Folgen- und Reihenrechner: Glieder, Summen und Grenzwerte

So benutzt du den Folgenrechner

Wähle die Art der Folge. Bei arithmetischen und geometrischen Folgen reichen das erste Glied und der Abstand bzw. Faktor. Eine explizite Folge gibst du als Formel mit n ein, etwa (2n + 1)/(n + 3). Bei einer rekursiven Folge steht a für das vorige Glied, etwa 2a + 1. Im Modus „Muster erkennen“ tippst du die ersten Glieder ein, und der Rechner sucht die Regel.

Arithmetische Folgen

Bei einer arithmetischen Folge kommt von Glied zu Glied immer dieselbe Zahl d dazu: 3, 7, 11, 15, … mit d = 4. Das n-te Glied ist aₙ = a₁ + (n − 1) · d, im Beispiel a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39. Die Summe der ersten n Glieder ist n mal der Mittelwert aus erstem und letztem Glied: s₁₀ = 10 · (3 + 39) : 2 = 210.

Geometrische Folgen und Reihen

Bei einer geometrischen Folge wird jedes Glied mit demselben Faktor q multipliziert: 3, 3/2, 3/4, 3/8, … mit q = 1/2. Das n-te Glied ist aₙ = a₁ · q^{n − 1}. Die Summe der ersten n Glieder ist

Ist |q| kleiner als 1, werden die Glieder immer kleiner, und auch die unendliche Summe hat einen endlichen Wert: s = a₁ : (1 − q). Im Beispiel ist das 3 : (1/2) = 6.

Grenzwerte expliziter Folgen

Bei Brüchen aus Polynomen in n entscheiden die höchsten Potenzen über den Grenzwert. Haben Zähler und Nenner denselben Grad, ist der Grenzwert der Quotient der Koeffizienten vor der höchsten Potenz: (2n + 1)/(n + 3) strebt gegen 2. Hat der Nenner den höheren Grad, strebt die Folge gegen 0. Für andere Formeln schätzt der Rechner den Grenzwert numerisch, etwa (1 + 1/n)ⁿ ≈ 2,718, die Eulersche Zahl e.

Rekursive Folgen und Muster

Rekursive Folgen berechnet man Schritt für Schritt aus dem vorigen Glied. Die Regel aₙ₊₁ = (aₙ + 2/aₙ) : 2 mit a₁ = 1 nähert sich sehr schnell √2 ≈ 1,4142135624. Dieses Verfahren war schon in Babylon bekannt und heißt heute Heron-Verfahren.

Beim Muster erkennen prüft der Rechner, ob die Differenzen gleich sind (arithmetisch), die Quotienten gleich sind (geometrisch), die Differenzen gleichmäßig wachsen (quadratisch, etwa 2, 5, 10, 17, 26 mit aₙ = n² + 1) oder jedes Glied die Summe der beiden vorigen ist, wie bei den Zahlen von Fibonacci.

Häufige Fragen