Babylonische Zahlen

Die babylonischen Zahlen bilden ein Stellenwertsystem zur Basis 60, das Sexagesimalsystem (Sechzigersystem). Sie kommen mit nur zwei Keilschriftzeichen aus: einem senkrechten Keil für 1 und einem Winkelhaken für 10. Daraus setzt du alle Ziffern von 1 bis 59 zusammen. Wie im Zehnersystem hängt der Wert einer Ziffer von ihrer Stelle ab, nur ist jede Stelle 60-mal so viel wert wie die rechts daneben.

Hier lernst du die Zeichen, das Lesen und Schreiben der Stellen, das Umrechnen in beide Richtungen und das Rechnen mit Sechzigerbrüchen. Du erfährst, warum die Babylonier kein Komma und lange keine Null schrieben und warum wir bis heute 60 Minuten pro Stunde zählen. Zum Üben gibt es Aufgaben mit Lösungen. Die Geschichte steht bei Sumerische und babylonische Mathematik, die Grundlagen bei Zahlensysteme.

Die zwei Zeichen: Keil und Winkelhaken

Die Schreiber drückten einen Griffel aus Schilfrohr in feuchten Ton. So entstanden keilförmige Eindrücke, nach denen die Keilschrift heißt. Ein senkrechter Keil bedeutet 1, ein Winkelhaken bedeutet 10. Für eine Ziffer legst du die Zeichen zusammen: 23 sind 2 Winkelhaken und 3 Keile.

Stellenwerte zur Basis 60

Größere Zahlen schreibst du mit mehreren Stellen nebeneinander. Links steht die höchste Stelle, rechts die Einer, wie bei uns. Jede Stelle ist 60-mal so viel wert wie die rechts daneben, es sind die Potenzen von 60.

Heute schreibt man die Stellen mit Kommas auf: 1,23 bedeutet 1 Sechziger und 23 Einer. Auf den Tafeln stand kein Komma, nur die Zeichen. Der Abstand zwischen den Stellen zeigte, wo eine neue begann.

Babylonische Zahlen umrechnen: in beide Richtungen

Von der babylonischen Zahl zu unserer Zahl

1. Lies jede Stelle als Ziffer: 10 mal die Winkelhaken plus die Keile.
2. Schreibe den Stellenwert dazu: von rechts 1, 60, 3.600, …
3. Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert und addiere.

Beispiel: Die Stellen 12,40 sind 12 · 60 + 40 = 720 + 40 = 760.

Von unserer Zahl zur babylonischen Zahl

Teile die Zahl immer wieder durch 60 und notiere die Reste. Der erste Rest ist die Stelle ganz rechts, der nächste die Stelle links davon. Du hörst auf, wenn das Ergebnis 0 ist. Das ist dasselbe Divisionsrestverfahren wie beim Binärsystem und bei den Maya-Zahlen, nur teilst du durch 60. Jeden Rest schreibst du als Ziffer aus Winkelhaken und Keilen.

Die Reste 46 und 33 geben 33,46. Probe: 33 · 60 + 46 = 2.026.

Mit dem Umrechner prüfen

Im Zahlensysteme-Umrechner gibst du eine Zahl ein, zum Beispiel 2026. Unter dem Ergebnis zeigt er, wie die Babylonier sie in Keilschrift geschrieben hätten, mit den Stellen (hier 33 | 46) und den Stellenwerten. Eine gestrichelte Lücke steht dort für eine leere Stelle. Das Verfahren übst du trotzdem von Hand.

Keine Null und kein Komma: der Zusammenhang entscheidet

Die Babylonier schrieben weder ein Komma noch eine Null. In altbabylonischer Zeit blieb eine leere Stelle einfach frei, eine kleine Lücke, die man leicht übersah. Auch kennzeichneten sie nicht, wo die Einer stehen. Dieselbe Zeichenfolge „1 30“ konnte deshalb Verschiedenes bedeuten.

