Bernard Bolzano

Bernard Bolzano (1781–1848) war ein böhmischer Priester, Philosoph und Mathematiker aus Prag. Er wollte die Analysis auf ein sicheres Fundament stellen: Was bei einer Kurve nur anschaulich einleuchtet, sollte bewiesen werden. 1817 gab er einen „rein analytischen“ Beweis für den Zwischenwertsatz, also einen Beweis ohne Zeichnung, und definierte dabei Begriffe, die man heute in jeder Analysis-Vorlesung lernt.

Weil er 1819 sein Lehramt verlor und danach kaum noch veröffentlichen durfte, blieben seine Ideen lange unbeachtet. Erst nach seinem Tod entdeckten Mathematiker, wie weit er seiner Zeit voraus war.

Herkunft und Priesterlaufbahn

Bolzano wurde am 5. Oktober 1781 in Prag geboren. Sein Vater stammte aus Oberitalien und handelte mit Kunstwerken, seine Mutter war die Tochter einer deutschsprachigen Prager Kaufmannsfamilie. Von zwölf Kindern erreichten nur zwei das Erwachsenenalter. Bolzano besuchte das Gymnasium der Piaristen und studierte an der Prager Universität Philosophie, Mathematik und Physik, ab 1800 auch Theologie. 1804 wurde er promoviert.

Die neue Mathematikprofessur ging an Ladislaus Jandera. Bolzano wurde Priester und übernahm 1805 den ebenfalls neu geschaffenen Lehrstuhl für Religionsphilosophie. Seine Vorlesungen galten als mitreißend, und sein Eintreten für soziale Reformen und für den Frieden machte ihn bei den Behörden verdächtig. Parallel schrieb er mathematische Arbeiten, darunter 1810 die Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik.

Der Zwischenwertsatz

Stell dir eine Kurve vor, die links unterhalb der x-Achse beginnt und rechts oberhalb endet, ohne abzusetzen. Dann muss sie die Achse irgendwo schneiden. Das wirkt selbstverständlich, doch Mathematiker wollten es nicht dem Augenschein überlassen. Bolzano veröffentlichte 1817 in Prag die Schrift Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Der Titel sagt es: ein Beweis ganz ohne Zeichnung und ohne Anleihen bei der Geometrie.

Dafür musste Bolzano zuerst sagen, was „stetig“ bedeutet. Er schrieb sinngemäß: f ist an einer Stelle x stetig, wenn der Unterschied zwischen f(x) und f(x + ω) beliebig klein wird, sobald man ω klein genug wählt. Das ist im Kern die Definition, die heute gilt. Im Beweis nutzte er außerdem eine Eigenschaft der reellen Zahlen: Jede nach oben beschränkte Menge hat eine kleinste obere Schranke. Eine saubere Konstruktion der reellen Zahlen gab es damals noch nicht; sie lieferten später Richard Dedekind und Georg Cantor.

Die Nullstelle ist √2 ≈ 1,41421 und liegt tatsächlich im letzten Intervall. Dieses Verfahren der Intervallhalbierung steht heute in jedem Lehrbuch der numerischen Mathematik. Bolzano selbst argumentierte über die kleinste obere Schranke.

Folgen, Teilfolgen und eine seltsame Funktion

In derselben Schrift beschrieb Bolzano Zahlenfolgen, deren Glieder einander schließlich beliebig nahe kommen. Solche Cauchy-Folgen führte Augustin-Louis Cauchy erst etwa vier Jahre später ein, ohne dass sicher ist, ob er Bolzanos Arbeit kannte. Nach Bolzano und Karl Weierstraß ist außerdem der Satz benannt, dass jede beschränkte Zahlenfolge eine Teilfolge besitzt, die gegen einen Grenzwert läuft. Beispiel: Von der Folge +1, −1, +1, −1, … kann man alle Glieder mit Wert +1 herausgreifen; diese Teilfolge hat den Grenzwert 1.

In den 1830er Jahren fand Bolzano zudem eine stetige Funktion, die an keiner Stelle eine Tangente besitzt, also nirgends differenzierbar ist. Das Manuskript Functionenlehre wurde jedoch erst 1930 veröffentlicht. Berühmt wurde ein solches Beispiel durch Weierstraß, der es 1872 vortrug.

