Sistema binario

El sistema binario es un sistema de numeración que usa solo dos cifras, 0 y 1. Cada posición vale el doble que la de su derecha (1, 2, 4, 8, 16, …), y por eso se dice que su base es 2. Así, el 5 se escribe 101, el 10 se escribe 1010 y el 255 se escribe 11111111. Los ordenadores (computadoras) guardan toda su información de esta forma, y a esa escritura se le llama a veces lenguaje binario o código binario.

Aquí aprendes qué son los números binarios, cómo pasar de decimal a binario y de binario a decimal, cómo sumar en binario y cómo se relaciona con el hexadecimal y con el texto. Hay una tabla de los números binarios del 1 al 100, otra con los más importantes hasta el 2048 y ejercicios con soluciones. Para comprobar tus resultados puedes usar el conversor de sistemas de numeración (interfaz en alemán). Una visión general de todos los sistemas está en sistemas de numeración.

Qué es el sistema binario

En nuestro sistema decimal agrupamos de diez en diez: diez unidades forman una decena y diez decenas, una centena. En el sistema binario se agrupa de dos en dos. Cuando llegas a 2, ya no escribes un 2, sino que pasas a la posición siguiente: tras el 1 viene el 10 (se lee «uno cero», no «diez»), tras el 11 viene el 100.

Un número binario es cualquier número escrito con ceros y unos, como 1, 10, 1011 o 100110. Los números como 102 o 7 no son binarios, porque tienen cifras distintas de 0 y 1, aunque todo número natural se puede escribir en binario. Para no confundirte, escribe la base como subíndice: 101₂ es binario (cinco) y 101₁₀ es decimal (ciento uno).

Números binarios del 1 al 100: tabla

La tabla recoge los números binarios del 1 al 100 en cinco bloques de 20. Los del 1 al 10 son 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 y 1010. Cada vez que un número es una potencia de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64), su escritura es un 1 seguido de ceros. El botón bajo el título imprime las tablas.

Números binarios del 1 al 20

Números binarios del 21 al 40

Números binarios del 41 al 60

Números binarios del 61 al 80

Números binarios del 81 al 100

Qué llama la atención en la tabla

• Los números pares acaban en 0 y los impares acaban en 1.
• Entre 2^k y 2^k+1 − 1 los números tienen siempre k + 1 cifras: del 8 al 15 todos tienen 4 cifras, del 16 al 31 tienen 5 y del 64 al 100 tienen 7.
• El número formado solo por unos es una potencia de 2 menos 1: 111₂ = 7, 1111₂ = 15, 11111₂ = 31, 111111₂ = 63.
• Del 1 al 32 hacen falta como máximo 6 cifras, y del 1 al 100 hacen falta como máximo 7.

Números binarios importantes del 100 al 2048

Una lista con los números hasta 1000 en binario sería larga y casi toda repetida. Con la tabla anterior y la de abajo puedes construir cualquiera: busca el número redondo más cercano y suma lo que falta. Por ejemplo, 1000 en binario es 1111101000, porque 1000 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8.

De binario a decimal: cómo convertir

Escribe debajo de cada cifra el valor de su posición y suma los valores de las posiciones donde hay un 1. Los ceros no aportan nada. Como ejemplo, convertimos 101101₂.

Por tanto, 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Otros ejemplos: 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13, 1010₂ = 8 + 2 = 10 y 11111111₂ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, el número más grande que cabe en 8 bits.

De decimal a binario: cómo convertir

Hay dos métodos. Los dos dan el mismo resultado. Como ejemplo, el número 45.

Método 1: divisiones entre 2

Divide el número entre 2 y anota el resto (0 o 1). Sigue dividiendo el cociente y para cuando el cociente sea 0. Los restos se leen de abajo hacia arriba.

Leídos de abajo hacia arriba, los restos dan 101101, así que 45 = 101101₂. Funciona porque cada resto indica si sobra una unidad de esa posición, igual que al agrupar objetos de dos en dos.

