Augustin-Louis Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) war ein französischer Mathematiker, Ingenieur und Physiker. Er gilt als einer der Begründer der strengen Analysis: In seinem Lehrbuch Cours d’analyse von 1821 erklärte er Begriffe wie Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz so, dass man mit ihnen sicher beweisen konnte. Daneben schuf er große Teile der Funktionentheorie, der Lehre von den Funktionen mit komplexen Zahlen.

Cauchy war ungeheuer produktiv: Es gibt von ihm knapp 800 Arbeiten, die in 27 Bänden gesammelt sind. Als streng gläubiger Katholik und Anhänger des Königshauses war er aber auch eine umstrittene Persönlichkeit, die sich mit Kollegen oft überwarf.

Von der Revolution zur Ingenieurschule

Cauchy wurde am 21. August 1789 in Paris geboren, gut fünf Wochen nach dem Sturm auf die Bastille. Sein Vater Louis-François war ein königstreuer Katholik und kannte Pierre-Simon Laplace und Joseph-Louis Lagrange. Lagrange riet dem Vater, den Jungen zuerst gründlich Sprachen lernen zu lassen, bevor er sich der Mathematik zuwende. 1805 bestand Cauchy die Aufnahmeprüfung der École polytechnique als Zweitbester, danach besuchte er die Ingenieurschule École des Ponts et Chaussées.

Ab 1810 arbeitete er als Ingenieur in Cherbourg an Hafenanlagen für Napoleons geplante Invasion Englands. Nach einer Krankheit, wohl einer schweren Depression, kehrte er 1812 nach Paris zurück. Dort zog es ihn zur reinen Mathematik. Er bewies, dass sich ein konvexes Polyeder, also ein Körper mit ebenen Flächen wie ein Würfel, nicht verformen lässt, ohne dass sich eine Fläche verändert, und löste ein Problem von Fermat über Vieleckszahlen. 1815 wurde er Professor an der École polytechnique, 1816 Mitglied der Académie des sciences.

Grenzwert und Stetigkeit: Der Cours d’analyse (1821)

Im 18. Jahrhundert rechnete man mit „unendlich kleinen“ Größen sehr geschickt, aber nicht immer sauber. Cauchy wollte das ändern. Im Cours d’analyse, geschrieben für Studierende der École polytechnique, erklärte er den Grenzwert sinngemäß so: Nähern sich die Werte, die eine Größe nacheinander annimmt, einem festen Wert, bis sie sich davon so wenig unterscheiden, wie man nur will, dann heißt dieser feste Wert der Grenzwert der übrigen. Auf dieser Grundlage definierte er die Stetigkeit: Eine Funktion ist stetig, wenn eine unendlich kleine Änderung der Variablen immer nur eine unendlich kleine Änderung des Funktionswerts bewirkt. Die Wendung „so wenig, wie man nur will“ machte später Karl Weierstraß mit der heute üblichen Epsilon-Delta-Sprache vollständig exakt.

1823 folgte das Résumé des leçons … sur le calcul infinitésimal. Cauchy definierte darin die Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten und das Integral als Grenzwert von Summen. Wie Ableitung und Integral in der Schule behandelt werden, zeigt die Lernseite Analysis, und was eine Funktion ist, erklärt die Seite über Funktionen.

Cauchy-Folgen

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn ihre Glieder einander schließlich beliebig nahe kommen, und zwar unabhängig vom Grenzwert. Formal:

Cauchy erklärte, dass eine solche Folge einen Grenzwert hat, begründete das aber nicht vollständig. Dafür muss man wissen, dass die reellen Zahlen „lückenlos“ sind. Das gelang erst Richard Dedekind, Georg Cantor und anderen in den 1870er Jahren. Schon 1817 hatte Bernard Bolzano in Prag Ähnliches formuliert.

Ein berühmter Fehler

Auch Cauchy irrte. 1821 behauptete er, dass die Summe einer unendlichen Reihe aus stetigen Funktionen selbst stetig sei. Niels Henrik Abel gab 1826 ein Gegenbeispiel: die Reihe sin x − ½ sin 2x + ⅓ sin 3x − …, eine Fourier-Reihe im Sinne von Joseph Fourier, deren Summe an der Stelle π einen Sprung hat. Der Fehler lag darin, dass die Reihe an manchen Stellen „langsamer“ konvergiert als an anderen. Die Lösung heißt gleichmäßige Konvergenz; der Begriff wurde in der Folge vor allem von Weierstraß ausgebaut.

