Límites

El límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a es el número L al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a, sin necesidad de que x llegue a valer a. Se escribe lim_x→a f(x) = L. Por ejemplo, la función f(x) = (x² − 1) / (x − 1) no está definida en x = 1, pero cuando x se acerca a 1 sus valores se acercan a 2, así que el límite es 2.

La página explica la idea de límite con una tabla de valores, los límites laterales, cómo calcular límites por sustitución, las indeterminaciones (0/0, ∞/∞ y ∞ − ∞), los límites en el infinito y las asíntotas, y la continuidad de una función, con ejemplos resueltos y ejercicios con soluciones. Antes conviene dominar la factorización. En alemán: Folgen und Grenzwerte.

La idea de límite

Para entender qué significa, se prueba con valores de x cada vez más cercanos a 1 por los dos lados, para f(x) = (x² − 1) / (x − 1):

Los valores se acercan a 2 por los dos lados, aunque en x = 1 la función no esté definida (hay una división entre 0). Como (x² − 1) = (x − 1)(x + 1), para x distinto de 1 resulta f(x) = x + 1: la gráfica es la recta y = x + 1 con un «agujero» en el punto (1, 2).

Límites laterales

El límite por la izquierda (x → a⁻) considera valores menores que a, y el límite por la derecha (x → a⁺) valores mayores. El límite existe solo si los dos son iguales.

Cálculo de límites por sustitución

Si f es un polinomio, una fracción cuyo denominador no se anula o una raíz de un valor positivo, el límite se calcula sustituyendo x por a.

Indeterminaciones

Si al sustituir sale 0/0, ∞/∞ o ∞ − ∞, no se puede decidir directamente: hay que transformar la expresión.

La indeterminación 0/0

Se factoriza numerador y denominador y se simplifica el factor que se anula, o se multiplica por el conjugado si hay raíces.

Límites en el infinito

Estudian qué ocurre cuando x crece sin límite (x → ∞) o decrece sin límite (x → −∞). Para un cociente de polinomios, se divide numerador y denominador entre la mayor potencia de x, o se comparan los grados:

Otro límite importante es lim_x→∞ (1 + 1/x)^x = e ≈ 2,71828, el número de la función exponencial.

Límites infinitos y asíntotas

Si, al acercarse x a un valor a, f(x) crece sin límite, el límite es ∞ (o −∞) y la recta x = a es una asíntota vertical. Si el límite en el infinito es un número L, la recta y = L es una asíntota horizontal.

Continuidad

Una función es continua en x = a si existe f(a), existe el límite cuando x → a y los dos coinciden: lim_x→a f(x) = f(a). Gráficamente, se puede dibujar sin levantar el lápiz. Las funciones polinómicas son continuas en todos los puntos. Tipos de discontinuidad:

• Evitable: el límite existe, pero f(a) no existe o es distinto. Se «arregla» redefiniendo f(a).
• De salto: los límites laterales existen y son distintos.
• Infinita: algún límite lateral es ∞ o −∞ (asíntota vertical).

Errores frecuentes

• Pensar que el límite es el valor de la función en el punto: puede no coincidir o no existir.
• Dar un resultado «0/0» o «∞/∞»: son indeterminaciones, no valores.
• Simplificar sumandos al resolver 0/0: solo se simplifican factores.
• Olvidar mirar los dos lados: si los límites laterales son distintos, el límite no existe.
• Confundir el límite en el infinito con el valor en un punto.
• Escribir ∞ como si fuera un número que se pueda restar de sí mismo.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Sigue aprendiendo

• Tema anterior: trigonometría.
• Siguiente tema: derivadas, que se definen con un límite.
• Repaso: álgebra y función exponencial.
• En alemán: Folgen und Grenzwerte.