Nikolaus von Oresme

Nikolaus von Oresme (französisch Nicole Oresme, um 1320–1382) war ein französischer Gelehrter und später Bischof von Lisieux. Er gilt als der vielseitigste Mathematiker des späten Mittelalters. Seine Ideen wirken oft erstaunlich modern: Er zeichnete veränderliche Größen als Figuren, die an Funktionsgraphen erinnern, rechnete mit gebrochenen Exponenten und zeigte als Erster, dass die harmonische Reihe 1 + ½ + ⅓ + ¼ + … keine endliche Summe hat.

Oresme war kein Mathematiker im heutigen Sinn, sondern Theologe, Berater eines Königs und Übersetzer. Seine Mathematik diente der Naturphilosophie, also der Frage, wie sich Bewegung, Wärme oder Licht ändern. Dabei fand er Methoden, die erst Jahrhunderte später weiterentwickelt wurden. Er gehört zu den Schlüsselfiguren der mittelalterlichen europäischen Mathematik.

Leben zwischen Hörsaal und Königshof

Oresme stammte aus einfachen Verhältnissen in der Normandie, vermutlich aus dem Dorf Allemagne bei Caen. Genaue Lebensdaten sind unbekannt. Weil er das Collège de Navarre besuchte, eine Stiftung für Studenten ohne Geld, nimmt man an, dass seine Familie arm war. In Paris studierte er die freien Künste, zur Zeit des Naturphilosophen Jean Buridan, und ab 1348 Theologie. 1356 wurde er Leiter des Collège de Navarre.

Dort kam er mit dem Thronfolger, dem späteren König Karl V., in Kontakt, der ihn förderte. Um 1364 wurde Oresme Dekan der Kathedrale von Rouen. Auf Wunsch des Königs übersetzte er zwischen 1370 und 1377 mehrere Schriften des Aristoteles ins Französische, darunter die Ethik und die Politik. Damit machte er wissenschaftliches Wissen in der Volkssprache zugänglich. 1377 wurde er Bischof von Lisieux, wo er 1382 starb.

Graphen veränderlicher Größen

Im Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum („Abhandlung über die Gestalten der Eigenschaften und Bewegungen“, um 1350) stellte sich Oresme eine Frage, die eher nach Physik klingt: Wie kann man beschreiben, dass etwas stärker oder schwächer wird, zum Beispiel die Wärme eines Stabes oder die Geschwindigkeit eines Läufers? Seine Antwort war ein Bild. Auf einer waagerechten Grundlinie (longitudo, „Länge“) markierte er Orte oder Zeitpunkte. Senkrecht darüber (latitudo, „Breite“) trug er an jeder Stelle die Stärke ab.

So entstehen Figuren: Bleibt die Größe gleich, ergibt sich ein Rechteck. Wächst sie gleichmäßig, entsteht ein Dreieck oder ein Trapez. Das ist die Grundidee eines Funktionsgraphen, nur ohne Achsenkreuz und ohne Gleichung. René Descartes schuf das Koordinatensystem erst drei Jahrhunderte später.

Diese Aussage heißt Merton-Regel, benannt nach dem Merton College in Oxford, wo Gelehrte sie schon in den 1330er-Jahren in Worten formulierten. Oresme bewies sie durch einen Flächenvergleich, den man sofort sieht. Dass Galileo Galilei 1638 für den freien Fall genauso argumentierte, ist bemerkenswert. Ob Oresme ihn beeinflusste, ist umstritten.

Die harmonische Reihe wächst ohne Grenzen

Eine Reihe ist eine Summe mit unendlich vielen Gliedern. Bei der harmonischen Reihe 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⅕ + … werden die Glieder immer kleiner und gehen gegen null. Man könnte daher erwarten, dass die Summe irgendwann einen festen Wert erreicht. Das ist falsch. Oresme bewies um 1350, vermutlich in seinen Quaestiones super geometriam Euclidis („Fragen zur Geometrie Euklids“), dass sie jede Grenze überschreitet. Sein Trick ist ein Gruppieren der Glieder:

• 1/3 + 1/4 ist größer als 1/4 + 1/4 = 1/2.
• 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 ist größer als 4 · 1/8 = 1/2.
• Die nächsten 8 Glieder von 1/9 bis 1/16 sind zusammen größer als 8 · 1/16 = 1/2, und so weiter.