Komplexe Funktionen

Seine zweite große Leistung ist die Funktionentheorie. Schon 1814 stieß Cauchy auf die Gleichungen, die man heute Cauchy-Riemann-Gleichungen nennt, und bewies in einer ersten Form den Integralsatz: Das Integral einer „glatten“ komplexen Funktion über einen geschlossenen Weg ist null, solange die Funktion im umschlossenen Gebiet überall definiert und differenzierbar ist. Ein Ausnahmefall zeigt, was man damit gewinnt: Die Funktion 1/z hat bei z = 0 eine Lücke. Läuft man einmal entlang des Einheitskreises K (also aller Punkte mit Abstand 1 vom Ursprung) um diesen Punkt, so ergibt sich:

Aus solchen Beobachtungen entwickelte Cauchy ab 1826 den Residuensatz, mit dem sich schwierige Integrale ausrechnen lassen. 1829 definierte er erstmals eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen. Auf diesen Fundamenten baute später Bernhard Riemann auf.

Exil, Glaube und späte Jahre

Nach der Julirevolution von 1830 verlangte die neue Regierung einen Treueeid auf König Louis-Philippe. Cauchy verweigerte ihn, verlor seine Ämter und verließ im September 1830 Paris. Er lehrte in Turin und ging 1833 nach Prag, wo er den jungen Herzog von Bordeaux, einen Enkel des gestürzten Königs Karl X., unterrichtete. Erst 1838 kehrte er nach Paris zurück. Eine Professur durfte er ohne Eid zunächst nicht annehmen; nach der Revolution von 1848 war er wieder frei und lehrte ab 1849 an der Sorbonne.

Auf Vorschlag von Gauß wurde er 1840 Mitglied der Göttinger Akademie der Wissenschaften. Sein strenger Glaube und sein schroffer Umgang mit Kollegen brachten ihm viel Kritik ein. Cauchy starb am 23. Mai 1857 in Sceaux; nach dem Bericht seiner Tochter war er bis kurz vor dem Tod bei klarem Verstand.

Zeitleiste: Augustin-Louis Cauchys Leben

1. 1789 Geburt am 21. August in Paris
2. 1805 Aufnahme an der École polytechnique
3. 1810 Ingenieur in Cherbourg
4. 1816 Mitglied der Académie des sciences
5. 1821 Cours d’analyse
6. 1823 Résumé des leçons sur le calcul infinitésimal
7. 1830 Verweigerter Eid, Beginn des Exils
8. 1838 Rückkehr nach Paris
9. 1849 Professor an der Sorbonne
10. 1857 Tod am 23. Mai in Sceaux

Bedeutung heute

• Analysis: Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz gehören zum Handwerkszeug jedes Mathematikstudiums.
• Naturwissenschaft und Technik: Mit dem Residuensatz berechnet man Integrale in Physik und Elektrotechnik. Cauchy begründete außerdem die Elastizitätstheorie mit.
• Algebra: Der Satz von Cauchy in der Gruppentheorie (1845) gehört zu den ersten Aussagen über die Struktur endlicher Gruppen.

Cauchys Platz in der Entwicklung schildert die Mathematik des 19. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Was ist eine Cauchy-Folge?

Eine Zahlenfolge, deren Glieder einander schließlich beliebig nahe kommen. In den reellen Zahlen hat jede Cauchy-Folge einen Grenzwert.

Wann lebte Augustin-Louis Cauchy?

Er wurde am 21. August 1789 in Paris geboren und starb am 23. Mai 1857 in Sceaux.

Quellen und weiterführende Literatur

• Augustin-Louis Cauchy: Cours d’analyse de l’École royale polytechnique. Imprimerie royale, Paris 1821.
• Bruno Belhoste: Augustin-Louis Cauchy. A Biography. Springer, New York 1991.
• Judith V. Grabiner: The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus. MIT Press, Cambridge (Mass.) 1981.
• MacTutor History of Mathematics: Augustin-Louis Cauchy (englisch)