Quadratische Gleichungen lösen: Formeln und Beispiele

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte x im Quadrat vorkommt, aber in keiner höheren Potenz, zum Beispiel x² − 5x + 6 = 0. Quadratische Gleichungen lösen heißt, alle Zahlen zu finden, die diese Gleichung wahr machen. Hier sind es x = 2 und x = 3, denn 2² − 5 · 2 + 6 = 0 und 3² − 5 · 3 + 6 = 0. Anders als bei einer linearen Gleichung kann es zwei Lösungen geben.

Solche Gleichungen tauchen auf, sobald eine Größe mit sich selbst multipliziert wird: bei Flächen, bei der Flugbahn eines Balls oder beim Bremsweg. Hier lernst du alle wichtigen Lösungswege, vom Ausklammern bis zur Mitternachtsformel. Falls lineare Gleichungen noch wackeln, wiederhole zuerst Gleichungen lösen.

Normalform und allgemeine Form

Jede quadratische Gleichung lässt sich auf die allgemeine Form bringen. Die Buchstaben a, b und c sind feste Zahlen, die Koeffizienten. Dabei muss a ≠ 0 gelten, sonst verschwindet das Quadrat. ax² heißt quadratisches Glied, bx lineares Glied und c Absolutglied (die Zahl ohne x).

Drei Typen quadratischer Gleichungen
Typ	Form	Lösungsweg
reinquadratisch	ax² + c = 0	nach x² umstellen, Wurzel ziehen
ohne Absolutglied	ax² + bx = 0	x ausklammern
gemischtquadratisch	ax² + bx + c = 0	Faktorisieren, Ergänzung oder Formel

Quadratische Gleichungen faktorisieren

Faktorisieren heißt, eine Summe in ein Produkt zu verwandeln. Das lohnt sich wegen des Nullproduktsatzes: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist. Mit zwei Faktoren ungleich null kommt nie null heraus.

Gemeinsame Faktoren finden und herausziehen

Fehlt das Absolutglied, steckt in beiden Summanden ein x. Du ziehst es vor eine Klammer (Distributivgesetz rückwärts) und nimmst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen gleich mit.

Faktor vor x² gleich 1: Ausprobieren mit dem Satz von Vieta

Steht vor x² nur die 1, suchst du zwei Zahlen m und n mit dem Produkt q und der Summe p. Der Grund: (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn. Dann sind −m und −n die Lösungen. Den Zusammenhang beschrieb François Viète, mehr zum Probieren steht bei den Trinomen.

Beispiel: x² + 7x + 12 = 0

Gesucht sind zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe 7:

Zahlenpaare mit dem Produkt 12
Paar	Produkt	Summe
1 und 12	12	13
2 und 6	12	8
3 und 4	12	7

Es passt 3 und 4. Also gilt (x + 3)(x + 4) = 0 und damit x = −3 oder x = −4.

Faktor vor x² größer als 1

Steht vor x² eine Zahl a > 1, teilst du entweder die ganze Gleichung durch a (das kann Brüche erzeugen), oder du zerlegst das mittlere Glied bx in zwei Summanden. Dazu suchst du zwei Zahlen mit dem Produkt a · c und der Summe b und klammerst zweimal aus, siehe Gruppieren.

Nicht jede Gleichung lässt sich im Kopf faktorisieren, etwa x² − 2x − 7 = 0. Dann helfen die nächsten Verfahren.

Binomische Formeln: Muster erkennen

Manche Gleichungen sind das Ergebnis einer binomischen Formel. Dann erkennst du das Muster und schreibst die Faktoren sofort hin. Wie die Formeln entstehen, steht bei den Binomen. Hier liest du sie von rechts nach links.

Quadrat einer Summe

(a + b)² = a² + 2ab + b². Ein Quadrat der Seite a + b besteht aus zwei Quadraten und zwei Rechtecken, deshalb steht das Doppelte von ab in der Mitte.

Quadrat einer Differenz

(a − b)² = a² − 2ab + b². Nur das mittlere Vorzeichen wechselt, das letzte Glied bleibt positiv.

Differenz zweier Quadrate

a² − b² = (a + b)(a − b). Beim Ausmultiplizieren heben sich die gemischten Glieder auf. Eine Summe zweier Quadrate lässt sich dagegen nicht zerlegen.

