Was ist eine Differenzengleichung?

Stell dir ein Sparkonto mit 2 % Zinsen vor. Bezeichnet $K_n$ den Kontostand nach $n$ Jahren, dann kommen in jedem Jahr $\mathrm{0,02}·K_n$ dazu: $K_{n+1}=K_n+\mathrm{0,02}·K_n$. Das ist eine Differenzengleichung. Sie legt fest, um wie viel sich der Wert in einem Schritt ändert. Der griechische Buchstabe Δ (Delta) steht für „Unterschied“, deshalb schreibt man die Änderung pro Schritt als $\Delta x_n=x_{n+1}-x_n$.

Die Gleichung $x_{n+1}-x_n=\mathrm{0,02}·x_n$ sagt dasselbe wie $x_{n+1}=\mathrm{1,02}·x_n$, nur aus einer anderen Sicht: einmal die Änderung, einmal der neue Wert. Mit einem Startwert $x_0$ ist dann die ganze Folge $x_1,x_2,x_3,\dots$ bestimmt. Eine Differenzengleichung ist also eine rekursive Folge, bei der du auf die Änderung schaust. Teilst du die Änderung durch die Schrittweite (hier 1 Jahr), erhältst du die mittlere Änderungsrate, den Differenzenquotienten.