História da matemática

A história da matemática começa com marcas de contagem em ossos de mais de 40.000 anos e chega aos problemas que hoje se resolvem com a ajuda de computadores. No meio há saltos decisivos: os números e o cálculo na Mesopotâmia e no Egito, a demonstração na Grécia, o zero e os algarismos na Índia, a álgebra no mundo islâmico, o cálculo infinitesimal na Europa e a matemática abstrata dos séculos XIX e XX.

Esta página reúne a linha do tempo, um resumo por épocas, uma versão para crianças, duas historinhas e a história de cada ramo: geometria, álgebra, cálculo, números primos, trigonometria, logaritmos, probabilidade, lógica e os tipos de números. Para cada tema há links para páginas mais detalhadas, como quem inventou a matemática, matemáticos famosos e história do pi.

Linha do tempo da matemática

1. há 43.000 anos Marcas de contagem no osso de Lebombo (África do Sul).
2. 3300 a 3000 a.C. Primeiros sinais numéricos na Mesopotâmia e no Egito.
3. 2000 a 1600 a.C. Matemática babilônica: base 60, equações do segundo grau, a tábua Plimpton 322.
4. por volta de 1550 a.C. O escriba Ahmes copia o papiro de Rhind.
5. por volta de 600 a.C. Tales de Mileto, o primeiro matemático grego conhecido.
6. por volta de 300 a.C. Euclides escreve os Elementos.
7. por volta de 250 a.C. Arquimedes calcula áreas, volumes e limites para o pi.
8. por volta de 250 d.C. Diofanto escreve a Arithmetica.
9. 628 Brahmagupta dá regras de cálculo para o zero e os números negativos.
10. por volta de 825 Al-Khwarizmi escreve o livro da álgebra.
11. 1202 O Liber abaci de Fibonacci traz os algarismos indo-arábicos para a Europa.
12. 1545 Cardano publica as fórmulas das equações de terceiro e quarto graus.
13. 1614 Napier publica os logaritmos.
14. 1637 Descartes funda a geometria analítica.
15. 1654 Pascal e Fermat iniciam a teoria da probabilidade na sua correspondência.
16. 1665 a 1675 Newton e Leibniz desenvolvem o cálculo infinitesimal.
17. século XVIII Euler escreve sobre quase todos os ramos da matemática.
18. 1801 Gauss publica as Disquisitiones Arithmeticae.
19. 1830 Lobachevski e Bolyai desenvolvem geometrias não euclidianas.
20. 1832 Morre Galois, que deixou a teoria da resolução de equações.
21. 1870 a 1880 Cantor cria a teoria dos conjuntos.
22. 1900 Hilbert apresenta os seus 23 problemas.
23. 1931 Gödel demonstra os teoremas da incompletude.
24. 1936 Turing descreve a sua máquina.
25. 1952 É fundado o IMPA, no Rio de Janeiro.
26. 1994 e 1995 Wiles demonstra o último teorema de Fermat.
27. 2002 e 2003 Perelman demonstra a conjectura de Poincaré.
28. 2014 Artur Avila recebe a Medalha Fields.

Breve história da matemática por épocas

Antiguidade (até o ano 500). Na Mesopotâmia e no Egito calculava-se para o comércio, os impostos e a medição de campos, com sinais numéricos como os dos egípcios e dos babilônios. Os gregos acrescentaram a demonstração: Tales, Pitágoras, Euclides e Arquimedes transformaram a geometria numa ciência dedutiva. Na América, os maias criaram, de forma independente, um sistema posicional com zero, e os incas faziam contas com o quipu, cordas com nós que representavam números na base 10.

Idade Média (500 a 1400). Na Índia desenvolveu-se o sistema posicional de dez algarismos com o zero. No mundo islâmico traduziram-se as obras gregas e indianas, e al-Khwarizmi deu nome à álgebra. Os algarismos chegaram à Europa com Fibonacci em 1202 (antes disso, à Espanha num manuscrito de 976, o Códice Vigilano, ainda sem zero), e os números romanos foram cedendo lugar nos cálculos.

