Trigonometrische Gleichungen lösen: Sinus und Kosinus

Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte x im Argument einer Winkelfunktion steht, also zum Beispiel $\sin x = 0,5$ oder $2 \cos x + 1 = 0$ . Du suchst alle Winkel x, für die die Gleichung stimmt.

Anders als bei $x^{2} = 4$ gibt es meist viele oder sogar unendlich viele Lösungen. Der Grund: Sinus, Kosinus und Tangens wiederholen sich, sie sind periodisch (siehe Graphen von Sinus und Kosinus). Deshalb brauchst du neben der ersten Lösung noch die Symmetrie der Kurven und die Periode.

Lösen am Einheitskreis

Am Einheitskreis (Radius 1, Mittelpunkt im Ursprung) ist der Sinus eines Winkels die Höhe des zugehörigen Punktes und der Kosinus seine Breite. Die Gleichung $\sin x = 0,5$ fragt also: Bei welchen Winkeln hat der Punkt die Höhe 0,5? Du zeichnest die waagerechte Gerade $y = 0,5$ und liest ab, wo sie den Kreis schneidet.

Die Gleichung sin x = 0,5 am Einheitskreis: Die Gerade y = 0,5 schneidet den Kreis in zwei Punkten, bei 30° und bei 180° − 30° = 150°. Die Höhe eines Punktes ist der Sinus seines Winkels.

Es gibt zwei Schnittpunkte. Der erste liegt im ersten Quadranten bei $x_{1} = 30 °$ , denn $\sin 30 ° = 0,5$ . Der zweite liegt im zweiten Quadranten spiegelbildlich zur y-Achse. Die Spiegelung ändert die Höhe nicht, also gilt $x_{2} = 180 ° - 30 ° = 150 °$ . Im Intervall von $0 °$ bis $360 °$ sind $30 °$ und $150 °$ die Lösungen.

Der Taschenrechner gibt mit der Taste $\sin^{- 1}$ (oder $\arcsin$ ) nur den ersten Wert. Er liefert die Lösung zwischen $- 90 °$ und $90 °$ . Die zweite Lösung musst du selbst über die Symmetrie ergänzen.

Die Symmetrieregeln

Die gleiche Überlegung gilt für jeden Wert a und für Kosinus und Tangens. Hast du eine erste Lösung $x_{1}$ , bekommst du die zweite durch Spiegeln am Einheitskreis:

Lösungen von $\sin x = a$ , $\cos x = a$ und $\tan x = a$
Gleichung	Erste Lösung $x_{1}$	Zweite Lösung pro Periode	Alle Lösungen ( $k \in ℤ$ )
$\sin x = a$	$\arcsin a$ (zwischen $- 90 °$ und $90 °$ )	$x_{2} = 180 ° - x_{1}$	$x = x_{1} + k \cdot 360 °$ oder $x = 180 ° - x_{1} + k \cdot 360 °$
$\cos x = a$	$\arccos a$ (zwischen $0 °$ und $180 °$ )	$x_{2} = - x_{1}$ (also $360 ° - x_{1}$ )	$x = \pm x_{1} + k \cdot 360 °$
$\tan x = a$	$\arctan a$ (zwischen $- 90 °$ und $90 °$ )	$x_{2} = x_{1} + 180 °$	$x = x_{1} + k \cdot 180 °$

Die Zahl k heißt Laufzahl. Sie darf jede ganze Zahl sein, auch negativ oder null. Jedes k verschiebt die Lösung um eine ganze Periode. Beim Tangens gibt es nur eine Lösung pro Periode, weil seine Periode schon $180 °$ lang ist.

Grad und Bogenmaß

Winkel kannst du in Grad oder im Bogenmaß angeben. Stelle den Taschenrechner auf den passenden Modus (DEG für Grad, RAD für Bogenmaß), sonst bekommst du falsche Zahlen. Die Periode ist im Bogenmaß $2 π$ statt $360 °$ und beim Tangens $π$ statt $180 °$ . Die Regeln bleiben gleich:

\sin x = a \Rightarrow x = x_{1} + 2 k π oder x = π - x_{1} + 2 k π

Bei $\sin x = 0,5$ ist $x_{1} = \frac{π}{6}$ , also lauten alle Lösungen $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ oder $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ . Bei $\sin x = 0,3$ liefert der Rechner im Bogenmaß $x_{1} \approx 0,305$ und damit $x_{2} = π - 0,305 \approx 2,837$ .

Alle Lösungen in einem Intervall

Oft ist ein Intervall vorgegeben, etwa $[0; 4 π]$ . Dann setzt du in der allgemeinen Lösung nacheinander $k = 0, 1, 2, \dots$ ein (auch negative Werte, falls das Intervall bei negativen Zahlen beginnt) und behältst nur die Werte, die im Intervall liegen.

Umstellen

Viele Gleichungen sehen zuerst anders aus. Du bringst sie mit den üblichen Umformungen auf die Grundform und löst dann wie oben. Die Winkelfunktion behandelst du dabei wie eine Unbekannte.

Hilfe beim Umstellen gibt die Seite Gleichungen lösen.

Quadratische Gleichungen in sin x

Kommt die Winkelfunktion in der zweiten Potenz vor, ersetzt du sie durch eine neue Variable, etwa $z = \sin x$ . Du löst die entstandene quadratische Gleichung, zum Beispiel mit der pq-Formel, und setzt danach zurück ein. Diese Methode heißt Substitution.

Stehen Sinus und Kosinus gemischt in einer Gleichung, hilft der Zusammenhang $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ (siehe Einheitskreis). Bei $2 \cos^{2} x - \sin x - 1 = 0$ ersetzt du $\cos^{2} x$ durch $1 - \sin^{2} x$ . Es folgt $2 \sin^{2} x + \sin x - 1 = 0$ , und mit $z = \sin x$ ergibt sich $z = 0,5$ oder $z = - 1$ . Die Lösungen sind $x = 30 °$ , $x = 150 °$ und $x = 270 °$ .