Es lassen sich also unendlich viele Gruppen bilden, die jeweils mehr als ½ ergeben. Damit wird die Summe größer als 1 + ½ + ½ + ½ + … und wächst über jede Grenze. Nach 2^k Gliedern ist sie mindestens 1 + k/2.

Gebrochene Exponenten und das Rechnen mit Verhältnissen

In De proportionibus proportionum („Über die Verhältnisse der Verhältnisse“, um 1360) rechnete Oresme mit Verhältnissen, wie sie in der Musik und der Mechanik vorkommen. Ein Verhältnis zu verdoppeln bedeutet, es zu quadrieren. Er fragte weiter: Was heißt es, ein Verhältnis zu halbieren oder anderthalbmal zu nehmen? In heutiger Schreibweise sind das Potenzen mit gebrochenen Exponenten. So ist das Anderthalbfache des Verhältnisses 4 : 1 gleich 4^3/2 : 1 = 8 : 1, und das Halbe des Verhältnisses 2 : 1 ist √2 : 1. Seine Schreibweise war eine andere, aber die Regeln entsprachen unseren Potenzgesetzen.

Daraus zog er einen kühnen Schluss: Unter allen denkbaren Verhältnissen sind die irrationalen weit in der Überzahl. Es sei also sehr wahrscheinlich, dass die Umlaufzeiten von Himmelskörpern in keinem rationalen Verhältnis zueinander stehen. Dann kehrt keine Konstellation je genau wieder, und Astrologen können sie nicht exakt vorhersagen. Es ist ein früher Versuch, mit Wahrscheinlichkeit zu argumentieren.

Himmel und Geld

Auch außerhalb der Mathematik war Oresme klug und unabhängig. Im Livre du ciel et du monde (1377) prüfte er, ob sich die Erde dreht, und fand keinen zwingenden Beweis dagegen. Am Ende entschied er sich dennoch für die ruhende Erde, vor allem mit Verweis auf die Bibel. In seinem Traktat über das Geld kritisierte er Herrscher, die Münzen mit weniger Edelmetall prägen ließen. Stabiles Geld sei Sache der Gemeinschaft, nicht des Fürsten.

Zeitleiste: Nikolaus von Oresme

1. um 1320 Geburt in der Normandie
2. 1348 Student der Theologie am Collège de Navarre in Paris
3. um 1350 Graphen veränderlicher Größen und Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe
4. 1356 Leiter des Collège de Navarre
5. um 1360 De proportionibus proportionum mit gebrochenen Exponenten
6. 1370–1377 Übersetzung von Schriften des Aristoteles ins Französische
7. 1377 Livre du ciel et du monde, Wahl zum Bischof von Lisieux
8. 1382 Tod in Lisieux

Bedeutung und Nachwirkung

Oresmes Graphen sind das Vorbild für jedes Diagramm, das wir heute in der Schule und in den Nachrichten sehen: Wer eine Kurve für Temperatur, Kontostand oder Geschwindigkeit liest, nutzt seine Idee. Seine harmonische Reihe ist ein Standardbeispiel jeder Analysis-Vorlesung, weil sie zeigt, dass kleine Glieder allein nicht für eine endliche Summe genügen. Mehr zu Reihen und Grenzwerten steht auf der Lernseite Analysis. Das Potenzieren mit Brüchen gehört heute zum Schulstoff.

Quellen und weiterführende Literatur

• Marshall Clagett (Hrsg.): Nicole Oresme and the Medieval Geometry of Qualities and Motions, University of Wisconsin Press, Madison 1968.
• Edward Grant (Hrsg.): Nicole Oresme: De proportionibus proportionum and Ad pauca respicientes, University of Wisconsin Press, Madison 1966.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Nicole Oresme (englisch)
• Heinz Klaus Strick: Nicole Oresme (1323–1382), Spektrum.de