Método 2: restar potencias de 2

Mira de mayor a menor las potencias de 2 (…, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1). Si la potencia cabe en lo que queda, escribes un 1 y la restas, y si no cabe, escribes un 0. Con 77 y las potencias 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1:

1. 64 cabe en 77: cifra 1. Queda 77 − 64 = 13.
2. 32 no cabe en 13: cifra 0.
3. 16 no cabe en 13: cifra 0.
4. 8 cabe en 13: cifra 1. Queda 13 − 8 = 5.
5. 4 cabe en 5: cifra 1. Queda 5 − 4 = 1.
6. 2 no cabe en 1: cifra 0.
7. 1 cabe en 1: cifra 1. Queda 0.

Resultado: 77 = 1001101₂. Comprobación: 64 + 8 + 4 + 1 = 77. El segundo método sirve bien para números pequeños y el primero también para números grandes.

Números con coma: decimal con coma a binario y al revés

Para pasar un número con coma a binario, convierte por separado la parte entera (con divisiones) y la parte decimal. La parte decimal se multiplica por 2 una y otra vez, y cada vez anotas la cifra que aparece antes de la coma. Como ejemplo, 10,375:

1. Parte entera: 10 = 1010₂.
2. 0,375 · 2 = 0,75: cifra 0.
3. 0,75 · 2 = 1,5: cifra 1 (sigues con 0,5).
4. 0,5 · 2 = 1,0: cifra 1, y como queda 0 paras.

Resultado: 10,375 = 1010,011₂. En sentido contrario, las posiciones tras la coma valen 1/2, 1/4, 1/8, …: 101,11₂ = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5,75. No todos los decimales acaban: 0,1 en binario es 0,0001100110011… y nunca termina, y por eso los ordenadores redondean al guardar 0,1.

Cálculo binario: la suma binaria

Se suma como en la suma escrita habitual, de derecha a izquierda y llevando, pero hay menos reglas. En una columna caben como máximo tres unos (dos cifras y lo que llevas):

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 10 (escribe 0 y llevas 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 (escribe 1 y llevas 1)

Resta y multiplicación en binario

La resta funciona como la resta escrita, pidiendo «prestado» a la posición de la izquierda: 1101₂ − 101₂ = 1000₂, que en decimal es 13 − 5 = 8. La multiplicación es aún más sencilla, porque solo multiplicas por 0 o por 1: 101₂ · 11₂ = 101 + 1010 = 1111₂, que en decimal es 5 · 3 = 15.

Del binario al hexadecimal y al octal

Los números binarios son largos: el 255 necesita ocho cifras. Por eso en informática se usa a menudo el sistema hexadecimal, de base 16. Necesita dieciséis cifras, y como no hay más cifras después del 9, se usan las letras A a F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.

Los valores de las posiciones son potencias de 16: 1, 16, 256, 4096, …

De hexadecimal a decimal y de decimal a hexadecimal

De hexadecimal a decimal, multiplica cada cifra por el valor de su posición: 2F₁₆ = 2 · 16 + 15 = 47, A3₁₆ = 10 · 16 + 3 = 163 y FF₁₆ = 15 · 16 + 15 = 255. De decimal a hexadecimal, se divide entre 16 y se leen los restos de abajo hacia arriba. Con el 300:

Los restos, leídos de abajo hacia arriba, son 1, 2 y C, así que 300 = 12C₁₆. Comprobación: 256 + 2 · 16 + 12 = 300.

Cuatro bits son una cifra hexadecimal

La gran ventaja: una cifra hexadecimal equivale exactamente a cuatro bits, porque 2⁴ = 16. Para pasar de binario a hexadecimal sin calcular, agrupa los bits de cuatro en cuatro empezando por la derecha y sustituye cada grupo por su cifra.

