Platon

Platon (428/427–348/347 v. Chr.) war ein griechischer Philosoph aus Athen und einer der einflussreichsten Denker der Geschichte. Für die Mathematik ist er aus zwei Gründen wichtig: Er gründete um 387 v. Chr. die Akademie, an der die bedeutendsten Mathematiker des 4. Jahrhunderts v. Chr. lehrten oder lernten, und er stellte die Mathematik ins Zentrum seiner Philosophie. Nach ihm benannt sind die fünf Platonischen Körper, die er im Dialog Timaios mit den Elementen der Welt verband.

Platon selbst hat keinen mathematischen Satz bewiesen, der unter seinem Namen bekannt wäre. Seine Wirkung lag woanders: Er verlangte klare Begriffe, saubere Voraussetzungen und strenge Begründungen, und er sah in mathematischen Gegenständen das Musterbeispiel für sicheres Wissen jenseits der wechselnden Sinneseindrücke. Diese Haltung prägte die griechische Mathematik bis zu Euklid und bestimmt bis heute die Frage, was mathematische Objekte eigentlich sind.

Leben: Sokrates, Reisen nach Sizilien und die Akademie

Jugend in Athen und die Begegnung mit Sokrates

Platon stammte aus einer vornehmen athenischen Familie; sein Vater hieß Ariston, seine Mutter Periktione. Er wuchs in den Jahren des Peloponnesischen Krieges auf, den Athen 404 v. Chr. verlor. Als junger Mann schloss er sich dem Kreis um Sokrates an, der in Gesprächen auf den Straßen Athens nach Definitionen von Begriffen wie Tapferkeit oder Gerechtigkeit fragte. Die Hinrichtung des Sokrates im Jahr 399 v. Chr. erschütterte Platon tief und wandte ihn von einer politischen Laufbahn ab. Er verließ Athen zunächst und ging nach Megara.

Reisen nach Unteritalien und Sizilien

Antike Biografen berichten von Reisen nach Kyrene, wo der Mathematiker Theodoros lehrte, und nach Ägypten; beides ist möglich, aber nicht sicher belegt. Gut bezeugt ist dagegen eine erste Reise nach Unteritalien und Sizilien um 388/387 v. Chr. In Tarent lernte Platon den Pythagoreer Archytas kennen, einen Mathematiker, Staatsmann und Musiktheoretiker. Über ihn kam Platon in engen Kontakt mit dem Denken der Pythagoreer, deren Zahlenlehre und Seelenlehre in seine eigene Philosophie eingingen. In Syrakus begegnete er dem Tyrannen Dionysios I. und dessen Schwager Dion, der sein Schüler und Freund wurde.

Zwei weitere Reisen nach Syrakus in den Jahren 367 und 361 v. Chr. sollten den jungen Herrscher Dionysios II. für eine philosophisch begründete Politik gewinnen. Beide scheiterten. Beim letzten Aufenthalt geriet Platon in eine bedrohliche Lage und konnte Sizilien nach dem Siebten Brief, der unter seinem Namen überliefert ist, nur dank der Vermittlung des Archytas verlassen.

Die Akademie

Nach der Rückkehr von seiner ersten Reise gründete Platon um 387 v. Chr. vor den Toren Athens eine Schule. Sie lag beim Hain des Heros Akademos, nach dem sie benannt ist. Man darf sich die Akademie nicht als Universität mit festem Lehrplan vorstellen. Sie war eher eine Gemeinschaft von Lehrenden und Lernenden, die gemeinsam philosophierten, forschten und Probleme diskutierten; Gebühren wurden zu Platons Zeit nicht erhoben. Platon leitete sie bis zu seinem Tod 348/347 v. Chr., danach übernahm sein Neffe Speusippos.

Die Schule bestand in wechselnder Form über Jahrhunderte. Ihre ursprüngliche Stätte wurde 86 v. Chr. bei der Belagerung Athens durch den römischen Feldherrn Sulla verwüstet. Die neuplatonische Schule in Athen, die sich auf Platon berief, endete nach traditioneller Datierung 529 n. Chr. unter Kaiser Justinian. Das Wort „Akademie“ für eine gelehrte Einrichtung geht auf Platons Schule zurück.