Welcher Wert gemeint war, ergab sich aus der Aufgabe. Bei einer Feldfläche oder einem Preis wusste ein geübter Schreiber, welche Größenordnung infrage kam. Erst im 1. Jahrtausend v. Chr. kam ein Platzhalterzeichen für leere Stellen auf. Es stand meist zwischen zwei Ziffern, und mit ihm gerechnet hat niemand.

Sechzigerbrüche: Rechnen ohne Rest

Auch Bruchteile schrieben die Babylonier im Sechzigersystem. Nach dem Semikolon stehen Sechzigstel, danach Dreitausendsechshundertstel und so weiter: 0;30 ist 30/60, also 1/2. Das Semikolon setzt man heute, auf den Tafeln stand es nicht. Weil 60 so viele Teiler hat, gehen viele Brüche ohne Rest auf. Bei Dritteln siehst du den Vorteil: 1/3 ist 0;20, im Zehnersystem dagegen 0,333… ohne Ende.

Geteilt haben die Babylonier mit Kehrwerttafeln: a : b rechneten sie als a · (1/b). Das Prinzip kennst du von der Bruchrechnung, und die Tafeln waren Vorläufer des Einmaleins. Die 7, die 11 und die 13 stehen in den Tafeln nicht, denn ihre Kehrwerte gehen nicht auf. Ein Sechzigerbruch endet nur, wenn der Nenner keine anderen Primfaktoren als 2, 3 und 5 hat. 1/7 ergibt 0;8,34,17,8,34,17 und so immer weiter.

Warum gerade 60?

Warum die Sumerer und Babylonier die 60 wählten, ist nicht überliefert. Ein starkes Argument ist ihre Teilbarkeit. Die 60 hat zwölf Teiler: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60. Die 10 hat nur vier (1, 2, 5 und 10). Außerdem ist 60 die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist. Die Hälfte, ein Drittel, ein Viertel, ein Fünftel und ein Sechstel einer Stunde sind deshalb ganze Minuten: 30, 20, 15, 12 und 10.

Spuren heute: 60 Minuten und 360 Grad

Das Sechzigersystem steckt bis heute in der Zeit und im Winkelmaß. Eine Stunde hat 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden. Ein Grad teilt man in 60 Bogenminuten und eine Bogenminute in 60 Bogensekunden. Die Wörter „Minute“ und „Sekunde“ kommen vom lateinischen pars minuta prima und pars minuta secunda, dem ersten und dem zweiten verkleinerten Teil, also den ersten und zweiten Sechzigsteln.

Griechische Astronomen übernahmen die Sechzigerbrüche. Claudius Ptolemäus rechnete im Almagest durchgängig mit ihnen, und Hipparchos stützte sich auf babylonische Beobachtungen. Dass der Vollkreis 360 Grad hat, ist 6 · 60. Gesichert ist, dass babylonische Astronomen die Sonnenbahn in zwölf Tierkreiszeichen zu je 30 Teilen einteilten. Der einzige Ursprung der 360 Grad ist das aber nicht sicher: Genannt werden auch die rund 360 Tage eines Jahres und die Teilbarkeit der 360, die 24 Teiler hat. Mehr zur Astronomie steht bei Mathematische Astronomie Babylons.

Typische Fehler

Übungen mit Lösungen

Woher die babylonischen Zahlen kommen

Die ersten Zahlzeichen der Sumerer entstanden um 3300 bis 3200 v. Chr. und waren noch ohne Stellenwert. Das Stellenwertsystem zur Basis 60 kam spätestens in altbabylonischer Zeit, um 2000 v. Chr., in die Schulen der Schreiber. Aus dieser Zeit stammen die Tafeln mit Multiplikationen, Kehrwerten und Gleichungen. Alles darüber steht bei Sumerische und babylonische Mathematik. Ein anderes Stellenwertsystem zeigen die Maya-Zahlen, ganz ohne Stellenwert kommen die ägyptischen Zahlen aus.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008.
• Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, Band 1: Vorgriechische Mathematik, Springer, Berlin 1934.
• Jens Høyrup: Lengths, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin, Springer, New York 2002.
• MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (englisch)
• Wikipedia: Sexagesimalsystem