Los colores de las páginas web usan esta idea. El código #FF8800 son tres bytes (rojo, verde, azul): FF = 255 es rojo al máximo, 88 = 8 · 16 + 8 = 136 es verde a media intensidad y 00 es nada de azul. El resultado es un naranja intenso.

El sistema octal (base 8, cifras de 0 a 7) agrupa los bits de tres en tres: 111₂ = 7, 101₂ = 5, y por eso 755₈ = 111 101 101₂ = 493. Los permisos de archivos de Linux se escriben así. El año 2026 es 11111101010₂ en binario, 3752₈ en octal y 7EA₁₆ en hexadecimal.

Números negativos en binario y en hexadecimal: el complemento a dos

Hasta aquí todos los números eran positivos. Cuando se usan todos los bits solo para el valor, de 0 a 2ⁿ − 1, se habla de binario natural (o binario puro, sin signo): con 8 bits, del 0 al 255. Para guardar también números negativos, los ordenadores usan el complemento a dos. El primer bit indica el signo (0 es positivo y 1, negativo) y, con 8 bits, se pueden escribir los números del −128 al 127.

Para escribir un número negativo en complemento a dos:

1. Escribe el valor sin signo en binario con la longitud que quieras, por ejemplo 8 bits.
2. Cambia todos los bits: cada 0 pasa a 1 y cada 1 pasa a 0.
3. Suma 1 al resultado.

La misma cadena de bits puede ser dos números distintos según se lea con o sin signo: 11111011 es 251 en binario natural y −5 en complemento a dos.

Texto en binario: cómo se pasa de binario a texto

Las letras también se guardan como números, y cada número como un grupo de bits. En el código ASCII, la A es el 65, la B es el 66 y así hasta la Z, que es el 90. Cada carácter ocupa 8 bits, es decir, un byte.

Para pasar de binario a texto, divide la cadena en grupos de 8 bits, convierte cada grupo a decimal y busca la letra. Con 01001000 01101111 01101100 01100001 sale 72, 111, 108 y 97, es decir, H, o, l, a: «Hola». Las minúsculas son las mayúsculas más 32: la a es el 97 = 01100001.

El sistema binario en informática

Los ordenadores usan el sistema binario porque sus circuitos distinguen con mucha fiabilidad dos estados, por ejemplo tensión alta y baja, o un interruptor abierto y cerrado. Con diez estados, los circuitos serían mucho más sensibles a los errores. Los textos, las imágenes y los programas se guardan como patrones de bits. Más sobre unidades como bit, byte y kilobyte en Datenmengen, Bit und Byte (en alemán).

Los lenguajes de programación permiten escribir y convertir números binarios. En Python, 0b101101 es el número 45, bin(45) da '0b101101' y int("101101", 2) da 45. Aun así, es importante entender la conversión a mano, porque es la base de todo.

Qué es el lenguaje binario

Con «lenguaje binario» (o código binario) se alude a la forma en que un ordenador guarda y procesa la información: todo se reduce a bits, y cada bit es un 0 o un 1. Ocho bits forman un byte, y con bytes se escriben números, letras y colores. La letra A, por ejemplo, es 01000001, y un texto entero es una fila larga de ceros y unos. No es un lenguaje con gramática: es un acuerdo sobre qué patrón de bits representa qué. Hoy casi nadie escribe programas directamente en binario. Se escriben en lenguajes de programación y el ordenador los traduce a las instrucciones binarias que ejecuta el procesador.