Mathematiker im Umkreis der Akademie

Der spätantike Gelehrte Proklos, der sich auf eine verlorene Mathematikgeschichte des Eudemos stützte, schrieb, Platon habe die Mathematik und besonders die Geometrie durch seinen Eifer gewaltig vorangebracht. Tatsächlich stammen viele der wichtigsten mathematischen Ergebnisse des 4. Jahrhunderts v. Chr. von Männern, die mit der Akademie verbunden waren:

• Theaitetos (gest. 369 v. Chr.) ordnete die irrationalen Größen und untersuchte die regelmäßigen Körper. Seine Ergebnisse bilden den Kern der Bücher X und XIII von Euklids Elementen.
• Eudoxos von Knidos hörte als junger Mann Platon und kam später mit seinen eigenen Schülern nach Athen. Er schuf die allgemeine Proportionenlehre und die Exhaustionsmethode, mit der sich Flächen und Rauminhalte streng bestimmen lassen.
• Menaichmos, ein Schüler des Eudoxos, gilt als Entdecker der Kegelschnitte, auf die er bei der Suche nach einer Lösung für die Würfelverdopplung stieß.
• Aristoteles studierte und lehrte 20 Jahre lang an der Akademie (367–347 v. Chr.) und entwickelte in dieser Zeit wesentliche Teile seiner Logik.
• Weitere Mitglieder wie Leon und Theudios verfassten frühe Lehrbücher der Geometrie, sogenannte Elemente, die Euklids Werk vorbereiteten.

Archytas von Tarent wird oft zu den Schülern der Akademie gezählt, doch das ist falsch: Er war ein Freund und Gesprächspartner Platons und wirkte in Tarent. Wie viel die Mathematiker Platon im Einzelnen verdankten, ist umstritten. Wahrscheinlich gab er weniger Ergebnisse als Fragen und Maßstäbe vor. So soll er nach einem späten Bericht den Astronomen die Aufgabe gestellt haben, die unregelmäßig erscheinenden Planetenbewegungen durch gleichförmige Kreisbewegungen zu erklären, worauf Eudoxos sein Modell der ineinander geschachtelten Sphären entwickelte.

Warum Mathematik? Ideenlehre und Liniengleichnis

Im Zentrum von Platons Philosophie steht die Unterscheidung zwischen der sichtbaren Welt, die sich ständig verändert, und den unveränderlichen Ideen, die man nur mit dem Verstand erfassen kann. Die Mathematik eignete sich hervorragend, um diesen Unterschied zu zeigen. Kein gezeichneter Kreis ist vollkommen rund, und doch beweist der Geometer Sätze über „den Kreis selbst“. Sein Wissen bezieht sich offenbar nicht auf die Zeichnung, sondern auf etwas, das nur gedacht werden kann.

Im Liniengleichnis der Politeia ordnet Platon die Erkenntnisformen auf einer geteilten Strecke an. Ganz unten stehen Schatten und Spiegelbilder, darüber die sichtbaren Dinge. Im oberen, nur dem Denken zugänglichen Abschnitt folgt das mathematische Denken: Es arbeitet mit Zeichnungen als Hilfsmitteln und geht von Voraussetzungen aus, die es nicht weiter begründet. Ganz oben steht die Dialektik, die auch diese Voraussetzungen noch prüft. Mathematik ist für Platon damit die wichtigste Vorstufe der Philosophie, aber nicht ihr Ziel. Aristoteles berichtet zudem, Platon habe die mathematischen Gegenstände als eigene Seinsart zwischen den Ideen und den Sinnendingen angesehen.

