Rechner · Klasse 9 bis 11
Quadratische Gleichungen lösen: Rechner mit Rechenweg
Gib die Koeffizienten a, b und c ein und erhalte die Lösungen exakt, als vereinfachte Wurzel und als Dezimalzahl. Dazu zeichnet der Rechner die Parabel und nennt Scheitelpunkt, Linearfaktoren und die Probe mit dem Satz von Vieta.
So benutzt du den Rechner
Bringe deine Gleichung zuerst in die allgemeine Form a·x² + b·x + c = 0, indem du alles auf eine Seite bringst. Aus 2x² = 3x + 5 wird 2x² − 3x − 5 = 0, also a = 2, b = −3 und c = −5. Fehlt ein Glied, trägst du 0 ein. Brüche wie 1/2 und Dezimalzahlen sind erlaubt.
Im Bereich Erweitert wählst du den Lösungsweg: abc-Formel, pq-Formel oder quadratische Ergänzung. Das Ergebnis ist bei allen drei Wegen gleich, nur der Rechenweg unterscheidet sich. So kannst du den Weg nachvollziehen, den deine Lehrkraft verlangt.
Die abc-Formel (Mitternachtsformel)
Der Ausdruck unter der Wurzel heißt Diskriminante D = b² − 4ac. Sie entscheidet über die Anzahl der Lösungen:
- D > 0: zwei verschiedene Lösungen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
- D = 0: genau eine Lösung, die Parabel berührt die x-Achse in ihrem Scheitelpunkt.
- D < 0: keine reelle Lösung, die Parabel verläuft ganz über oder ganz unter der x-Achse.
Die pq-Formel
Ist a = 1, steht die Gleichung in Normalform x² + px + q = 0. Dann ist die pq-Formel etwas kürzer:
Ist a ≠ 1, teilst du vorher die ganze Gleichung durch a. Der Rechner macht das automatisch und zeigt p und q als exakte Brüche.
Exakte Lösungen mit Wurzeln
Geht die Wurzel nicht auf, rechnen die meisten Rechner nur gerundet weiter. Dieser Rechner vereinfacht die Wurzel durch teilweises Wurzelziehen: √48 = √(16 · 3) = 4√3. Für x² − 4x + 1 = 0 erhältst du so exakt x₁,₂ = 2 ± √3 und zusätzlich die Näherungen 0,2679 und 3,7321. In Klassenarbeiten ist die exakte Form oft ausdrücklich verlangt.
Ist die Diskriminante negativ, zeigt der Rechner die komplexen Lösungen mit der imaginären Einheit i, etwa x₁,₂ = −1 ± 2i für 2x² + 4x + 10 = 0. Diese Anzeige lässt sich im Erweitert-Bereich ausschalten.
Scheitelpunkt und Linearfaktoren
Neben den Lösungen liefert der Rechner die Scheitelpunktform a(x − d)² + e mit dem Scheitelpunkt S(d | e) und, wenn die Lösungen rational sind, die faktorisierte Form a(x − x₁)(x − x₂). Die Probe mit dem Satz von Vieta prüft, ob x₁ + x₂ = −b/a und x₁ · x₂ = c/a gilt. Wie diese Formen zusammenhängen, erklärt das Kapitel Quadratische Gleichungen.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn a = 0 ist?
Dann ist die Gleichung nicht quadratisch, sondern linear: bx + c = 0 mit der Lösung x = −c/b. Der Rechner erkennt das und löst die lineare Gleichung.
Wann ist die abc-Formel besser als die pq-Formel?
Wenn a nicht 1 ist. Dann musst du für die pq-Formel erst durch a teilen und bekommst oft Brüche. Die abc-Formel verarbeitet a direkt. Beide liefern immer dieselben Lösungen.
Geht es auch ohne Formel?
Manchmal. Fehlt c, klammerst du x aus: x² − 5x = x(x − 5) = 0, also x = 0 oder x = 5. Fehlt b, ziehst du die Wurzel: x² = 9 ergibt x = ±3. Lässt sich die Gleichung faktorisieren, liest du die Lösungen direkt ab.
Warum heißt die abc-Formel auch Mitternachtsformel?
Weil man sie angeblich auch dann noch aufsagen können soll, wenn man um Mitternacht geweckt wird. Der Name ist vor allem in Süddeutschland verbreitet.