Perfektes Quadrat erkennen

Ein perfektes Quadrat ist das Quadrat eines Binoms. Du prüfst es mit drei Fragen: Sind erstes und letztes Glied Quadrate? Ist das mittlere Glied das Doppelte des Produkts der Wurzeln? Passt das Vorzeichen? Mehr dazu bei den Trinomen.

Perfektes Quadrat oder nicht?
Ausdruck	Test des mittleren Glieds	Ergebnis
x² + 12x + 36	2 · x · 6 = 12x stimmt	(x + 6)²
4x² − 20x + 25	2 · 2x · 5 = 20x stimmt	(2x − 5)²
x² + 6x + 10	2 · x · 3 = 6x, aber 10 ≠ 9	nein

Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung klappt bei jeder quadratischen Gleichung. Du ergänzt die Gleichung so, dass links ein perfektes Quadrat steht, und ziehst dann die Wurzel. Als Zeichnung verstehst du das am besten, und genau so begründete es al-Chwarizmi um 825. Nimm x² + 6x = 16: Links stehen ein Quadrat mit der Seite x und zwei Rechtecke mit den Seiten 3 und x. Zu einem großen Quadrat fehlt nur die Ecke.

Quadratische Ergänzung zu x² + 6x = 16, maßstäblich für x = 2: Das Quadrat x² und die beiden Rechtecke 3x haben zusammen die Fläche 16. Das Eckquadrat 3 · 3 = 9 ergänzt die Figur zu einem Quadrat mit der Seite x + 3 und der Fläche 25.

Mit der Ecke hat das große Quadrat den Flächeninhalt 16 + 9 = 25 und die Seite √25 = 5. Diese Seite besteht aus x und 3, also ist x = 2. Die zweite Lösung x = −8 liefert nur die Rechnung, denn eine Seitenlänge ist nie negativ.

Nebenbei erhältst du den Scheitel: Aus x² + 6x − 16 = (x + 3)² − 25 liest du ab, dass die Parabel y = x² + 6x − 16 ihren tiefsten Punkt bei (−3 | −25) hat.

Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel)

Wendest du die quadratische Ergänzung auf die allgemeine Form an, entsteht eine Formel, in die du nur a, b und c einsetzt: die Mitternachtsformel. Der Name stammt aus dem Schulalltag und meint scherzhaft, dass du sie sogar um Mitternacht aufsagen können sollst.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

So entsteht sie aus ax² + bx + c = 0:

Durch a teilen: $x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$
Ergänzen: $x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a}$
Quadrat links, gleicher Nenner rechts: ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$
Wurzel ziehen: $x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
$\frac{b}{2 a}$ abziehen: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

pq-Formel für die Normalform

Steht die Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0, nutzt du die kürzere pq-Formel. Sie ist die Mitternachtsformel mit a = 1, b = p und c = q.

x = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

Diskriminante: wie viele Lösungen gibt es?

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet, wie viele Lösungen es gibt. Er heißt Diskriminante (lateinisch discriminare, „unterscheiden“): D = b² − 4ac. Bei der pq-Formel steht an dieser Stelle (p/2)² − q.

Die Diskriminante bestimmt die Anzahl der Lösungen
Diskriminante	Lösungen	Parabel
D > 0	zwei verschiedene	schneidet die x-Achse zweimal
D = 0	genau eine	berührt die x-Achse
D < 0	keine reelle	verläuft ganz oberhalb oder unterhalb

Die Parabeln y = x² − 4x + c für c = 3, 4 und 5 sind gleich geformt und liegen jeweils eine Einheit höher. Je höher die Parabel liegt, desto weniger Schnittpunkte hat sie mit der x-Achse: zwei, einen und keinen.

Graphische Lösung quadratischer Gleichungen

Zu jeder quadratischen Gleichung gehört eine Parabel. Für x² − 2x − 3 = 0 ist das y = x² − 2x − 3. Die Lösungen sind die x-Werte, bei denen y null ist, also die Nullstellen auf der x-Achse. Du zeichnest sie mit einer Wertetabelle.

Wertetabelle zu y = x² − 2x − 3
x	−2	−1	0	1	2	3	4
y	5	0	−3	−4	−3	0	5

Die Parabel y = x² − 2x − 3 schneidet die x-Achse bei x = −1 und x = 3. Das sind die Lösungen der Gleichung. Der Scheitel liegt bei (1 | −4), die gestrichelte Achse x = 1 ist die Symmetrieachse.