Der Bildungsplan der Politeia

Im siebten Buch der Politeia entwirft Platon die Ausbildung der künftigen Regierenden seines idealen Staates. Nach Gymnastik und musischer Bildung sollen die Begabtesten vom 20. bis zum 30. Lebensjahr die mathematischen Fächer im Zusammenhang studieren: Arithmetik, ebene Geometrie, Stereometrie (Raumgeometrie), Astronomie und Harmonielehre. Platon beklagt dabei ausdrücklich, dass die Raumgeometrie noch kaum erforscht sei. Erst danach folgen fünf Jahre Dialektik. Der Wert dieser Fächer liegt für ihn nicht im praktischen Nutzen, sondern darin, dass sie den Blick vom Werdenden auf das Seiende lenken. Dieser Plan beschreibt einen Idealstaat, nicht den tatsächlichen Unterricht der Akademie. Er wurde dennoch zum Vorbild späterer Bildungsideale bis zum mittelalterlichen Quadrivium aus Arithmetik, Geometrie, Musik und Astronomie.

Mathematik in Platons Dialogen

Platons Werke sind fast vollständig erhalten, meist als Gespräche mit Sokrates als Hauptfigur. Mehrere Dialoge enthalten Mathematik, die einen Einblick in den Wissensstand der Zeit gibt.

Menon: Die Verdopplung des Quadrats

Im Menon führt Sokrates einen ungebildeten Sklavenjungen durch geschickte Fragen zu einer geometrischen Einsicht. Gesucht ist die Seite eines Quadrats, dessen Fläche doppelt so groß ist wie die eines gegebenen Quadrats mit der Seite 2 Fuß. Der Junge schlägt zuerst die doppelte Seite vor, dann die Seite 3; beides ist falsch. Schließlich erkennt er, dass das Quadrat über der Diagonale des Ausgangsquadrats die gesuchte doppelte Fläche hat. Platon wollte damit zeigen, dass Lernen ein Wiedererinnern an Wissen ist, das die Seele schon besitzt.

Theaitetos: Die irrationalen Quadratwurzeln

Im Dialog Theaitetos berichtet der junge Mathematiker gleichen Namens, sein Lehrer Theodoros von Kyrene habe gezeigt, dass die Seiten von Quadraten mit den Flächen 3, 5, 6 und so weiter bis 17 nicht mit der Einheit kommensurabel sind, also in heutiger Sprache: √3, √5 bis √17 sind irrational, soweit die Zahl unter der Wurzel keine Quadratzahl ist. Theaitetos verallgemeinerte das: Die Seite eines Quadrats mit ganzzahliger Fläche ist entweder eine ganze Zahl oder irrational. Die Stelle ist ein seltenes Zeugnis dafür, wie die Lehre vom Irrationalen nach Hippasos schrittweise ausgebaut wurde.

Nomoi: Eine Schande für die Griechen

In seinem Spätwerk, den Nomoi („Gesetze“), lässt Platon einen Athener beklagen, dass die meisten Griechen nicht wüssten, dass es Größen ohne gemeinsames Maß gibt. Er habe sich darüber, als er es selbst lernte, geschämt und diese Unwissenheit eher Schweinen als Menschen zugetraut. Die Stelle zeigt, welchen Rang Platon dem neuen mathematischen Wissen beimaß: Es sollte zur Allgemeinbildung der Bürger gehören.

Eine Regel für pythagoreische Tripel

Proklos überliefert eine Regel zur Erzeugung pythagoreischer Tripel, die er Platon zuschreibt. Sie geht von einer geraden Zahl 2m aus:

Für m = 4 ergibt sich das Tripel (8, 15, 17): 64 + 225 = 289. Für m = 2 erhält man das bekannte (4, 3, 5). Die Regel ergänzt eine ältere, die Proklos Pythagoras zuschreibt und die von ungeraden Zahlen ausgeht.

Die Platonischen Körper

Ein regelmäßiger Körper (Polyeder) wird von lauter gleichen regelmäßigen Vielecken begrenzt, und an jeder Ecke stoßen gleich viele davon zusammen. Es gibt genau fünf solcher konvexen Körper. Platon beschrieb sie im Timaios, seinem Dialog über die Entstehung der Welt, weshalb sie heute seinen Namen tragen.

