Hippokrates von Chios

Hippokrates von Chios (um 470 bis um 410 v. Chr.) war ein griechischer Mathematiker und Astronom von der Insel Chios, der später in Athen arbeitete. Er zeigte, dass bestimmte von Kreisbögen begrenzte Mondsicheln, die Möndchen des Hippokrates, genau so groß sind wie ein Dreieck. Außerdem soll er als Erster ein Lehrbuch der Geometrie mit dem Titel Elemente verfasst haben. Mit dem berühmten Arzt Hippokrates von Kos hat er nichts zu tun.

Von seinen Schriften ist nichts erhalten. Seine Leistungen kennen wir aus Zitaten späterer Autoren, vor allem aus einem langen Auszug, den der Philosoph Simplikios im 6. Jahrhundert n. Chr. aus der Geschichte der Geometrie des Eudemos (um 320 v. Chr.) übernahm. Dieser Text gehört zu den ältesten ausführlich überlieferten Beweisführungen der griechischen Mathematik.

Leben: Ein verarmter Kaufmann in Athen?

Unzweifelhaft stammte Hippokrates von Chios, einer Insel vor der kleinasiatischen Küste. Mehr ist unsicher. Anekdoten erzählen, er sei auf einer Seereise um sein Vermögen gekommen, nach einer Version durch Piraten, nach einer anderen durch betrügerische Zöllner in Byzanz. Aristoteles urteilt, er sei ein tüchtiger Geometer, sonst aber einfältig gewesen und habe den Verlust selbst verschuldet.

Seine mathematischen Arbeiten fallen in einen langen Aufenthalt in Athen, vermutlich zwischen 450 und 430 v. Chr. Manche Forscher vermuten pythagoreischen Einfluss, wofür es in der Astronomie einen Hinweis gibt: Aristoteles berichtet, Hippokrates habe den Kometen für einen selten sichtbaren Planeten gehalten und den Schweif für eine optische Täuschung.

Die Möndchen des Hippokrates

Ein Möndchen ist eine Fläche zwischen zwei Kreisbögen, die wie eine Mondsichel aussieht. Die Griechen träumten davon, den Kreis zu quadrieren, also mit Zirkel und Lineal ein Quadrat mit genau dem gleichen Flächeninhalt zu zeichnen. Hippokrates schaffte etwas Verwandtes: Er verwandelte eine krumm begrenzte Fläche in eine geradlinige.

Man beginnt mit einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ABC. Über der Hypotenuse AB zeichnet man den Halbkreis, der nach dem Satz des Thales durch C geht. Über den beiden Katheten AC und BC zeichnet man nach außen zwei kleinere Halbkreise. Zwischen den Bögen entstehen zwei Möndchen.

Der Beweis in vier Schritten

1. Die Flächen von Kreisen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Durchmesser. Das wusste Hippokrates offenbar, sein Beweis dafür ist unbekannt.
2. Nach dem Satz des Pythagoras ist AC² + BC² = AB². Also haben die beiden kleinen Halbkreise zusammen genau die Fläche des großen Halbkreises.
3. Der große Halbkreis besteht aus dem Dreieck und zwei Kreisabschnitten an den Katheten. Jeder kleine Halbkreis besteht aus einem Möndchen und demselben Kreisabschnitt.
4. Nimmt man auf beiden Seiten die zwei gleichen Kreisabschnitte weg, bleibt: Die zwei Möndchen sind zusammen so groß wie das Dreieck.

Hippokrates untersuchte auch Möndchen mit anderen Bogenformen. Insgesamt gibt es genau fünf Arten, die sich mit Zirkel und Lineal in Quadrate verwandeln lassen. Drei fand Hippokrates, die beiden übrigen wurden erst im 18. Jahrhundert entdeckt; dass es keine weiteren gibt, bewiesen russische Mathematiker im 20. Jahrhundert. Von den Möndchen aus versuchte Hippokrates sogar die Quadratur des Kreises. Ob er einem Fehlschluss erlag oder das Scheitern bemerkte, ist unklar; Aristoteles erwähnt einen Fehlschluss unter seinem Namen.