Binario y decimal en Python: el procedimiento programado

El procedimiento a mano se puede programar. Estas dos funciones repiten los métodos de arriba: dividir entre 2 y leer los restos de abajo hacia arriba, y avanzar cifra a cifra duplicando lo acumulado.

def a_binario(n):
    bits = ""
    while n > 0:
        bits = str(n % 2) + bits
        n = n // 2
    return bits or "0"

def a_decimal(bits):
    n = 0
    for b in bits:
        n = n * 2 + int(b)
    return n

print(a_binario(45))        # 101101
print(a_decimal("101101"))  # 45

En a_binario, n % 2 es el resto de dividir entre 2 y n // 2 es el cociente entero, como en la tabla de divisiones. En a_decimal, cada paso duplica lo acumulado y suma la cifra nueva: 1, 2 · 1 + 0 = 2, 2 · 2 + 1 = 5, 2 · 5 + 1 = 11, 2 · 11 + 0 = 22 y 2 · 22 + 1 = 45. En programas reales usa bin() e int(texto, 2), que hacen lo mismo.

¿Cuántos bits necesita un número? El logaritmo en base 2

El logaritmo en base 2 es el exponente al que hay que elevar 2 para obtener un número: log₂ 8 = 3, porque 2³ = 8. Un sistema de logaritmos se define por su base: los logaritmos decimales usan la base 10 y los binarios, la base 2. Con el logaritmo binario puedes saber cuántos bits necesita un número entero positivo n: la parte entera de log₂ n, más 1.

John Napier presentó los logaritmos en 1614, y Henry Briggs publicó en 1617 las primeras tablas de logaritmos decimales, en base 10. Más sobre ellos en Logarithmen (en alemán).

Historia: de Caramuel y Leibniz a la era digital

Contar con dos cifras es antiguo, pero la escritura binaria como sistema aparece en el siglo XVII. El español Juan Caramuel y Lobkowitz presentó en 1670, en su obra Mathesis biceps, los números naturales en varias bases, entre ellas la base 2. Según el historiador Ineichen, es probablemente la primera publicación europea que trata sistemas de posición distintos del decimal.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 a 1716) desarrolló las reglas del cálculo binario completas en 1679 y las publicó en 1703 en su Explication de l’arithmétique binaire. Para él, que todos los números puedan formarse con 1 y 0 era una imagen de la creación a partir de la nada. En 1701 le describió el sistema a un misionero jesuita en China, y la respuesta, que llegó en 1703, le hizo notar que los 64 hexagramas del I Ching, el libro chino de las mutaciones, se pueden leer como una sucesión de números binarios. Más sobre su vida en Gottfried Wilhelm Leibniz (en alemán).

En el siglo XIX, George Boole mostró que la lógica se puede calcular con dos valores, verdadero y falso (George Boole, en alemán). Y en 1948 Claude Shannon popularizó la palabra bit en su teoría de la información. Esas dos ideas, el binario de Leibniz y la lógica de Boole, son la base de la tecnología digital.

Ejercicios con soluciones

Para practicar con números siempre nuevos, en alemán tienes la hoja de ejercicios Zahlensysteme üben, que genera ejercicios con su solución.

Preguntas frecuentes

¿Qué es el sistema binario y en qué consiste?

Es un sistema de numeración de base 2 que usa solo las cifras 0 y 1. Cada posición vale el doble que la de su derecha. Un número binario es cualquier número escrito solo con ceros y unos, como 101101, que vale 45. Es el sistema que usan los ordenadores para guardar la información.

¿Qué significa «binario»? ¿Qué es un dígito binario?

«Binario» viene del latín binarius, «formado por dos». Se dice de lo que tiene dos elementos o dos estados, y en informática, de las dos cifras 0 y 1. Un dígito binario se llama bit, de binary digit.

¿Cuál es la diferencia entre el sistema binario y el decimal?

El decimal agrupa de diez en diez y usa diez cifras, del 0 al 9. El binario agrupa de dos en dos y usa solo 0 y 1. El decimal es el sistema de numeración que usamos a diario, explicado en el sistema decimal.

¿Cuál es el procedimiento para pasar de decimal a binario y a hexadecimal, y al revés?