Elemente aus Dreiecken

Platon begründete seine Zuordnung mit den Eigenschaften der Körper. Das spitze, kleine Tetraeder passt zum stechenden Feuer, der standfeste Würfel zur Erde, das fast kugelige Ikosaeder zum beweglichen Wasser. Bemerkenswert ist, dass er die Körper nicht als letzte Bausteine ansah. Er setzte ihre Flächen aus zwei Sorten rechtwinkliger Dreiecke zusammen: dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck für die Quadrate des Würfels und dem halben gleichseitigen Dreieck (Winkel 30°, 60°, 90°) für die Dreiecksflächen der übrigen drei Körper.

Daraus folgt eine Art geometrische Chemie. Feuer, Luft und Wasser bestehen aus denselben Grunddreiecken und können ineinander übergehen. Ein Wasserteilchen mit 20 Flächen kann in ein Feuerteilchen mit 4 und zwei Luftteilchen mit je 8 Flächen zerfallen, denn 20 = 4 + 2 · 8. Die Erde dagegen ist aus anderen Dreiecken gebaut und kann sich nicht in die übrigen Elemente verwandeln. Das Dodekaeder, dessen Fünfecke sich nicht aus diesen Dreiecken bilden lassen, habe der Gott für das Weltganze verwendet, als er es ausgestaltete. Was Platon damit genau meinte, ist seit der Antike umstritten; oft wird die Stelle auf die zwölf Tierkreiszeichen bezogen. Aristoteles machte später einen fünften Stoff, den Äther, zum Baustoff der Himmelskörper.

Wer entdeckte die fünf Körper?

Platon hat die regelmäßigen Körper nicht entdeckt. Nach einer antiken Randnotiz zu Euklid kannten die Pythagoreer bereits Würfel, Tetraeder und Dodekaeder, während Theaitetos Oktaeder und Ikosaeder hinzufügte und ihre Konstruktion untersuchte. Dass es außer diesen fünf keine weiteren regelmäßigen konvexen Körper gibt, bewies Euklid rund ein halbes Jahrhundert nach Platons Tod im letzten Buch seiner Elemente. Die Idee des Beweises: An jeder Ecke müssen mindestens drei Flächen zusammentreffen, und die Summe ihrer Winkel muss kleiner als 360° sein. Das gelingt nur mit drei, vier oder fünf Dreiecken, mit drei Quadraten oder mit drei Fünfecken.

Keplers Weltmodell aus Platonischen Körpern

Fast 2.000 Jahre nach Platon griff Johannes Kepler die Körper wieder auf. In seinem Mysterium Cosmographicum (1596) schachtelte er die fünf Körper so ineinander, dass ihre ein- und umbeschriebenen Kugeln die Bahnen der sechs damals bekannten Planeten tragen sollten: vom Würfel zwischen Saturn und Jupiter bis zum Oktaeder zwischen Venus und Merkur. Das Modell traf die damals bekannten Abstände nur ungefähr. Kepler hielt dennoch zeitlebens daran fest und brachte 1621 eine erweiterte Neuauflage heraus. Überholt wurde es durch seine eigenen Planetengesetze, die er aus genauen Beobachtungsdaten gewann.

Das Delische Problem und die Frage nach Zirkel und Lineal

Mit Platon wird oft das Delische Problem verbunden, die Verdopplung des Würfels: Gesucht ist die Kante eines Würfels mit doppeltem Rauminhalt, in heutiger Schreibweise die Strecke ∛2 bei Kantenlänge 1. Nach Berichten bei Eratosthenes und Plutarch hatten die Bewohner der Insel Delos vom Orakel den Auftrag erhalten, einen würfelförmigen Altar zu verdoppeln. Platon soll ihnen erklärt haben, der Gott wolle die Griechen dazu bringen, sich mit Geometrie zu beschäftigen, und sie an Eudoxos verwiesen haben.