Gleichungen mit sin(2x) und die Periode

Steht im Argument nicht x, sondern zum Beispiel $2 x$ , wird die Kurve gestaucht. Die Periode von $\sin (2 x)$ ist nur noch $\frac{360 °}{2} = 180 °$ . Im Intervall von $0 °$ bis $360 °$ passen zwei Perioden hinein, also gibt es doppelt so viele Lösungen. Dafür substituierst du $u = 2 x$ .

Allgemein löst du zuerst für $u = b x$ und teilst am Ende durch b. Bei $\sin (2 x) = 0,5$ ist die allgemeine Lösung $2 x = 30 ° + k \cdot 360 °$ oder $2 x = 150 ° + k \cdot 360 °$ , also $x = 15 ° + k \cdot 180 °$ oder $x = 75 ° + k \cdot 180 °$ .

Gleichungen mit Sinus und Kosinus: sin x = cos x

Stehen Sinus und Kosinus auf beiden Seiten, teilst du durch $\cos x$ und erhältst den Tangens, denn $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ . Das ist erlaubt, wenn $\cos x \neq 0$ ist. Bei $\sin x = \cos x$ gilt das, denn wäre $\cos x = 0$ , müsste auch $\sin x = 0$ sein, und beides zugleich gibt es nicht.

Die Lösungen $\frac{π}{4}$ und $\frac{5 π}{4}$ kennst du vielleicht aus dem Bild der Sinus- und Kosinuskurve: Dort kreuzen sich beide Kurven genau an diesen Stellen.

Die Graph-Deutung

Eine Gleichung wie $\sin x = 0,5$ kannst du auch am Graphen lösen. Du zeichnest die Sinuskurve und die waagerechte Gerade $y = 0,5$ . Die x-Werte der Schnittpunkte sind die Lösungen. Das ist dasselbe wie am Einheitskreis, nur in einer ausgerollten Form.

Die Lösungen von sin x = 0,5 im Intervall [0; 4π] sind die Schnittstellen der Sinuskurve mit der Geraden y = 0,5. Pro Periode 2π gibt es zwei Lösungen.

Aus dem Bild liest du Folgendes ab:

Für $- 1 < a < 1$ schneidet die Gerade $y = a$ die Sinuskurve in jeder Periode zweimal.
Für $a = 1$ oder $a = - 1$ berührt sie die Kurve nur in den Hoch- und Tiefpunkten, einmal pro Periode.
Für $| a | > 1$ schneidet sie die Kurve nie, die Gleichung hat keine Lösung.

Auch Gleichungen wie $\sin x = \cos x$ lassen sich so deuten: als Schnittstellen zweier Kurven. Zum Zeichnen eignet sich der Funktionsplotter. Den Gleichungslöser kannst du für trigonometrische Gleichungen verwenden, er gibt die Lösungen mit der Laufzahl k an. Werte von Sinus und Kosinus berechnet der Sinus-Kosinus-Rechner.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Trigonometrische Gleichungen: Aufgaben und Trigonometrie: Aufgaben.

Geschichte: vom Sinus zur Umkehrung

Gleichungen wie $\sin x = a$ löste man früher mit Tafeln, die man rückwärts las: Aus dem Sinus suchte man den Winkel. Die ersten Sinustafeln stammen aus Indien. Aryabhata gab 499 eine Tafel mit 24 Werten an, und zwar für die Halbsehne, die jya. Über das arabische jība und eine Fehllesung zu jaib wurde daraus das lateinische sinus (Indische Mathematik).

In Europa stellte Regiomontanus um 1464 in seinem Werk De triangulis omnimodis die Trigonometrie als eigenes Fach dar und berechnete genaue Sinus- und Tangenstafeln. Aus dem Rückwärtslesen solcher Tafeln wurden später die Umkehrfunktionen wie der Arkussinus.

Häufige Fragen

Warum gibt der Taschenrechner nur eine Lösung?

Die Umkehrfunktionen $\arcsin$ , $\arccos$ und $\arctan$ liefern aus gutem Grund nur einen Wert, den Hauptwert. Er liegt beim Arkussinus und Arkustangens zwischen $- 90 °$ und $90 °$ und beim Arkuskosinus zwischen $0 °$ und $180 °$ . Die übrigen Lösungen findest du mit Symmetrie und Periode.

Was bedeutet

k \in ℤ

Die Zahl k ist eine beliebige ganze Zahl: $\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$ Sie zählt die Perioden, um die du die Lösung verschiebst. Damit gibst du unendlich viele Lösungen mit einer Formel an.

Wann gibt es keine Lösung?

Bei $\sin x = a$ und $\cos x = a$ mit $| a | > 1$ . Der Sinus und der Kosinus erreichen nie Werte außerhalb von $- 1$ bis $1$ . Beim Tangens gibt es für jede Zahl a Lösungen.

Soll ich in Grad oder im Bogenmaß rechnen?

Das hängt von der Aufgabe ab. In der Analysis und bei Graphen ist das Bogenmaß üblich. Wichtig ist nur, dass Rechnermodus und Intervall zusammenpassen.

Lösen am Einheitskreis

Die Symmetrieregeln

Grad und Bogenmaß

Alle Lösungen in einem Intervall

Umstellen

Quadratische Gleichungen in sin x

Gleichungen mit sin(2x) und die Periode

Gleichungen mit Sinus und Kosinus: sin x = cos x

Die Graph-Deutung

Typische Fehler

Übungen

Geschichte: vom Sinus zur Umkehrung

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

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