Système binaire

Le système binaire est un système de numération en base 2 : il n’utilise que deux chiffres, 0 et 1, que l’on appelle des bits. Chaque position vaut le double de la position à sa droite, et c’est ainsi que 1101 en binaire désigne le nombre 13. C’est le système des ordinateurs, car un circuit électronique distingue facilement deux états : le courant passe ou ne passe pas.

Pour comprendre le binaire, il faut d’abord comprendre ce qu’est un système de numération, puis le système décimal que tu utilises tous les jours. Ensuite, tu apprends à convertir dans les deux sens, tu découvres l’hexadécimal et l’octal, et tu t’exerces. Les mêmes idées servent pour les autres numérations, voir la numération babylonienne, les chiffres mayas et les chiffres romains.

Les systèmes de numération : le principe

Un système de numération est une règle pour écrire les nombres avec des signes. On y distingue deux grands types. Dans une numération additive, chaque signe garde toujours la même valeur et l’on additionne : c’est le cas des chiffres égyptiens et, en grande partie, des chiffres romains. Dans une numération de position, la valeur d’un chiffre dépend de sa place : dans 505, le premier 5 vaut cinq cents et le second vaut cinq.

La base d’une numération de position est le nombre de chiffres dont on dispose, et aussi le rapport entre deux positions voisines. Le tableau compare les principaux systèmes. Chaque ligne écrit le même nombre, 2026.

Le système décimal : la base 10

Notre numération courante est le système décimal, en base 10, avec les dix chiffres 0 à 9. On l’appelle aussi numération indo-arabe : elle est née en Inde, a été transmise par les savants du monde arabe, puis introduite largement en Europe par le Liber abaci de Fibonacci en 1202 (voir la suite de Fibonacci).

Chaque position vaut dix fois la position à sa droite : unités, dizaines, centaines, milliers. Le nombre 2026 se décompose ainsi :

Le zéro tient la place vide : sans lui, 2026 ressemblerait à 226. Dix unités forment une dizaine, dix dizaines une centaine : ces groupements et ces échanges sont le cœur de la numération, et les changements de base reviennent souvent dans les épreuves de mathématiques du CRPE. Pour le binaire, on applique exactement la même idée, avec des groupements de deux au lieu de dix.

Comment fonctionne le système binaire

En base 2, les positions valent 1, 2, 4, 8, 16, … : ce sont les puissances de 2. On n’écrit dans chaque position que 0 ou 1. Voici les premières valeurs, de droite à gauche.

Un seul chiffre binaire s’appelle un bit (de l’anglais binary digit). Huit bits forment un octet. Avec n bits, on peut écrire 2ⁿ valeurs différentes : 16 avec 4 bits, de 0 à 15, et 256 avec un octet, de 0 à 255.

Convertir du binaire au décimal

1. Écris sous chaque chiffre binaire la valeur de sa position (1, 2, 4, 8, … depuis la droite).
2. Multiplie chaque chiffre par cette valeur.
3. Additionne : il suffit de compter les valeurs là où il y a un 1.

Convertir du décimal au binaire

Divise le nombre par 2 en notant chaque reste, puis recommence avec le quotient jusqu’à obtenir 0. Le dernier reste obtenu est le chiffre de gauche : on lit donc les restes de bas en haut.

En lisant les restes de bas en haut, on obtient 101101. La vérification est celle de l’exemple précédent : 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Tu peux aussi soustraire les puissances de 2 : 100 = 64 + 32 + 4, donc 100 = 1100100 en binaire. Pour contrôler tes résultats, le convertisseur de systèmes de numération (interface en allemand) montre les étapes.

Tableau de conversion : les nombres de 0 à 31 en binaire

Le tableau donne les nombres de 0 à 31 en décimal, en binaire sur 5 bits et en hexadécimal. Le bouton sous le titre permet de l’imprimer ou de l’enregistrer en PDF. Remarque : le dernier chiffre alterne 0, 1, 0, 1, …, et les nombres pairs se terminent toujours par 0.

Le système hexadécimal : la base 16

L’hexadécimal compte en base 16. Comme il faut seize chiffres et que l’on n’en connaît que dix, on ajoute les six premières lettres : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 et F = 15. Les nombres binaires deviennent vite longs, et l’hexadécimal les raccourcit : un chiffre hexadécimal remplace exactement quatre bits.

On rencontre l’hexadécimal dans les couleurs des pages web. Le code #FF8000 contient trois octets : FF = 255 pour le rouge, 80 = 128 pour le vert et 00 = 0 pour le bleu. C’est un orange vif.

Et l’octal ?

Le système octal compte en base 8, avec les chiffres 0 à 7. Un chiffre octal remplace trois bits. Il sert encore pour les droits d’accès des fichiers sous Unix : le code 755 s’écrit 111 101 101 en binaire, c’est-à-dire lecture, écriture et exécution pour le propriétaire (7) et lecture et exécution pour les autres (5). En décimal, 755 octal vaut 7 · 64 + 5 · 8 + 5 = 493.

Additionner en binaire

Les règles tiennent en quatre lignes : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 et 1 + 1 = 10, c’est-à-dire 0 avec une retenue de 1. On pose l’addition comme en décimal, de droite à gauche.

Pourquoi le binaire dans les ordinateurs ? Numération et codage

Un circuit électronique distingue sans ambiguïté deux états, par exemple une tension haute et une tension basse. Associer ces deux états aux chiffres 0 et 1 est la solution la plus sûre et la plus simple à fabriquer. Tout le reste en découle : un nombre, une lettre, une couleur ou un son sont codés par des suites de bits.

• Un nombre s’écrit directement en base 2.
• Une lettre reçoit un numéro, que l’on écrit en binaire. Dans le code ASCII, A porte le numéro 65, soit 01000001 sur un octet.
• Une couleur s’écrit avec trois octets, un pour le rouge, un pour le vert et un pour le bleu. Cela donne 256 · 256 · 256 = 16 777 216 couleurs.

Un peu d’histoire : de Leibniz aux ordinateurs

Le mathématicien Gottfried Wilhelm Leibniz présente le système binaire en 1703 dans son Explication de l’arithmétique binaire. Il y voit un lien avec les hexagrammes du livre chinois Yi Jing, que lui avait fait connaître le jésuite Joachim Bouvet. Au XIX^e siècle, George Boole montre que l’on peut calculer sur la logique avec 0 et 1. Ces deux idées sont devenues les bases de l’électronique numérique. Voir Leibniz et George Boole (en allemand), et la place de ces idées dans l’histoire des mathématiques.

Erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Questions fréquentes

Sources et pour aller plus loin

• Wikipédia : Système binaire
• MacTutor History of Mathematics : Gottfried Wilhelm Leibniz (en anglais)
• MacTutor History of Mathematics : Babylonian numerals (en anglais)
• Georges Ifrah : Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Paris 1994.