Gemeinsam mit der Quadratur des Kreises, die schon Hippokrates von Chios beschäftigte, und der Dreiteilung eines beliebigen Winkels bildet die Würfelverdopplung die drei klassischen Konstruktionsprobleme der Antike. Platon hat sie nicht gestellt; sie waren zu seiner Zeit bereits bekannt. Mathematiker aus seinem Umkreis fanden aber Lösungen: Archytas mit einer räumlichen Kurvenkonstruktion, Menaichmos mit Kegelschnitten. Plutarch berichtet, Platon habe solche Verfahren kritisiert, weil sie mechanische Hilfsmittel benutzten und so den Vorzug der Geometrie verdürben. Dass allein mit Zirkel und Lineal keine Lösung möglich ist, wurde erst im 19. Jahrhundert bewiesen: für Würfelverdopplung und Winkeldreiteilung 1837 durch Pierre Wantzel, für die Quadratur des Kreises 1882 durch Ferdinand Lindemann.

Zeitleiste: Platon und die Mathematik

1. 428/427 v. Chr. Geburt in Athen in eine aristokratische Familie.
2. um 407 v. Chr. Platon schließt sich dem Kreis um Sokrates an.
3. 399 v. Chr. Hinrichtung des Sokrates; Platon verlässt Athen vorübergehend.
4. um 388/387 v. Chr. Erste Reise nach Unteritalien und Sizilien; Begegnung mit Archytas in Tarent.
5. um 387 v. Chr. Gründung der Akademie in Athen.
6. 369 v. Chr. Tod des Mathematikers Theaitetos, nach dem Platon einen Dialog benennt.
7. 367 v. Chr. Zweite Sizilienreise; der 17-jährige Aristoteles tritt in die Akademie ein.
8. 361 v. Chr. Dritte Sizilienreise, Rückkehr mit Hilfe des Archytas.
9. 348/347 v. Chr. Tod in Athen; Speusippos übernimmt die Leitung der Akademie.
10. 1596 Kepler baut im Mysterium Cosmographicum ein Planetenmodell aus Platonischen Körpern.

Bedeutung heute: Platonismus und Platonische Körper

Platons Einfluss auf die Mathematik zeigt sich heute vor allem in einer Grundsatzfrage: Werden mathematische Gegenstände entdeckt oder erfunden? Wer annimmt, dass Zahlen und geometrische Formen unabhängig vom Menschen existieren und von Mathematikern nur aufgefunden werden, vertritt einen mathematischen Platonismus. Viele Forschende arbeiten mit dieser Haltung, oft unausgesprochen. Zu ihren bekanntesten Vertretern im 20. Jahrhundert gehörte Kurt Gödel.

Die Platonischen Körper begegnen uns an vielen Stellen. Das Methanmolekül ist wie ein Tetraeder gebaut, die Eiweißhüllen vieler Viren haben Ikosaedersymmetrie, und Spielwürfel mit 4, 6, 8, 12 und 20 Flächen sind aus Gesellschaftsspielen bekannt. Mathematisch führen sie zu einer der schönsten Formeln der Geometrie: Für jeden der fünf Körper und für jedes konvexe Polyeder gilt E − K + F = 2, wobei E die Ecken, K die Kanten und F die Flächen zählt. Beim Würfel ist das 8 − 12 + 6 = 2. Leonhard Euler veröffentlichte diesen Zusammenhang in den 1750er-Jahren.

Schließlich wirkt Platons Bildungsidee fort: die Überzeugung, dass Mathematik nicht nur nützlich ist, sondern das Denken schult. Sie prägte die Rolle der Mathematik in Schulen und Universitäten bis in die Gegenwart. Den Weg von Platons Akademie zur Mathematik in Alexandria beschreibt der Artikel über die hellenistische Mathematik, den Hintergrund der Epoche die griechische Mathematik.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Platon: Timaios. Griechisch/Deutsch, übersetzt und herausgegeben von Thomas Paulsen und Rudolf Rehn, Reclam, Stuttgart 2003.
• Michael Erler: Platon, C. H. Beck, München 2006.
• David Fowler: The Mathematics of Plato’s Academy. A New Reconstruction, 2. Auflage, Clarendon Press, Oxford 1999.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Plato (englisch)