Mathematik lernen · Klasse 5–6
Würfel und Quader
Spielwürfel, Schuhkarton, Ziegelstein: Du lernst, wie Würfel und Quader aufgebaut sind, wie du sie zeichnest und aufklappst und wie du Volumen, Oberfläche und Liter ausrechnest. Dazu kommt ein Blick in die Geschichte.
Ein Quader ist ein Körper, der von sechs Rechtecken begrenzt wird, wie ein Schuhkarton, ein Ziegelstein oder ein Zimmer. Ein Würfel ist ein besonderer Quader: Seine sechs Flächen sind lauter gleich große Quadrate, wie bei einem Spielwürfel. Beide Körper kommen im Alltag ständig vor, und du kannst sie leicht ausrechnen.
Dies ist die erste Seite einer Serie über Körper. Hier lernst du, wie Würfel und Quader aufgebaut sind, wie du sie zeichnest und aufklappst, wie du Volumen und Oberfläche berechnest und wie du Raummaße und Liter umrechnest. Einen Überblick über alle Körper gibt der Abschnitt Flächen- und Volumenformeln.
Ecken, Kanten und Flächen
Jeder Körper hat Bausteine mit eigenen Namen. Eine Ecke ist ein Punkt, an dem Kanten zusammentreffen. Eine Kante ist eine Strecke, an der zwei Flächen aneinanderstoßen. Eine Fläche ist eines der ebenen Stücke, die den Körper begrenzen. Beim Quader nennt man die drei Kantenlängen Länge a, Breite b und Höhe c.
| Eigenschaft | Würfel | Quader |
|---|---|---|
| Ecken | 8 | 8 |
| Kanten | 12, alle gleich lang | 12, je 4 gleich lang (Länge, Breite, Höhe) |
| Flächen | 6 Quadrate, alle gleich groß | 6 Rechtecke, je 2 gegenüberliegende gleich groß |
| Maße | eine Kantenlänge a | drei Kantenlängen a, b, c |
Gegenüberliegende Flächen liegen parallel zueinander, benachbarte Flächen stehen senkrecht aufeinander. Ein Würfel ist also ein Quader mit drei gleich langen Kanten.
Das Schrägbild
Einen Körper auf Papier zu zeichnen, nennt man ein Schrägbild zeichnen. Man schaut dabei etwas von schräg oben auf den Körper. Das geht in vier Schritten:
- Zeichne die Vorderseite als Rechteck in wahrer Größe.
- Zeichne die Kanten nach hinten unter 45° schräg nach rechts oben. Sie sind im Bild nur halb so lang wie in Wirklichkeit.
- Verbinde die Enden zur Rückseite, die genauso groß ist wie die Vorderseite.
- Zeichne die Kanten, die man nicht sieht, gestrichelt.
Im Bild ist der Quader 3 cm tief, die Tiefenkanten sind aber nur 1,5 cm lang gezeichnet. Die Kästchen zeigen schon, wie du später das Volumen bestimmst.
Netze von Würfel und Quader
Schneidest du einen Karton an den Kanten auf und klappst ihn flach, entsteht ein Netz. Es besteht aus allen Flächen, die zusammenhängen. Zum Basteln zeichnest du das Netz, schneidest es aus und faltest es zu einem Körper.
Beim Quader sind je zwei gegenüberliegende Rechtecke gleich groß. Ein Würfel hat 11 verschiedene Netze. Zwei davon zeigt das nächste Bild. Es zeigt auch eine Anordnung, die kein Netz ist: Vier Quadrate, die sich um einen Punkt legen, lassen sich nicht zu einem Würfel falten.
Eine Faustregel zum Prüfen: Gegenüberliegende Flächen liegen im Netz nie direkt nebeneinander, denn Flächen, die sich im Netz eine Kante teilen, stoßen auch am Würfel aneinander.
Das Volumen
Das Volumen gibt an, wie viel Platz ein Körper einnimmt, oder wie viel in ihn hineinpasst. Gemessen wird es in Einheitswürfeln. Ein Kubikzentimeter (1 cm³) ist ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge.
