Gleichungen lösen

Eine Gleichung sagt, dass zwei Terme denselben Wert haben, zum Beispiel x + 7 = 15. Gleichungen lösen heißt, die Zahl für die Unbekannte x zu finden, bei der diese Aussage stimmt. Hier ist es x = 8, denn 8 + 7 = 15. Solche Aufgaben begegnen dir ständig: beim Preisvergleich, beim Sparen oder beim Umrechnen von Temperaturen.

Das Grundprinzip ist eine Waage: Eine Gleichung bleibt wahr, wenn du auf beiden Seiten dasselbe tust. Auf dieser Seite wendest du es Schritt für Schritt an, von einfachen Gleichungen bis zu Klammern, Brüchen, Beträgen und Formeln. Jeder Abschnitt hat ein Beispiel mit Probe und eine Übung mit Lösung. Die Regeln dahinter stehen auf der Seite Eigenschaften der Gleichheit, die wichtigsten Begriffe erklärt Grundlagen der Algebra.

Äquivalenzumformungen: die Waage im Gleichgewicht

Stell dir eine Waage vor. Links liegen zwei Päckchen mit je x Gramm und ein Gewicht von 3 Gramm, rechts ein Gewicht von 11 Gramm. Die Waage ist im Gleichgewicht, also gilt 2x + 3 = 11. Nimmst du von beiden Seiten 3 Gramm weg, bleibt sie im Gleichgewicht: 2x = 8. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen, denn „äquivalent“ bedeutet „gleichwertig“: Die neue Gleichung hat dieselben Lösungen wie die alte.

Variable isolieren (Transposition)

Isolieren heißt: Du bringst die Unbekannte allein auf eine Seite, bis x = Zahl dasteht. Dazu packst du die Gleichung Schritt für Schritt aus. Denk an ein Zahlenrätsel: „Ich denke mir eine Zahl, multipliziere sie mit 3 und ziehe 4 ab. Das Ergebnis ist 17.“ Als Gleichung: 3x − 4 = 17. Rückwärts gerechnet ist 17 + 4 = 21 und 21 : 3 = 7. Du kehrst jede Rechnung um, und zwar in umgekehrter Reihenfolge.

Lösen durch Addition oder Subtraktion

Steht neben x nur eine Zahl, die addiert oder subtrahiert wird, nutzt du die Umkehrung. Bei x + 7 = 15 ziehst du 7 ab, bei x − 4 = 9 addierst du 4. Das Ergebnis darf auch negativ oder eine Dezimalzahl sein.

Lösen durch Multiplikation, Division oder Kehrwertbildung

Steht x in einem Produkt wie 4x, teilst du durch die Zahl davor. Steht x im Zähler eines Bruchs wie x : 3, multiplizierst du mit dem Nenner. Ist ein Bruch der Faktor, wie bei $\frac{3}{4}$x, multiplizierst du mit dem Kehrwert $\frac{4}{3}$, denn $\frac{3}{4}$ · $\frac{4}{3}$ = 1. Mehr zum Kehrwert findest du bei den Brüchen.

Gleichartige Terme zusammenfassen

Bevor du umformst, räumst du auf. Gleichartige Terme haben dieselbe Variable mit demselben Exponenten, zum Beispiel 3x und 5x. Du fasst sie zusammen, indem du die Zahlen vor der Variablen verrechnest: 3x + 5x = 8x. Reine Zahlen fasst du für sich zusammen. Dagegen sind x und x² nicht gleichartig. Ausführlich erklärt das die Seite Addieren und Subtrahieren von Termen.

Gleichungen durch Zusammenfassen lösen

Oft stehen auf einer Seite mehrere gleichartige Terme. Dann fasst du zuerst jede Seite für sich zusammen und löst danach wie gewohnt. Das spart Schritte und verhindert Fehler.

Zweischritt-Gleichungen

Eine Zweischritt-Gleichung hat die Form ax + b = c. Du brauchst zwei Umkehrungen, und die Reihenfolge zählt: Erst entfernst du das Plus oder Minus, dann teilst du durch die Zahl vor x.

Mehrschritt-Gleichungen

Bei Mehrschritt-Gleichungen brauchst du drei oder mehr Umformungen. Ein fester Arbeitsplan hilft dir, nichts zu vergessen.

Variablen auf beiden Seiten

Steht x links und rechts, sortierst du: Alle x-Terme kommen auf eine Seite, alle Zahlen auf die andere. Dazu addierst oder subtrahierst du x-Terme auf beiden Seiten. Praktisch ist es, den kleineren x-Term wegzunehmen. Dann bleibt vor x eine positive Zahl. Welche Seite am Ende die Unbekannte trägt, ist egal, denn aus 3x = −9 und −9 = 3x folgt dasselbe.

