Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem ist ein Gitternetz aus zwei Zahlenstrahlen, mit dem du jeden Punkt einer Fläche durch zwei Zahlen beschreibst. Du kennst das Prinzip vom Stadtplan („Planquadrat C4“), vom Spiel „Schiffe versenken“ oder vom Schach, wo jedes Feld einen Namen wie e4 hat. Mit Koordinaten kannst du Punkte eindeutig angeben, Figuren zeichnen und Flächen vermessen.

Hier lernst du Schritt für Schritt, wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist, wie du Punkte einträgst und abliest, wofür es vier Quadranten gibt und wie du Figuren verschiebst und spiegelst. Am Ende erfährst du, wer die Idee hatte. Vorwissen: der Zahlenstrahl und negative Zahlen.

Achsen, Ursprung und Einheiten

Zeichne zwei Zahlenstrahlen, die senkrecht aufeinander stehen, also im rechten Winkel. Der waagerechte heißt x-Achse, der senkrechte y-Achse. Dort, wo sie sich schneiden, liegt der Ursprung. Auf beiden Achsen steht an dieser Stelle die Zahl 0, und der Punkt hat den Namen O(0 | 0).

Auf jeder Achse trägst du gleiche Abstände ab, die Einheiten. Im Heft nimmst du meist 1 cm (zwei Kästchen) als Einheit, in den Bildern hier ist es ein Gitterkästchen. Die Zahlen schreibst du an die Gitterlinien, und ein Pfeil am Ende der Achse zeigt, wohin die Zahlen größer werden.

Punkte eintragen und ablesen

Jeder Punkt hat zwei Koordinaten. Die x-Koordinate sagt, wie weit du vom Ursprung nach rechts gehst, die y-Koordinate, wie weit du von dort nach oben gehst. Du schreibst sie in Klammern und trennst sie mit einem senkrechten Strich: P(3 | 2). Gesprochen: „P mit den Koordinaten drei, zwei“.

Die Reihenfolge ist wichtig. Eine Eselsbrücke: Erst zur Tür, dann die Treppe hoch. Also zuerst x (zur Seite), dann y (nach oben).

Achte darauf: P(3 | 2) und Q(2 | 3) sind verschiedene Punkte. Liegt ein Punkt auf der x-Achse, ist seine y-Koordinate 0, zum Beispiel A(4 | 0). Liegt er auf der y-Achse, ist seine x-Koordinate 0, zum Beispiel B(0 | 3).

Negative Koordinaten und die vier Quadranten

Die Achsen reichen auch nach links und nach unten. Links vom Ursprung stehen auf der x-Achse die negativen Zahlen, unterhalb des Ursprungs auf der y-Achse. Dann teilen die Achsen die Ebene in vier Felder, die Quadranten (von lateinisch quadrans, „Viertel“). Man nummeriert sie mit römischen Zahlen gegen den Uhrzeigersinn, oben rechts beginnend.

Punkte auf den Achsen gehören zu keinem Quadranten. Du erkennst den Quadranten also schon an den Vorzeichen, ohne zu zeichnen.

Figuren im Koordinatensystem

Mit Koordinaten zeichnest du Figuren Punkt für Punkt. Du trägst die Ecken ein und verbindest sie der Reihe nach. Dabei hilft es, die Ecken mit Großbuchstaben zu benennen, meist gegen den Uhrzeigersinn.

Das Rechteck ABCD hat die Ecken A(1 | 1), B(5 | 1), C(5 | 4) und D(1 | 4). Seine Seiten laufen parallel zu den Achsen. Deshalb haben die Ecken A und D dieselbe x-Koordinate, und die Ecken A und B dieselbe y-Koordinate. Fehlt dir eine Ecke, übernimmst du also die passenden Koordinaten der Nachbarecken.

Längen und Flächen durch Kästchenzählen

Die Länge einer waagerechten oder senkrechten Strecke liest du aus dem Unterschied der Koordinaten ab. Die Strecke AB geht von x = 1 bis x = 5, ist also 5 − 1 = 4 Einheiten lang. Die Strecke BC geht von y = 1 bis y = 4 und ist 4 − 1 = 3 Einheiten lang.

