Arbeitsblatt · Klasse 6–8
Zeit-Weg-Diagramme und Geschwindigkeit: Aufgaben mit Lösungen
Du liest eine Busfahrt aus einem Diagramm ab, zeichnest Wanderungen, lässt zwei Fahrzeuge aufeinander zufahren und rechnest eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Alle Aufgaben haben Lösungen auf einem eigenen Blatt.
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Erklärung: Zeit-Weg-Diagramme und GeschwindigkeitFür die Lehrkraft: Steckbrief
- Klassenstufe: 6 bis 8, je nach Aufgabenauswahl
- Zeitbedarf: 45 Minuten für Teil A und B, Teil C als Vertiefung oder Hausaufgabe
- Lernziele: Zeit-Weg-Diagramme lesen und zeichnen, Geschwindigkeit als Steigung deuten, Abschnitte einer Bewegung unterscheiden, Treffpunkte aus dem Diagramm ablesen und berechnen, die Durchschnittsgeschwindigkeit richtig bestimmen.
- Material: dieses Blatt, Lineal, Karopapier oder kariertes Heft. Ein Taschenrechner ist erlaubt, nötig ist er nicht.
- Bezug zur Lernseite: Diagramme lesen, Treffpunkt zweier Bewegungen, Durchschnittsgeschwindigkeit; Formeln zu Geschwindigkeit, Weg und Zeit bei Geschwindigkeit berechnen
Die Aufgaben sind mit ihrem Anforderungsbereich gekennzeichnet (AFB I Reproduzieren, II Zusammenhänge herstellen, III Verallgemeinern und Reflektieren).
Ablaufvorschlag
- Einstieg (5 Minuten): Die Klasse beschreibt mündlich, was ein Zeit-Weg-Diagramm zeigt, zum Beispiel an einer Fahrt zur Schule.
- Teil A (15 Minuten): Das Diagramm der Busfahrt lesen und Geschwindigkeiten bestimmen.
- Teil B (20 Minuten): Wanderung zeichnen, Begegnung zeichnen und rechnen, Aussagen prüfen.
- Teil C als Vertiefung oder Hausaufgabe, Besprechung der Durchschnittsgeschwindigkeit im Plenum.
Teil A: Diagramme lesen
Aufgabe: Das Diagramm zeigt die Fahrt eines Reisebusses. Es gibt an, wie weit der Bus zu jeder Zeit vom Startort entfernt ist.
- Lies am Diagramm ab: (a) Wie weit ist der Bus nach einer Stunde vom Start entfernt? (b) Wie lange steht der Bus? (c) Wie weit ist er nach 2,5 Stunden gekommen? AFB I
- Bestimme die Geschwindigkeit des Busses in den drei Abschnitten: 0 bis 1 Stunde, 1 bis 1,5 Stunden und 1,5 bis 3,5 Stunden. AFB I
- Rechne um: (a) 90 km/h in m/s, (b) 6 m/s in km/h. AFB I
- Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit des Busses für die ganze Fahrt, einschließlich der Pause. Runde auf eine Nachkommastelle. AFB II
Teil B: Zeichnen und Rechnen
- Jan wandert 2 Stunden mit 5 km/h, rastet eine halbe Stunde und geht dann 1,5 Stunden mit 4 km/h weiter. Lege eine Wertetabelle an und zeichne das Zeit-Weg-Diagramm (Zeit: 1 Stunde entspricht 2 cm, Weg: 4 km entsprechen 1 cm). Wie groß ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit? AFB II
- Die Orte A und B sind 45 km voneinander entfernt. Lena fährt in A mit 15 km/h Richtung B los, Paul gleichzeitig in B mit 30 km/h Richtung A. Zeichne beide Fahrten in ein Diagramm und lies den Treffpunkt ab. Berechne ihn dann und vergleiche. AFB II
- Beurteile die Aussagen zum Diagramm der Busfahrt und begründe: (a) Der Bus fährt zu Beginn schneller als nach dem Halt. (b) Nach genau zwei Stunden hat der Bus 80 km zurückgelegt. (c) Zwischen 1 und 1,5 Stunden fährt der Bus rückwärts. AFB II
Teil C: Knifflig
- Tim fährt um 14:00 Uhr mit 12 km/h auf dem Rad los. Seine Oma fährt um 14:30 Uhr am selben Ort mit dem Auto mit 48 km/h in dieselbe Richtung. Wann und wo holt sie Tim ein? Löse mit Gleichungen und mit einer Skizze. AFB III
- Ein Bote radelt von A nach B mit 20 km/h und auf demselben Weg zurück mit 30 km/h. Ist die Durchschnittsgeschwindigkeit 25 km/h? Berechne sie und erkläre den Unterschied. AFB III
- Ein Zeit-Weg-Diagramm besteht aus drei Abschnitten: In der ersten halben Stunde steigt die Linie von 0 auf 2 km. Dann verläuft sie eine halbe Stunde waagerecht. In der folgenden halben Stunde steigt sie von 2 auf 6 km. Erfinde eine passende Geschichte und bestimme die Geschwindigkeit in jedem Abschnitt. AFB III
Lösungen
- (a) 60 km. (b) Eine halbe Stunde (von 1 bis 1,5 Stunden). (c) Etwa 110 km: Nach 1,5 Stunden sind es 60 km, danach kommen pro Stunde 50 km dazu.
