François Viète

François Viète (1540–1603, lateinisch Franciscus Vieta) war ein französischer Jurist und Mathematiker. Er arbeitete als Rechtsanwalt, Parlamentsrat und Berater zweier Könige und trieb Mathematik nebenbei. Trotzdem gilt er als Begründer der modernen Algebra, denn er führte als Erster systematisch Buchstaben für bekannte und unbekannte Größen ein. Damit ließen sich Gleichungen nicht mehr nur für ein Zahlenbeispiel lösen, sondern für alle Fälle auf einmal.

Nach ihm ist der Satz von Vieta benannt, den man in der Schule bei quadratischen Gleichungen lernt. Außerdem fand er 1593 die erste bekannte Formel, die π als unendliches Produkt darstellt. Im Dienst von König Heinrich IV. entschlüsselte er außerdem spanische Geheimbriefe. Viète steht am Ende der Mathematik des 16. Jahrhunderts und bereitete die Algebra von René Descartes und Pierre de Fermat vor.

Leben zwischen Gericht und Hof

Viète wurde 1540 in Fontenay-le-Comte in Westfrankreich geboren, als Sohn eines Rechtsanwalts. Er studierte Jura in Poitiers und ließ sich um 1560 als Anwalt in seiner Heimatstadt nieder. 1564 wurde er Sekretär und Rechtsberater der adligen Familie Soubise und unterrichtete deren Tochter Catherine de Parthenay, die sich für Astronomie und Mathematik begeisterte.

1570 zog er nach Paris. 1573 wurde er Rat am Parlament der Bretagne in Rennes, 1580 Berater von König Heinrich III. in Paris. Mitten im Religionskrieg diente er erst Heinrich III. und nach dessen Ermordung (1589) Heinrich IV. 1584 fiel er Hofintrigen zum Opfer und musste die Hauptstadt verlassen. Die folgenden fünf Jahre auf dem Land widmete er ganz der Mathematik. 1602 schied er aus dem Dienst und starb im Jahr darauf, nach den meisten Angaben am 13. Dezember 1603.

Die Buchstabenrechnung

Vor Viète sah Algebra ganz anders aus. Mathematiker wie al-Chwarizmi beschrieben Gleichungen in Worten und rechneten sie an Zahlenbeispielen vor: „Ein Quadrat und zehn Wurzeln sind gleich 39.“ Die Lösungsregel wurde an diesem einen Beispiel vorgeführt, und der Leser musste sie selbst auf andere Zahlen übertragen. Schon Diophant benutzte einen Buchstaben, aber nur für die Unbekannte.

In seiner Isagoge („Einführung“, 1591) ging Viète weiter. Er bezeichnete auch die gegebenen Größen mit Buchstaben, die Unbekannten mit Vokalen (A, E, I …), die bekannten mit Konsonanten (B, D, G …). Das nannte er logistica speciosa, Rechnen mit „Arten“. Auch das Wort „Koeffizient“ geht auf ihn zurück. Eine Gleichung schrieb er noch fast in Worten und achtete darauf, dass alle Summanden dieselbe „Dimension“ haben: etwa „A cubus + B plano in A aequatur Z solido“, heute A³ + B²·A = Z³. Ein Gleichheitszeichen kannte er nicht.

Viètes Schreibweise setzte sich nicht durch. Descartes wählte 1637 die Anfangsbuchstaben des Alphabets (a, b, c) für bekannte und die letzten (x, y, z) für unbekannte Größen. So schreiben wir noch heute ax² + bx + c = 0. Der Gedanke aber, Rechnen mit Buchstaben als eigene Kunst zu betreiben, stammt von Viète. Mehr dazu auf der Lernseite Algebraische Ausdrücke.

Der Satz von Vieta

Viète entdeckte, wie die Lösungen einer Gleichung mit ihren Koeffizienten zusammenhängen. Für eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 mit den Lösungen x₁ und x₂ gilt:

Der Grund: Zerlegt man die Gleichung in Faktoren, steht dort (x − x₁)(x − x₂) = x² − (x₁ + x₂)x + x₁x₂. Der Vergleich mit x² + px + q liefert die beiden Beziehungen.

Viète kannte diese Beziehungen nur für positive Lösungen, denn negative Zahlen als Lösungen ließ man damals nicht gelten. Albert Girard formulierte sie 1629 allgemein, auch mit negativen Lösungen. Heute helfen sie beim schnellen Lösen von Gleichungen im Kopf und bei Polynomen höheren Grades. Einführung und Übungen stehen unter Quadratische Gleichungen.

