Mathematik lernen · Klasse 7–9
Terme vereinfachen
Aus einem langen Term wird ein kurzer mit demselben Wert. Du lernst die richtige Reihenfolge der Schritte kennen und übst sie an gemischten Beispielen mit Klammern, Potenzen und Brüchen.
Der Term 3(x + 2) + 2x sieht länger aus, als er ist. In zwei Schritten wird daraus 5x + 6: erst die Klammer ausmultiplizieren, das gibt 3x + 6 + 2x, dann gleichartige Terme zusammenfassen. Für jede Zahl haben beide Terme denselben Wert, zum Beispiel 11 für x = 1. Sie sind gleichwertig. Terme vereinfachen bedeutet, einen Term in eine kürzere, gleichwertige Form zu bringen.
Vereinfachen ist die Werkzeugkiste der Algebra. Du brauchst es vor dem Lösen von Gleichungen, beim Aufstellen von Formeln und beim Rechnen mit Funktionen. Die einzelnen Techniken kennst du von den Seiten Addieren und Subtrahieren, Multiplikation und Division von Ausdrücken. Hier verbindest du sie zu einer Strategie. Was ein Term ist, erklärt die Seite Algebraische Ausdrücke.
Die Reihenfolge der Schritte
Für Zahlen kennst du die Rechenreihenfolge: erst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt vor Strich (Reihenfolge der Rechenoperationen). Mit Variablen kannst du nicht alles ausrechnen. Du formst deshalb um und hältst dich an dieselbe Reihenfolge.
Gemischte Beispiele
Verschachtelte Klammern
Stehen Klammern in Klammern, löst du von innen nach außen auf. Zur besseren Lesbarkeit nimmt man für die äußere Klammer oft eckige Klammern.
Wann ist ein Term einfach genug?
Als Faustregel gilt: Im Ergebnis stehen keine Klammern mehr, die du noch ausmultiplizieren kannst, und keine gleichartigen Terme, die du noch zusammenfassen kannst. Jede Variable kommt in möglichst kurzer Form vor, etwa x2 statt x · x. Es gibt aber Ausnahmen: Willst du kürzen oder eine Gleichung lösen, ist oft die Produktform nützlicher. Dann klammerst du aus, statt auszumultiplizieren. Was „einfach“ heißt, hängt also vom Ziel ab.
Die Probe durch Einsetzen
Setze in den Ausgangsterm und in dein Ergebnis dieselbe Zahl ein. Kommt Verschiedenes heraus, steckt ein Fehler im Rechenweg. Wähle am besten keine 0 und keine 1, denn dabei fallen manche Fehler nicht auf. Ein Beispiel: 3x + 2x2 und 5x2 haben für x = 0 und für x = 1 denselben Wert, nämlich 0 und 5. Für x = 2 sind es aber 14 und 20. Ein Gegenbeispiel zeigt also sicher, dass zwei Terme verschieden sind. Die Gleichwertigkeit beweisen viele passende Werte allerdings noch nicht, sondern erst eine saubere Umformung (Algebraische Ausdrücke).
Mit dem Vereinfachen bereitest du das Lösen von Gleichungen vor. Wie das Ausmultiplizieren genau funktioniert, zeigt die Seite Ausmultiplizieren von Klammern, die Abkürzungen für zwei gleiche Klammern liefern die binomischen Formeln. Wie sich Hochzahlen verhalten, steht auf der Seite Potenzen und Exponenten. Längere Summen behandeln die Polynome, und bei den quadratischen Gleichungen brauchst du das Vereinfachen ständig.