De decimal a binario: divide entre 2 una y otra vez y lee los restos de abajo hacia arriba. De binario a decimal: suma las potencias de 2 donde hay un 1. De decimal a hexadecimal: divide entre 16 y escribe los restos de 10 a 15 como A a F. De hexadecimal a binario: cambia cada cifra por sus cuatro bits, por ejemplo 2F = 0010 1111, que vale 47. Cada método tiene su ejemplo en las secciones de decimal a binario y del binario al hexadecimal.

¿Qué es el lenguaje binario?

Es la forma en que un ordenador guarda y procesa la información usando solo bits, es decir, ceros y unos. Con grupos de 8 bits (bytes) se escriben números, letras y colores. Hay más en la sección lenguaje binario.

¿Cómo se pasa de decimal a binario?

Divide el número entre 2 una y otra vez, anota los restos y léelos de abajo hacia arriba. El 45 da 101101. Hay otro método y ejemplos en la sección de decimal a binario.

¿Cómo se pasa de binario a decimal?

Suma los valores de las posiciones donde hay un 1: 1, 2, 4, 8, 16, … de derecha a izquierda. Así, 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13. Más ejemplos en la sección de binario a decimal.

¿Cuáles son los números binarios del 1 al 10?

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 y 1010. La tabla llega hasta el 100.

¿Cuánto es 1 + 1 en binario?

10. Dos unidades forman una unidad de la posición siguiente, así que escribes 0 y llevas 1.

¿Qué números no son binarios?

Los que tienen alguna cifra distinta de 0 y 1, como 12 o 305. Aun así, todo número natural tiene una escritura binaria: el 12 es 1100 y el 305 es 100110001.

¿Cómo se escribe 100, 255 o 1000 en binario?

100 es 1100100, 255 es 11111111 y 1000 es 1111101000. Los números más buscados están en las tablas con su explicación.

¿Cómo se pasa binario a hexadecimal?

Agrupa los bits de cuatro en cuatro empezando por la derecha y cambia cada grupo por su cifra hexadecimal: 1101 0111 es D7. La conversión está explicada aquí.

¿Cómo se escriben los números negativos en binario y en hexadecimal?

Con el complemento a dos: escribe el valor en binario, cambia los ceros por unos y los unos por ceros y suma 1. Con 8 bits, −45 es 11010011, que en hexadecimal es D3. Los detalles están en números negativos en binario. Si todos los bits se usan para el valor, sin signo, se habla de binario natural o binario puro.

¿Para qué se usa el sistema binario en la programación y en la tecnología? ¿Se programa en binario?

La tecnología digital guarda y transmite todo como bits. Los primeros ordenadores se programaban con instrucciones en código máquina, que es binario. Hoy se escribe en lenguajes como Python o C, y el ordenador los traduce a binario. En programación el sistema binario sigue siendo útil para operar con bits, permisos de archivos o colores. Más en el sistema binario en informática.

¿Cómo se pasa de binario a decimal y de decimal a binario en Python?

Con int("101101", 2), que da 45, y con bin(45), que da '0b101101'. Las funciones a_binario y a_decimal de esta sección hacen lo mismo con el procedimiento a mano.

¿Cuántos bits necesita un número?

La parte entera del logaritmo en base 2 del número, más 1. El 1000 necesita 10 bits (1111101000) y el 255, 8 bits (11111111). La tabla está en cuántos bits necesita un número.

¿Quién inventó el sistema binario?

No hay un único inventor. Juan Caramuel publicó en 1670 una exposición de la numeración en varias bases, y Leibniz desarrolló el cálculo binario en 1679 y lo publicó en 1703. La escritura binaria hoy está en todos los ordenadores.

Fuentes y lecturas recomendadas

• Wikipedia: Sistema binario
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm Leibniz (en inglés)
• MacTutor History of Mathematics: Juan Caramuel y Lobkowitz (en inglés)
• Robert Ineichen: Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem, Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 16 (2008) (en alemán).
• Georges Ifrah: Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, Madrid 1997.