Lösen mit dem Distributivgesetz

Steht eine Klammer in der Gleichung, löst du sie zuerst mit dem Distributivgesetz auf: a(b + c) = ab + ac. Der Faktor vor der Klammer wird mit jedem Glied multipliziert. Steht ein Minus vor der Klammer, drehen sich alle Vorzeichen in der Klammer um. Mehr dazu findest du bei Ausmultiplizieren von Klammern.

Allgemeine algebraische Gleichungen lösen

Bei einer allgemeinen Gleichung kommt alles zusammen. Du gehst so vor: Klammern auflösen, Brüche beseitigen, zusammenfassen, sortieren, isolieren und die Probe machen. Brüche beseitigst du, indem du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner multiplizierst, und zwar jedes Glied.

Kreuzmultiplikation

Steht auf jeder Seite genau ein Bruch, multiplizierst du über Kreuz. Das ist eine Abkürzung: Multiplizierst du beide Seiten mit b · d, kürzt sich links b und rechts d weg. Die Nenner dürfen dabei nicht 0 sein.

Gleichungen mit Absolutbeträgen

Der Betrag |x| einer Zahl ist ihr Abstand von 0 auf dem Zahlenstrahl und deshalb nie negativ: |5| = 5 und |−5| = 5. Bei |x − 3| = 5 fragst du: Welche Zahlen haben von der Zahl 3 den Abstand 5? Es sind zwei, nämlich 3 + 5 = 8 und 3 − 5 = −2.

Variablen in Formeln isolieren

Formeln sind Gleichungen mit mehreren Buchstaben. Willst du eine andere Größe berechnen, stellst du die Formel um, mit denselben Äquivalenzumformungen. Die Buchstaben behandelst du dabei wie Zahlen.

Geschichte: vom Haufen zum Gleichheitszeichen

Menschen lösen Gleichungen seit fast 4.000 Jahren, aber lange ohne Buchstaben und Zeichen. Die Schreibweise, die du heute benutzt, ist jung.

Ägypten: die Aufgaben vom „Haufen“

Im Papyrus Rhind (Abschrift um 1550 v. Chr.) suchen ägyptische Schreiber eine unbekannte Menge, den „Haufen“ (aha). Aufgabe 24 lautet: Ein Haufen und sein Siebtel ergeben zusammen 19. Heute schreibst du $x+\frac{x}{7}=19$. Dann ist $\frac{8}{7}$x = 19 und x = $\frac{133}{8}$ = 16 5/8. Der Schreiber Ahmes fand das Ergebnis mit einem Probierverfahren, dem „falschen Ansatz“. Mehr darüber steht bei der ägyptischen Mathematik.

Diophant: Abkürzungen statt Wörter

Im 3. Jahrhundert n. Chr. schrieb Diophant in Alexandria die Arithmetica. Er kürzte die Unbekannte und ihre Potenzen mit eigenen Zeichen ab und rechnete mit Gleichungen. Über sein Leben ist fast nichts bekannt. Ein spätantikes Zahlenrätsel, das sein Alter in Bruchteilen beschreibt, führt auf die Gleichung $\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4=x$ und damit auf 84 Jahre. Ob das stimmt, weiß niemand (zum Grabrätsel).

Al-Chwarizmi: Ergänzen und Ausgleichen

Um 825 verfasste Muhammad al-Chwarizmi in Bagdad ein Lehrbuch über das „Rechnen durch Ergänzen und Ausgleichen“. Er schrieb alle Gleichungen in Worten und arbeitete nur mit positiven Zahlen. Deshalb musste jeder abgezogene Term verschwinden. Al-dschabr („Ergänzen“) bedeutet: Du addierst den abgezogenen Term auf beiden Seiten. Al-muqabala („Ausgleichen“) bedeutet: Du ziehst gleichartige Terme auf beiden Seiten voneinander ab. Aus al-dschabr wurde unser Wort „Algebra“ (mehr bei al-Chwarizmi).

Recorde: das Gleichheitszeichen

Bis ins 16. Jahrhundert schrieb man „ist gleich“ als Wort oder Abkürzung. Das Zeichen = führte 1557 der Waliser Robert Recorde in seinem Algebra-Buch The Whetstone of Witte ein, weil „nichts gleicher sein kann“ als zwei parallele Striche (mehr dazu bei der Geschichte des Gleichheitszeichens). Die Buchstaben x, y und z für Unbekannte setzte René Descartes 1637 in seiner Géométrie durch.

Weiter geht es mit zwei Gleichungen gleichzeitig bei den linearen Gleichungssystemen, mit Bereichen statt einzelner Lösungen bei den Ungleichungen und mit Hochzahlen bei den quadratischen Gleichungen. Wie du Terme sauber vereinfachst, übst du bei Terme vereinfachen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• Richard J. Gillings: Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, New York 1982.
• Florian Cajori: A History of Mathematical Notations, Open Court, Chicago 1928–1929.
• MacTutor History of Mathematics: Al-Khwarizmi (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Robert Recorde (englisch)