Die Fläche kannst du als Anzahl der Gitterkästchen bestimmen. Jedes Kästchen ist eine Einheit breit und eine Einheit hoch. Ist eine Einheit 1 cm lang, ist ein Kästchen 1 cm² groß. Das Rechteck ist 4 Kästchen breit und 3 Kästchen hoch, enthält also 4 · 3 = 12 Kästchen. Die Diagonale AC teilt es in zwei gleich große Dreiecke. Das Dreieck ABC hat deshalb 12 : 2 = 6 Kästchen. Weitere Formeln stehen im Abschnitt Flächen- und Volumenformeln.

Verschieben und Spiegeln

Verschieben

Beim Verschieben wandert jeder Punkt einer Figur gleich weit in dieselbe Richtung. Du rechnest mit den Koordinaten: Nach rechts wird x größer, nach links kleiner. Nach oben wird y größer, nach unten kleiner. Verschiebst du A(2 | 1) um 3 nach rechts und 2 nach oben, entsteht (2 + 3 | 1 + 2) = (5 | 3). Eine Verschiebung beschreibt man auch durch einen Pfeil, den Vektor.

Spiegeln an den Achsen

Beim Spiegeln an einer Achse liegt der Bildpunkt auf der anderen Seite der Achse, genauso weit von ihr entfernt wie der Originalpunkt. Die Verbindungslinie steht senkrecht auf der Achse. Mehr zu Spiegelungen steht auf der Seite Symmetrie und Abbildungen.

Im Bild wird das Dreieck PQR mit P(1 | 1), Q(4 | 1) und R(2 | 3) gespiegelt. An der y-Achse entstehen P′(−1 | 1), Q′(−4 | 1) und R′(−2 | 3). An der x-Achse entstehen P″(1 | −1), Q″(4 | −1) und R″(2 | −3).

Ausblick: Abstand, Mittelpunkt und Geraden

Abstand: Liegen zwei Punkte auf einer waagerechten Linie, ziehst du die x-Koordinaten voneinander ab. Für A(−3 | 2) und B(4 | 2) ist das 4 − (−3) = 7. Liegt die Strecke schräg, hilft der Satz des Pythagoras. Der Abstand von O(0 | 0) und (3 | 4) ist √(3² + 4²) = 5.

Mittelpunkt: Die Mitte einer Strecke erhältst du, indem du die Mittelwerte der Koordinaten bildest. Für A(1 | 2) und B(7 | 6) ist M((1 + 7) : 2 | (2 + 6) : 2) = M(4 | 4).

Geraden: Trage die Punkte (0 | 1), (1 | 3), (2 | 5) und (3 | 7) ein. Sie liegen auf einer Geraden, denn bei jedem Schritt nach rechts geht es 2 nach oben. Solche Geraden beschreibt eine lineare Funktion, hier y = 2x + 1. Den Graphen jeder Funktion zeichnest du in ein Koordinatensystem.

Typische Fehler im Koordinatensystem

Übungen

Zum Ausprobieren eignet sich der Funktionsplotter, der Graphen in ein Koordinatensystem zeichnet.

Geschichte: von Oresme bis Descartes

Die Idee, Größen als Bilder auf einem Gitter darzustellen, ist alt. Um 1350 zeichnete Nikolaus von Oresme (ca. 1320–1382) die Stärke einer Eigenschaft als Strecke über einer Grundlinie, zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Läufers über der Zeit. Ein Achsenkreuz und Gleichungen gab es dabei noch nicht.

Den entscheidenden Schritt machten im 17. Jahrhundert zwei Franzosen unabhängig voneinander. Pierre de Fermat (1607–1665) schrieb um 1636 eine Einführung, die nur als Abschrift kursierte und erst 1679 gedruckt wurde. René Descartes (1596–1650) veröffentlichte 1637 sein Werk La Géométrie. Beide beschrieben Punkte durch Zahlen und Kurven durch Gleichungen. Nach dem latinisierten Namen Cartesius heißt das Koordinatensystem „kartesisch“, und das Wort „Koordinaten“ geht auf Leibniz zurück.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Koordinatensystem
• MacTutor History of Mathematics: René Descartes (englisch)
• René Descartes: Discours de la méthode … plus La Dioptrique, Les Météores et La Géométrie, Leiden 1637.
• Carl B. Boyer: History of Analytic Geometry, Dover Publications, Mineola 2004 (Neuausgabe der Erstausgabe von 1956).