine Wurzelgleichung. Die Fallzeit eines Steins aus der Höhe h ist $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ mit der Fallbeschleunigung $g\approx \mathrm{9,81}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$. Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels der Länge l ist $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Wurzelgleichungen: Aufgaben.

Geschichte: vom Wurzelzeichen bis Descartes

Quadratwurzeln näherten schon die Babylonier an. Ein eigenes Zeichen gab es aber lange nicht, man schrieb Wörter wie radix. Das Zeichen √ druckte erstmals der Mathematiker Christoff Rudolff 1525 in seinem Buch Coss, dem ersten deutschen Algebra-Lehrbuch, in Straßburg (Mathematische Zeichen im 16. Jahrhundert). Es geht wohl auf ein kleines r zurück. Für die dritte Wurzel und die vierte Wurzel erfand er weitere Zeichen.

Das Problem war, wie weit die Wurzel reicht: Gilt $\sqrt{12+140}$ für beide Zahlen oder nur für die erste? Descartes löste das 1637 in La Géométrie, indem er einen Strich über den ganzen Radikanden setzte, das Vinculum. So steht das Zeichen noch heute (Descartes’ Schreibweise). Wie Näherungswerte für Wurzeln berechnet werden, zeigt der Heron-Algorithmus.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Wurzelgleichung
• Wikipedia: Wurzelzeichen
• MacTutor History of Mathematics: Christoff Rudolff (englisch)
• Christoff Rudolff: Behend vnnd Hubsch Rechnung durch die kunstreichen regeln Algebre, so gemeincklich die Coss genent werden, Straßburg 1525.