Gleichungs­löser: Gleichungen lösen mit Rechenweg und Probe

So benutzt du den Gleichungslöser

Tippe die Gleichung so ein, wie sie im Heft steht, zum Beispiel 2x + 3 = 5x − 9. Malpunkte darfst du weglassen, Potenzen schreibst du mit ^ (also x^2 für x²), Wurzeln mit √ oder sqrt, Beträge mit senkrechten Strichen. Der Rechner erkennt die Variable selbst, sie darf also auch t oder a heißen. Bei Gleichungen mit Sinus, Kosinus oder Tangens wählst du, ob Winkel im Bogenmaß oder in Grad gemeint sind.

Im Bereich „Erweitert“ legst du fest, in welchem Bereich numerisch gesucht wird, wie viele Nachkommastellen du sehen möchtest und ob bei quadratischen Gleichungen ohne reelle Lösung die komplexen Lösungen angezeigt werden.

Welche Gleichungen der Rechner löst

• Lineare Gleichungen wie 2x + 3 = 5x − 9: Er bringt die x-Terme auf eine Seite, die Zahlen auf die andere und teilt durch den Faktor vor x. Ergebnis: x = 4.
• Quadratische Gleichungen mit pq-Formel oder abc-Formel, Sonderfälle wie x² = 8 (Wurzel ziehen, x = ±2√2) oder x² − 3x = 0 (x ausklammern) erkennt er.
• Gleichungen höheren Grades: rationale Lösungen durch Probieren und Polynomdivision, biquadratische Gleichungen wie x⁴ − 5x² + 4 = 0 durch Substitution (Lösungen −2, −1, 1 und 2).
• Bruchgleichungen wie (x + 1)/(x − 2) = 3: zuerst die Definitionsmenge (x ≠ 2), dann mit dem Nenner multiplizieren. Ergebnis: x = 7/2.
• Wurzelgleichungen wie √(x + 3) = x − 3: Wurzel isolieren, quadrieren, Probe.
• Betragsgleichungen wie |2x − 1| = 7 mit zwei Fällen: x = −3 oder x = 4.
• Exponential- und Logarithmusgleichungen wie 3 · 2^x = 48 (x = 4) oder ln(x) = 2 (x = e² ≈ 7,3891).
• Trigonometrische Gleichungen wie sin(x) = 0,5 mit allen Lösungen: x = 30° + k · 360° oder x = 150° + k · 360°.
• Alles andere, zum Beispiel e^x = x + 2, löst er numerisch.

Das Prinzip: Äquivalenzumformungen

Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Was du auf der einen Seite tust, musst du auch auf der anderen tun: dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren, mit derselben Zahl (außer null) multiplizieren oder durch sie teilen. Solche Schritte heißen Äquivalenzumformungen, weil sich die Lösungsmenge dabei nicht ändert. Hinter jeder Zeile im Rechenweg steht deshalb der Umformungsschritt, etwa „| − 3“.

Kommt die Variable nur einmal vor, macht der Rechner die Rechenschritte einfach rückwärts: Aus 3 · 2^x = 48 wird durch Teilen 2^x = 16 und durch den Logarithmus zur Basis 2 die Lösung x = 4. Aus (x − 2)² = 9 wird durch Wurzelziehen x − 2 = 3 oder x − 2 = −3, also x = 5 oder x = −1.

Definitionsmenge und Probe

Manche Terme sind nicht für jede Zahl erklärt. Durch null darf man nicht teilen, aus negativen Zahlen zieht man keine Quadratwurzel, und der Logarithmus braucht positive Zahlen. Der Rechner sammelt diese Bedingungen und zeigt sie als Definitionsmenge an. Liegt ein Ergebnis außerhalb, fällt es weg.

Beim Quadrieren können zusätzliche Scheinlösungen entstehen, weil aus −2 und 2 nach dem Quadrieren dieselbe Zahl 4 wird. Deshalb gehört zu jeder Wurzelgleichung eine Probe.

Wenn Umformen nicht reicht: numerische Lösungen

Für e^x = x + 2 gibt es keine Formel, mit der man x durch Umformen freistellen könnte. Der Rechner betrachtet dann die Differenz beider Seiten als Funktion und sucht im gewählten Bereich die Stellen, an denen sie das Vorzeichen wechselt. Dort halbiert er das Intervall so oft, bis die Lösung auf viele Stellen genau ist. Für dieses Beispiel findet er x ≈ −1,8414 und x ≈ 1,1462. Das Diagramm zeigt beide Seiten als Graphen, die Lösungen sind die Schnittpunkte.

Aus der Geschichte: al-dschabr und das Gleichheitszeichen

Das Wort Algebra stammt aus dem Titel eines Buches von al-Chwarizmi aus dem 9. Jahrhundert. Mit al-dschabr (Ergänzen) bezeichnete er das Verschieben eines abgezogenen Terms auf die andere Seite, mit al-muqabala (Ausgleichen) das Wegstreichen gleicher Terme auf beiden Seiten. Das sind genau die Umformungen, die der Rechner heute anzeigt. Geschrieben wurden Gleichungen damals noch in Worten. Das Gleichheitszeichen führte der Waliser Robert Recorde 1557 ein, Buchstaben für bekannte und unbekannte Größen nutzte systematisch François Viète. Dass es für Gleichungen ab dem fünften Grad keine allgemeine Lösungsformel mit Wurzeln gibt, bewies Niels Henrik Abel 1824. Mehr dazu im Kapitel Gleichungen lösen.

Häufige Fragen