Paradoxien des Unendlichen

Schon die antiken Griechen, etwa Zenon von Elea, hatten sich am Unendlichen die Zähne ausgebissen. Bolzano schrieb dazu in seinen letzten Lebensjahren ein Buch, das 1851 postum erschien: die Paradoxien des Unendlichen. Darin führt er das Wort „Menge“ als mathematischen Fachbegriff ein.

Bolzano beobachtete: Bei unendlichen Mengen kann man jedem Element einer Menge genau ein Element einer echten Teilmenge zuordnen. So gehört zu jeder Zahl zwischen 0 und 5 genau eine Zahl zwischen 0 und 12, nämlich y = 12x : 5. Auch die natürlichen Zahlen lassen sich mit den geraden Zahlen paaren: n gehört zu 2n. Das widerspricht der Erfahrung mit endlichen Mengen, in denen ein Teil immer kleiner ist als das Ganze. Bolzano nahm das als bemerkenswerte Eigenschaft des Unendlichen hin, wollte daraus aber keine Gleichheit der Größe ableiten. Georg Cantor drehte das später um: Wo sich zwei Mengen eins zu eins zuordnen lassen, nennt er sie gleichmächtig, und daraus entstand die moderne Mengenlehre.

Amtsenthebung und späte Jahre

Ab 1816 untersuchten die Behörden Bolzanos Lehre. Ende 1819 enthob ihn Kaiser Franz I. seines Amtes, weil er angeblich Irrlehren verbreitete, und verbot ihm das Veröffentlichen. Ein kirchliches Verfahren gegen ihn dauerte bis 1825; er weigerte sich, seine Ansichten zu widerrufen. Bolzano zog in die Provinz, zunächst zu Sommeraufenthalten, ab 1830 dauerhaft nach Těchobuz zu seiner befreundeten Familie Hoffmann. In dieser Zeit erschien seine Wissenschaftslehre (1837), ein vierbändiges Werk zur Logik, das später den Philosophen Edmund Husserl beeinflusste.

Nach 1835 lockerte sich die Aufsicht; in den 1840er Jahren durfte er wieder Abhandlungen in den Schriften der Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften veröffentlichen. Er starb am 18. Dezember 1848 in Prag an den Folgen einer Erkältung, die seine schwache Lunge nicht verkraftete.

Zeitleiste: Bernard Bolzanos Leben

1. 1781 Geburt am 5. Oktober in Prag
2. 1804 Promotion in Prag
3. 1805 Priesterweihe und Lehrstuhl für Religionsphilosophie
4. 1817 Rein analytischer Beweis des Zwischenwertsatzes
5. 1819 Amtsenthebung durch Kaiser Franz I.
6. 1830 Dauerhafter Umzug nach Těchobuz
7. 1837 Wissenschaftslehre in vier Bänden
8. 1848 Tod am 18. Dezember in Prag
9. 1851 Paradoxien des Unendlichen erscheinen posthum

Bedeutung heute

• Analysis-Vorlesung: Zwischenwertsatz und der Satz von Bolzano-Weierstraß gehören zum Pflichtstoff jedes Mathematikstudiums, auch in der Analysis der Oberstufe taucht der Zwischenwertsatz auf.
• Rechnen am Computer: Die Intervallhalbierung findet Nullstellen von Funktionen, auch wenn keine Formel bekannt ist.
• Logik und Philosophie: Bolzanos Wissenschaftslehre gilt als Wegbereiter der modernen Logik und der analytischen Philosophie.

Seinen Platz im Geschehen beschreibt die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was besagt der Zwischenwertsatz?

Eine stetige Funktion, die an einer Stelle negativ und an einer anderen positiv ist, hat dazwischen mindestens eine Nullstelle.

Wann lebte Bernard Bolzano?

Er wurde am 5. Oktober 1781 in Prag geboren und starb am 18. Dezember 1848 ebenda.

Quellen und weiterführende Literatur

• Bernard Bolzano: Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Gottlieb Haase, Prag 1817.
• Bernard Bolzano: Paradoxien des Unendlichen. Hrsg. von František Přihonský, C. H. Reclam, Leipzig 1851.
• Paul Rusnock, Jan Šebestík: Bernard Bolzano. His Life and Work. Oxford University Press, Oxford 2019.
• MacTutor History of Mathematics: Bernard Bolzano (englisch)