Steht die Unbekannte im Nenner, hilft ein Trick: Du multiplizierst mit dem Hauptnenner und die Brüche verschwinden. Du lernst Definitionsmenge, Hauptnenner und Probe, erkennst Scheinlösungen und löst Textaufgaben zu Geschwindigkeit und Mischung.
Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte im Nenner eines Bruchs steht, zum Beispiel oder . Steht nur im Zähler, wie bei , ist es dagegen eine gewöhnliche lineare Gleichung mit Brüchen.
Der Trick ist immer derselbe: Du multiplizierst die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, damit alle Brüche verschwinden. Übrig bleibt eine Gleichung, die du schon lösen kannst, oft linear, manchmal quadratisch. Es gibt aber eine Falle: Beim Multiplizieren mit einem Term, der null sein kann, schleichen sich Scheinlösungen ein. Darum gehören die Definitionsmenge an den Anfang und die Probe ans Ende.
Durch null darf man nicht teilen. Bei einer Bruchgleichung musst du deshalb alle Werte der Unbekannten ausschließen, für die ein Nenner null wird. Die übrigen Zahlen bilden die Definitionsmenge . Dazu setzt du jeden Nenner gleich null und löst. Ist der Nenner ein Produkt oder eine Differenz von Quadraten, zerlegst du ihn zuerst, wie auf der Seite Quadratische Gleichungen gezeigt. Eine kurze Einführung steht auch bei der Definitionsmenge von Bruchtermen.
Definitionsmengen im Überblick
Gleichung
Nenner ist null bei
Definitionsmenge
oder
oder
nie, denn
Das Zeichen liest du so: alle reellen Zahlen außer 2. Schreibe die Definitionsmenge immer auf, bevor du irgendetwas umformst.
Der Hauptnenner
Der Hauptnenner ist ein Term, in den jeder Nenner der Gleichung hineinpasst. Du findest ihn so: Zerlege jeden Nenner in Faktoren und nimm jeden Faktor so oft, wie er in einem einzelnen Nenner höchstens vorkommt.
Beispiele für Hauptnenner
Nenner
Hauptnenner
Warum
und
steckt in
und
keine gemeinsamen Faktoren
und
enthält
und
kleinstes gemeinsames Vielfaches von 3 und 6 ist 6, enthält
Ein größerer gemeinsamer Nenner, etwa das Produkt aller Nenner, funktioniert ebenfalls. Du rechnest dann aber mit größeren Termen und musst mehr kürzen. Die Bruchrechnung dahinter, das Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner, findest du bei den Brüchen.
Das Verfahren in fünf Schritten
Das Verfahren in fünf Schritten. Der letzte Schritt fängt die Scheinlösungen ab.
Beim dritten Schritt multiplizierst du jedes Glied der Gleichung mit dem Hauptnenner, auch eine Zahl ohne Bruch. Danach kürzt du in jedem Bruch den Nenner weg.
Scheinlösungen
Mit dem Hauptnenner zu multiplizieren ist nicht immer eine harmlose Umformung. Wenn der Hauptnenner bei einem verbotenen Wert null wird, kann die neue Gleichung Lösungen haben, die in der ursprünglichen Gleichung gar nicht erlaubt sind. Solche Werte heißen Scheinlösungen. Du erkennst sie am Vergleich mit der Definitionsmenge.
Wenn eine quadratische Gleichung entsteht
Steht nach dem Multiplizieren ein in der Gleichung, löst du sie mit der Mitternachtsformel, der pq-Formel oder durch Faktorisieren. Mehr dazu bei den Quadratischen Gleichungen. Beide Lösungen musst du einzeln gegen die Definitionsmenge prüfen.
Eine Bruchgleichung kann man auch zeichnen. Die Gleichung fragt, wo die Hyperbel und die Gerade denselben Wert haben.
Die Lösungen von 4/x = x + 3 sind die x-Koordinaten der Schnittpunkte von Hyperbel und Gerade: S1(1|4) und S2(−4|−1). Also ist x = 1 oder x = −4.
Textaufgaben
Bruchgleichungen entstehen oft aus Sachaufgaben. Drei Muster kommen immer wieder vor:
Geschwindigkeit: Zeit gleich Strecke durch Geschwindigkeit, also .
Mischung: Anteil gleich Menge des Stoffs durch Gesamtmenge.
Gemeinsame Arbeit: Die Leistungen addieren sich, . Ein ausführliches Beispiel steht bei der gemeinsamen Arbeit.
Typische Fehler
Übungen
Geschichte: Gleichungen mit Brüchen
Gleichungen mit Brüchen sind sehr alt. Der Papyrus Rhind aus Ägypten, auf etwa 1550 v. Chr. datiert, enthält Aufgaben nach dem Muster „Ein Haufen und sein Siebtel ergeben zusammen 19“, in heutiger Schreibweise . Mit dem Hauptnenner 7 folgt und , das sich als Summe von Stammbrüchen schreiben lässt. Mehr dazu steht bei der ägyptischen Mathematik.
Eine Unbekannte im Nenner zu behandeln, setzt eine Buchstabenrechnung voraus. Sie wurde um 1591 von François Viète entwickelt und von René Descartes weiter vereinfacht, der 1637 die Unbekannten mit , und bezeichnete. Erst damit lassen sich Bruchterme und Gleichungen mit ihnen allgemein hinschreiben, so wie du es auf dieser Seite getan hast.
Häufige Fragen
Warum muss ich die Definitionsmenge aufschreiben?
Weil Brüche mit dem Nenner null keinen Sinn haben. Außerdem hilft die Definitionsmenge am Schluss: Eine Lösung, die nicht in ihr liegt, ist eine Scheinlösung. Ohne würdest du solche Werte fälschlich als Lösung angeben.
Wann darf ich über Kreuz multiplizieren?
Wenn auf jeder Seite genau ein Bruch steht, etwa . Dann ist . Bei mehreren Brüchen auf einer Seite brauchst du den Hauptnenner.
Was bedeutet eine leere Lösungsmenge?
Dass es keine Zahl gibt, die die Gleichung erfüllt. Das passiert zum Beispiel, wenn alle Kandidaten Scheinlösungen sind. Du schreibst . Das ist ein gültiges Ergebnis und kein Rechenfehler.
Darf ich in einer Bruchgleichung kürzen?
Nur gemeinsame Faktoren in Zähler und Nenner, nie einzelne Summanden. Aus wird , weil ist. Aus lässt sich dagegen nichts kürzen.
Klasse 9–10