Eigenschaften der Gleichheit

Das Gleichheitszeichen = sagt: Links und rechts steht derselbe Wert. Bei 3 + 4 = 7 sind „3 + 4“ und „7“ zwei Schreibweisen für dieselbe Zahl. Diese Seite zeigt dir die Eigenschaften der Gleichheit, also die Regeln, die immer gelten, wenn du mit Gleichungen arbeitest. Du brauchst sie jedes Mal, wenn du eine Gleichung umformst und löst.

Ein gutes Bild dafür ist die Waage im Gleichgewicht: Beide Schalen wiegen gleich viel. Was du auf einer Schale änderst, musst du auf der anderen genauso tun. Auf diesem Gedanken beruhen alle Rechengesetze der Gleichheit. Mehr zum Lösen selbst findest du auf der Seite Gleichungen lösen, die Seite gehört zur Arithmetik.

Grundlegende Eigenschaften der Gleichheit

Die Eigenschaften der Gleichheit zerfallen in zwei Gruppen. Die erste beschreibt, wie sich das Zeichen = als Beziehung zwischen zwei Größen verhält. Die zweite Gruppe sind die Umformungsregeln, die dir beim Gleichungslösen helfen.

Reflexive Eigenschaft

Jede Größe ist gleich sich selbst: a = a. Das klingt selbstverständlich, ist aber der Zielpunkt vieler Rechnungen. Wenn du zeigen willst, dass zwei Terme gleich sind, formst du so lange um, bis auf beiden Seiten dasselbe steht. Zum Beispiel ist 2 · (x + 3) = 2x + 6 richtig, denn die linke Seite wird zu 2x + 6, und es bleibt 2x + 6 = 2x + 6.

Symmetrische Eigenschaft

Aus a = b folgt b = a. Du darfst eine Gleichung also von rechts nach links lesen und die Seiten vertauschen. Aus 12 = 3 · 4 wird 3 · 4 = 12, und aus x = 5 wird 5 = x. Das ist praktisch, wenn du eine Formel umstellen oder die gesuchte Größe nach links schreiben willst. Nicht jede Beziehung ist symmetrisch: Aus 3 < 5 folgt nicht 5 < 3.

Transitive Eigenschaft

Aus a = b und b = c folgt a = c. Gleichheiten kannst du zu Ketten verbinden. Es ist 3 + 4 = 7 und 7 = 10 − 3, also gilt auch 3 + 4 = 10 − 3. Beim Zeichen ≠ klappt das nicht: Aus 1 ≠ 2 und 2 ≠ 1 folgt nicht 1 ≠ 1.

Gleiches auf beiden Seiten tun

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Legst du auf beide Schalen dasselbe dazu oder nimmst du von beiden dasselbe weg, bleibt sie im Gleichgewicht. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen, weil sich die Lösung dabei nicht ändert.

Additionsgesetz der Gleichheit

Aus a = b folgt a + c = b + c. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren. Damit löst du Gleichungen mit einem Minus, denn Addieren macht das Subtrahieren rückgängig.

Subtraktionsgesetz der Gleichheit

Aus a = b folgt a − c = b − c. Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren. Das hilft bei Gleichungen mit einem Plus.

Multiplikationsgesetz der Gleichheit

Aus a = b folgt a · c = b · c. Du darfst beide Seiten mit derselben Zahl malnehmen. Damit löst du Gleichungen mit einer Division. Multipliziere dabei nicht mit null: Aus der falschen Aussage 2 = 3 würde 0 · 2 = 0 · 3, also die wahre Aussage 0 = 0. Der Schritt würde Information vernichten und wäre keine Umformung mehr.

Divisionsgesetz der Gleichheit

Aus a = b folgt a : c = b : c, solange c nicht null ist. Du darfst beide Seiten durch dieselbe Zahl teilen. Damit löst du Gleichungen mit einem Malzeichen, etwa 4x = 28. Teilen durch null ist nie erlaubt.

Gib acht, wenn du durch eine Variable teilst. Bei x · x = 3x führt das Teilen durch x zu x = 3. Du verlierst die zweite Lösung x = 0, denn 0 · 0 = 3 · 0 stimmt ebenfalls.

Substitutionsregel

Ist a = b, darfst du in jedem Ausdruck a durch b ersetzen, ohne dass sich der Wert ändert. Das heißt auch: Gleiches darf durch Gleiches ersetzt werden. Diese Regel brauchst du beim Einsetzen, bei der Probe und im Substitutionsverfahren für lineare Gleichungssysteme.

Distributivgesetz der Gleichheit

Das Distributivgesetz a · (b + c) = a · b + a · c gilt auch in Gleichungen. Du darfst eine Klammer auf einer Seite ausmultiplizieren oder ausklammern. Dabei ersetzt du einen Ausdruck durch einen gleichwertigen, also bleibt die Gleichheit erhalten. Mehr dazu findest du unter Ausmultiplizieren von Klammern.

Geschichte: Wie das Gleichheitszeichen entstand

Lange schrieben Rechner Gleichheit als Wort oder in Abkürzungen, im Lateinischen etwa aequalis. Das Zeichen = gibt es erst seit 1557. Damals führte der walisische Arzt und Mathematiker Robert Recorde es in seinem Algebra-Lehrbuch The Whetstone of Witte ein. Er wollte sich die ständige Wiederholung des Wortes „gleich“ ersparen und wählte zwei parallele Striche gleicher Länge. Sein Zeichen war zunächst viel länger als unseres.

„… bicause noe .2. thynges, can be moare equalle.“

Auf Deutsch heißt das etwa: Weil keine zwei Dinge gleicher sein können als zwei Parallelen. Das Zeichen setzte sich nur langsam durch, in Europa erst im Verlauf des 17. Jahrhunderts. Die Algebra entwickelte sich damals rasch weiter, mehr dazu in der Mathematik des 16. Jahrhunderts und bei François Viète, der Buchstaben für Unbekannte und bekannte Größen benutzte.

Quellen und weiterführende Literatur

• Robert Recorde: The Whetstone of Witte, London 1557.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Robert Recorde (englisch)
• Wikipedia: Gleichheitszeichen