Würfelverdopplung und das erste Lehrbuch

Nach einer Legende verlangte ein Orakel zur Abwehr einer Seuche auf Delos, einen würfelförmigen Altar im Volumen zu verdoppeln. Daher heißt die Aufgabe Delisches Problem. Ein Würfel mit der Kante a hat das Volumen a³; gesucht ist die Kante x des doppelten Würfels, also x³ = 2a³, das heißt x = a · ∛2 ≈ 1,26 · a. Hippokrates erkannte: Fügt man zwischen a und 2a zwei „mittlere Proportionale“ x und y ein, sodass a : x = x : y = y : 2a gilt, dann ist x³ = 2a³. Aus der Frage im Raum wurde so eine Frage in der Ebene. Gelöst hat er sie damit nicht. Mit Zirkel und Lineal allein geht es auch nicht, wie Pierre Wantzel 1837 bewies. Spätere Griechen lösten sie mit Hilfsmitteln jenseits von Zirkel und Lineal, etwa mit Kegelschnitten. Auch von Eudoxos wird eine Lösung berichtet.

Nach dem Philosophen Proklos war Hippokrates der erste, von dem berichtet wird, er habe Elemente verfasst, also eine geordnete Sammlung geometrischer Sätze samt Beweisen. Vermutlich stand darin vieles, was später in den ersten Büchern von Euklids Elementen steht. Das Werk wurde durch Euklids Lehrbuch verdrängt und ging verloren.

Zeitleiste: Hippokrates und die Möndchen

1. um 470 v. Chr. Geburt auf Chios (ungefähr).
2. um 450 bis 430 v. Chr. Langer Aufenthalt in Athen; Arbeiten zu Möndchen, Würfelverdopplung und Elementen.
3. um 410 v. Chr. Tod (ungefähr).
4. um 320 v. Chr. Eudemos beschreibt Hippokrates’ Möndchen in seiner Geschichte der Geometrie (verloren).
5. um 300 v. Chr. Euklids Elemente ersetzen frühere Lehrbücher.
6. 5. Jh. n. Chr. Proklos nennt Hippokrates den ersten Verfasser von Elementen.
7. 6. Jh. n. Chr. Simplikios überliefert den Bericht des Eudemos fast vollständig.
8. 1837 Pierre Wantzel beweist, dass sich der Würfel mit Zirkel und Lineal nicht verdoppeln lässt.
9. 1882 Ferdinand von Lindemann beweist die Unmöglichkeit der Kreisquadratur.

Bedeutung heute: Krumm, aber berechenbar

Die Möndchen zeigen, dass krumme Flächen nicht unberechenbar sein müssen. Das war ein wichtiger Mutmacher für spätere Verfahren, mit denen Archimedes Kreis, Kugel und Parabelsegment berechnete. Methodisch ist Hippokrates’ Vorgehen bis heute üblich: Ein schwieriges Problem wird auf ein anderes zurückgeführt, das man vielleicht besser versteht. Und mit seinen Elementen begann die Tradition des Lehrbuchs, das Wissen Schritt für Schritt und mit Beweisen ordnet. Wer das Rechnen mit Flächen und Kreisen üben möchte, findet im Lernbereich Geometrie den passenden Einstieg. Einen Überblick über die Epoche bietet der Artikel griechische Mathematik.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Heath: A History of Greek Mathematics, Band 1, Clarendon Press, Oxford 1921.
• Wilbur R. Knorr: The Ancient Tradition of Geometric Problems, Birkhäuser, Boston 1986.
• Ivor Bulmer-Thomas: Hippocrates of Chios. In: Dictionary of Scientific Biography, Band 6, Charles Scribner’s Sons, New York 1972, S. 410–418.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Hippocrates of Chios (englisch)