Der Scheitelpunkt liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen: x_S = −b : (2a) = 1 und y_S = 1 − 2 − 3 = −4. Weil a positiv ist, öffnet sich die Parabel nach oben; bei negativem a nach unten.

Ein zweiter Weg: Schreibe x² = 2x + 3 und schneide die Normalparabel y = x² mit der Geraden y = 2x + 3. Die Schnittpunkte (−1 | 1) und (3 | 9) haben wieder die x-Werte −1 und 3.

Welche Methode passt?

Der passende Lösungsweg
Du siehst	Verfahren
b = 0	nach x² umstellen, Wurzel ziehen
c = 0	x ausklammern
binomisches Muster	Formel rückwärts anwenden
kleine ganze Zahlen	Ausprobieren mit dem Satz von Vieta
alles andere	Mitternachtsformel oder pq-Formel
Scheitel gesucht	quadratische Ergänzung

Geschichte: von Tontafeln zur Formel

Babylon: Rechnen mit Flächen

Auf Keilschrifttafeln der babylonischen Zeit stehen Aufgaben, die vor fast 4.000 Jahren entstanden. Die erste der über 20 Aufgaben auf der Tafel BM 13901 lautet sinngemäß: Fläche und Seite eines Quadrats ergeben zusammen ¾, in heutiger Schreibweise x² + x = 3 : 4. Der Schreiber nimmt die Hälfte von 1, quadriert zu ¼, addiert ¾ + ¼ = 1, zieht die Wurzel 1 und subtrahiert ½. Die Seite ist ½. Das ist die pq-Formel in Worten; negative Zahlen kannte man nicht.

Al-Chwarizmi: sechs Typen und eine Zeichnung

Um 825 schrieb al-Chwarizmi in Bagdad das erste Lehrbuch, das Gleichungen als eigenes Fach behandelt. Er rechnete nur mit positiven Zahlen und unterschied deshalb sechs Typen. Jedes Rezept begründete er mit Quadraten und Rechtecken, wie in der Abbildung oben. Aus dem Titel seines Buches („al-dschabr“, Ergänzen) wurde das Wort „Algebra“.

Brahmagupta: eine Regel in Versen

Im Indien des 7. Jahrhunderts gab Brahmagupta in seinem Hauptwerk von 628 eine allgemeine Lösungsregel in Sanskritversen an. Sie entspricht der Mitternachtsformel mit dem Pluszeichen vor der Wurzel. Er rechnete mit Schulden als negativen Zahlen, deshalb durften seine Koeffizienten negativ sein.

Viète: Buchstaben statt Beispiele

Bis ins 16. Jahrhundert rechnete man Verfahren an einzelnen Zahlenbeispielen vor. Erst François Viète bezeichnete 1591 auch bekannte Größen mit Buchstaben und konnte ein Verfahren für alle Gleichungen eines Typs aufschreiben. Die heutige Verteilung der Buchstaben, a, b, c für bekannte und x, y, z für unbekannte Größen, geht auf René Descartes (1637) zurück.

Weiter geht es mit den Trinomen, den Polynomen und den rationalen Ausdrücken. Wie du quadratische Ungleichungen löst, zeigt die Seite Ungleichungen, und die Parabel selbst untersuchst du bei den Funktionen.

Häufige Fragen

Wie viele Lösungen hat eine quadratische Gleichung?

Höchstens zwei reelle. Bei D > 0 sind es zwei, bei D = 0 eine und bei D < 0 keine.

Muss ich immer eine Formel benutzen?

Nein. Bei fehlendem b oder c, bei binomischen Mustern und bei kleinen ganzen Zahlen sind Ausklammern, Wurzelziehen und Faktorisieren schneller. Die Formeln sind das sichere Werkzeug für alle anderen Fälle.

Quellen und weiterführende Literatur

Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
Jens Høyrup: Lengths, Widths, Surfaces. A Portrait of Old Babylonian Algebra and Its Kin, Springer, New York 2002.
Roshdi Rashed: Al-Khwārizmī. The Beginnings of Algebra, Saqi Books, London 2009.
MacTutor History of Mathematics: Quadratic, cubic and quartic equations (englisch)
Wikipedia: Quadratische Gleichung