Schau auf das Schrägbild: Der Quader ist 4 cm lang, 3 cm breit und 2 cm hoch. Auf den Boden passen 4 · 3 = 12 Einheitswürfel, das ist die erste Schicht. Es gibt 2 Schichten, also sind es 12 · 2 = 24 Würfel. Das Volumen ist 24 cm³.
Du kannst auch rückwärts rechnen. Ist das Volumen bekannt, bekommst du eine fehlende Kante durch Teilen.
Die Oberfläche
Die Oberfläche ist die Summe aller sechs Flächen. Sie ist wichtig, wenn du wissen willst, wie viel Papier, Farbe oder Glas du brauchst. Am Netz siehst du sie sofort: Du addierst die Flächen der sechs Rechtecke.
Beim Quader mit den Kanten 4 cm, 3 cm und 2 cm hat das Netz oben und unten je 4 · 3 = 12 cm², vorne und hinten je 4 · 2 = 8 cm² sowie links und rechts je 3 · 2 = 6 cm². Zusammen sind das 2 · 12 + 2 · 8 + 2 · 6 = 24 + 16 + 12 = 52 cm².
Die Raumdiagonale (Ausblick)
Die Raumdiagonale verbindet zwei Ecken, die sich ganz gegenüberliegen, quer durch das Innere des Körpers. Sie ist die längste Strecke, die in den Körper passt. Du berechnest sie mit dem Satz des Pythagoras, den du in Klasse 8 kennenlernst.
Volumeneinheiten umrechnen und Liter
Ein Würfel mit 1 dm Kantenlänge (10 cm) besteht aus 10 · 10 · 10 = 1.000 Würfeln mit 1 cm Kante. Darum ist bei Raummaßen der Umrechnungsfaktor 1.000. Bei Flächenmaßen ist er nur 100.
| Maß | Umrechnung |
|---|---|
| 1 dm³ | 1.000 cm³ |
| 1 m³ | 1.000 dm³ = 1.000.000 cm³ |
| 1 Liter (l) | 1 dm³ = 1.000 ml |
| 1 Milliliter (ml) | 1 cm³ |
Flüssigkeiten misst man in Litern. Ein Liter ist genau ein Würfel mit 10 cm Kante. Weitere Einheiten findest du im Abschnitt Volumen und Hohlmaße. Beim Umrechnen hilft der Einheitenumrechner.
Zum Nachrechnen eignet sich der Volumenrechner, der Würfel und Quader samt Liter und Oberfläche berechnet.
Typische Fehler
Übungen
Mehr Aufgaben mit Lösungen findest du im Arbeitsblatt Volumen und Oberfläche üben.
Geschichte: Ziegel, Speicher und die Verdopplung des Würfels
Das Rechnen mit Quadern ist uralt, denn Bauen und Lagern brauchen Raummaße. Babylonische Schreiber berechneten schon vor rund 4.000 Jahren Volumen von Ziegelstapeln, Gräben und Dämmen (Babylonische Mathematik). Ägyptische Schreiber rechneten aus, wie viel Getreide in einen Speicher passt (Ägyptische Mathematik).
In Griechenland wurde der Würfel zu einem Gegenstand der Philosophie. Platon ordnete ihm im Timaios das Element Erde zu, denn der Würfel steht fest und sicher. Euklid behandelte Körper im 11. bis 13. Buch seiner Elemente und zeigte im 13. Buch, dass es genau fünf regelmäßige Körper gibt, darunter den Würfel.
Häufige Fragen
Ist ein Würfel ein Quader?
Ja. Ein Quader hat sechs Rechtecke als Flächen. Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang, die Flächen sind also Quadrate.
Warum sind 1 Liter und 1.000 cm³ dasselbe?
Ein Liter ist so definiert, dass er genau in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge passt. Dessen Volumen ist 10 · 10 · 10 = 1.000 cm³.
Wie viele Netze hat ein Würfel?
Elf verschiedene. Netze, die sich nur durch Drehen oder Spiegeln unterscheiden, zählt man nicht extra.
Quellen und weiterführende Literatur
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