Die Zahl π als unendliches Produkt

1593 veröffentlichte Viète eine Formel, die π nur mit Quadratwurzeln und Multiplikationen berechnet, wenn man sie unendlich lange fortsetzt:

Die Idee dahinter lässt sich mit Flächen erklären. Man legt einem Kreis mit dem Radius 1 ein Quadrat ein (Fläche 2), dann ein Achteck (Fläche √8 ≈ 2,83), dann ein 16-Eck und so weiter. Die Flächen nähern sich der Kreisfläche π. Jeder Verdopplungsschritt ändert die Fläche um einen Faktor, der sich aus Quadratwurzeln ergibt. Der erste ist 2 : √8 = √(1/2) ≈ 0,707, das ist der erste Faktor der Formel. Multipliziert man alle diese Faktoren, bleibt die Fläche des Quadrats geteilt durch die des Kreises übrig, also 2/π. Bereits Archimedes hatte Vielecke zum Berechnen von π benutzt. Neu bei Viète war, dass er das Ergebnis als Formel mit unendlich vielen Faktoren hinschrieb.

Außerdem berechnete Viète π mit Archimedes’ Methode, aber mit einem Vieleck aus 393.216 Ecken (6 · 2¹⁶). Er erhielt 3,1415926535 < π < 3,1415926537, also π richtig bis zur neunten Nachkommastelle.

Geheimcodes und Herausforderungen

Als Berater von Heinrich IV. brach Viète 1590 einen spanischen Geheimcode mit mehr als 500 Zeichen. Damit konnte Frankreich abgefangene Briefe der spanischen Krone im Religionskrieg lesen. Der Überlieferung nach soll sich König Philipp II. beim Papst beschwert haben, die Franzosen stünden mit dem Teufel im Bund. Ob das stimmt, ist nicht gesichert.

1593 stellte der niederländische Mathematiker Adriaan van Roomen allen Mathematikern Europas eine Aufgabe: eine Gleichung 45. Grades. Der niederländische Gesandte soll Heinrich IV. spöttisch erklärt haben, Frankreich habe keinen Mathematiker, der sie lösen könne. Viète erkannte darin einen Zusammenhang zwischen dem Sinus eines Winkels und dem seines 45. Teils und löste sie zügig. Als Gegenstück forderte er van Roomen auf, mit Zirkel und Lineal einen Kreis zu finden, der drei gegebene Kreise berührt. Es ist die Aufgabe des Apollonios, die Viète 1600 im Apollonius Gallus selbst löste. Van Roomen soll danach einen Monat bei ihm zu Besuch gewesen sein.

Zeitleiste: François Viète

1. 1540 Geburt in Fontenay-le-Comte
2. 1564 Sekretär und Hauslehrer in der Familie Soubise
3. 1573 Rat am Parlament der Bretagne in Rennes
4. 1580 Berater von König Heinrich III. in Paris
5. 1590 Entschlüsselung des spanischen Codes
6. 1591 In artem analyticem isagoge in Tours gedruckt
7. 1593 Produktformel für π, Herausforderung durch van Roomen
8. 1600 Apollonius Gallus
9. 1603 Tod in Paris

Bedeutung und Nachwirkung

Viètes Bücher erschienen meist in kleiner Auflage für Freunde. Die erste Gesamtausgabe besorgte 1646 der Niederländer Frans van Schooten. Pierre de Fermat lernte Viètes Algebra als junger Mann in Bordeaux kennen, und Descartes verband sie mit der Geometrie zur analytischen Geometrie. Dass man heute mit Buchstaben Formeln aufstellt, geht auf diese Linie zurück. In Deutschland gehört der Satz von Vieta zum Schulstoff der Mittelstufe.

Quellen und weiterführende Literatur

• Karin Reich, Helmuth Gericke: François Viète. Einführung in die Neue Algebra, Fritsch, München 1973.
• T. Richard Witmer (Übers.): The Analytic Art. Nine Studies in Algebra, Geometry and Trigonometry from the Opus Restitutae Mathematicae Analyseos, seu Algebrâ Novâ, Kent State University Press, Kent (Ohio) 1983.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: François Viète (englisch)
• Wikipedia: François Viète