- 0 bis 1 Stunde: 60 km : 1 h = 60 km/h. 1 bis 1,5 Stunden: 0 km/h, der Bus steht. 1,5 bis 3,5 Stunden: 100 km : 2 h = 50 km/h.
- (a) 90 : 3,6 = 25 m/s. (b) 6 · 3,6 = 21,6 km/h.
- Gesamtweg 160 km in 3,5 Stunden: 160 : 3,5 ≈ 45,7 km/h. Die Pause zählt mit.
- Punkte (0 | 0), (2 | 10), (2,5 | 10), (4 | 16). Im Diagramm sind das die Koordinaten (0 | 0), (4 cm | 2,5 cm), (5 cm | 2,5 cm), (8 cm | 4 cm). Die Wegstrecke ist 10 km + 6 km = 16 km, die Zeit 4 Stunden, also 16 : 4 = 4 km/h.
- Lena: s = 15 · t. Paul: s = 45 − 30 · t (Entfernung von A). Im Diagramm schneiden sich die Linien bei t = 1 Stunde und s = 15 km. Rechnung: 15t = 45 − 30t, also 45t = 45 und t = 1. Lena ist dann 15 km von A entfernt.
- (a) Richtig: 60 km/h sind mehr als 50 km/h. (b) Falsch: Nach 1,5 Stunden sind es 60 km, bis zur 2. Stunde kommen 0,5 h · 50 km/h = 25 km dazu, also 85 km. (c) Falsch: Die waagerechte Linie bedeutet Stillstand. Bei Rückwärtsfahrt würde die Linie fallen.
- Tim: s = 12 · t, wobei t die Zeit seit 14:00 Uhr ist. Oma fährt eine halbe Stunde später los: s = 48 · (t − 0,5). Gleichsetzen: 12t = 48t − 24, also 36t = 24 und t = 2/3 Stunde, das sind 40 Minuten. Sie holt Tim um 14:40 Uhr ein, 12 · 2/3 = 8 km vom Start entfernt.
- Angenommen, die Strecke ist 60 km lang. Hinweg: 60 : 20 = 3 Stunden. Rückweg: 60 : 30 = 2 Stunden. Insgesamt 120 km in 5 Stunden, also 24 km/h. Der Mittelwert 25 km/h ist falsch, weil der Bote auf dem langsameren Hinweg mehr Zeit verbringt und diese Zeit stärker zählt. Die Länge der Strecke spielt keine Rolle.
- Erwartungshorizont: Abschnitt 1: 2 km in 0,5 h, also 4 km/h. Abschnitt 2: 0 km/h. Abschnitt 3: 4 km in 0,5 h, also 8 km/h. Geschichte zum Beispiel: Ein Kind geht in 30 Minuten zügig zu Fuß zu einem Spielplatz, spielt dort 30 Minuten und fährt dann mit dem Roller in 30 Minuten weiter zu den Großeltern. Es gilt jede stimmige Geschichte, die zu den Geschwindigkeiten passt.
Hinweise für die Lehrkraft
- Typische Schwierigkeiten: Das Diagramm wird als Bild der Strecke gedeutet. Minuten und Stunden werden vermischt (30 Minuten sind 0,5 Stunden). Bei der Durchschnittsgeschwindigkeit werden Geschwindigkeiten gemittelt statt Weg und Zeit. Beim Zeichnen wird der Maßstab nicht gleichmäßig gewählt.
- Leichter: Nur Aufgaben 1, 2 und 5, mit vorgegebener Wertetabelle und fertigem Koordinatensystem.
- Schwerer: Aufgabe 8 mit einer dritten Person, die später startet, oder Aufgabe 10 mit gegebenen Geschwindigkeiten und gesuchtem Diagramm. Weiterführend: Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme, bei denen die Fläche unter der Linie den Weg angibt (Oresme).
- Weiterführung: Übungen zu Formeln und Einheiten bei Geschwindigkeit berechnen, Schnittpunkt zweier Geraden bei Lineare Funktionen, Kontrolle mit dem Geschwindigkeitsrechner.
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