Renascimento e século XVII (1400 a 1700). Resolveram-se as equações de terceiro e quarto graus, inventaram-se os logaritmos e a álgebra passou a ser escrita com letras. Descartes uniu geometria e álgebra, Pascal e Fermat iniciaram a probabilidade e Newton e Leibniz criaram o cálculo infinitesimal. Em Portugal, Pedro Nunes (1502 a 1578) ligou a matemática à navegação dos descobrimentos.

Séculos XVIII e XIX. Euler e Gauss dominaram o século XVIII e o começo do XIX. Depois exigiu-se rigor da análise (Cauchy, Weierstrass), nasceram as geometrias não euclidianas, a teoria dos grupos (Galois) e a teoria dos conjuntos (Cantor).

Séculos XX e XXI. A lógica e os fundamentos (Hilbert, Gödel), a computação (Turing, von Neumann), os fractais (Mandelbrot) e os grandes problemas resolvidos: o último teorema de Fermat (Wiles) e a conjectura de Poincaré (Perelman). Em 2014, Maryam Mirzakhani foi a primeira mulher a receber a Medalha Fields, e Artur Avila, o primeiro latino-americano a recebê-la. Em 1976, Appel e Haken demonstraram com a ajuda de um computador o teorema das quatro cores (Vierfarbensatz, em alemão).

A história da matemática para crianças (Ensino Fundamental)

Esta é uma versão curta, em palavras simples, para quem está nos primeiros anos do Ensino Fundamental. Dá para ler em voz alta na sala de aula ou em casa.

1. Contar com marcas. Há muitíssimo tempo, as pessoas faziam riscos em ossos e paus para contar animais, dias e alimentos.
2. Números escritos. Os egípcios desenhavam sinais para o 1, o 10 e o 100. Os babilônios faziam marcas em forma de cunha na argila. Os maias usavam pontos e barras. Os romanos usavam letras, como o V e o X.
3. Provar que é verdade. Na Grécia, há mais de 2.000 anos, as pessoas começaram a explicar por que uma afirmação matemática é sempre verdadeira. Isso se chama demonstração.
4. O zero e os nossos números. Os algarismos de 0 a 9 que usamos hoje vêm da Índia. Eles chegaram à Europa pelos sábios árabes, e por isso também se fala em algarismos indo-arábicos.
5. Letras para números. Mais tarde, as pessoas passaram a usar letras, como o x, para o número que ainda não se conhece. Isso é a álgebra.
6. Hoje. A matemática está nos celulares, nos jogos, na previsão do tempo e nos aviões. No Brasil, o Dia Nacional da Matemática é comemorado em 6 de maio, aniversário de Malba Tahan, o escritor de O Homem que Calculava.

Uma versão mais longa, em alemão, está em Geschichte der Mathematik für Kinder. Atividades sobre a história dos números para a sala de aula: números maias, sistema de numeração egípcio e números romanos, com tabelas e exercícios.

Duas historinhas de matemática

A herança dos 35 camelos (Malba Tahan)

No livro O Homem que Calculava (1938), do escritor brasileiro Malba Tahan, o calculista Beremiz encontra três irmãos que brigam por uma herança de 35 camelos. O pai deixou a metade ao mais velho, um terço ao do meio e um nono ao caçula. Como 35 não se divide por 2, por 3 nem por 9, ninguém se entende. Beremiz junta o seu próprio camelo aos 35, formando 36, e faz a divisão: o mais velho recebe 18, o do meio 12 e o caçula 4. Somando, 18 + 12 + 4 = 34. Sobram 2 camelos: um é o de Beremiz, que ele pega de volta, e o outro fica como pagamento pelo serviço.

O truque funciona porque as frações da herança não somam um inteiro: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18. Tudo o que não foi repartido (1/18 de 36 = 2 camelos) fica de sobra. Cada irmão recebeu, aliás, mais do que lhe cabia: 18 em vez de 17,5, 12 em vez de aproximadamente 11,67 e 4 em vez de aproximadamente 3,89. Júlio César de Mello e Souza (1895 a 1974), que assinava como Malba Tahan, foi professor de matemática no Rio de Janeiro.

O menino Gauss e a soma de 1 a 100

Conta a tradição que o professor do jovem Carl Friedrich Gauss pediu à turma que somasse os números de 1 a 100, para ter tempo livre. Gauss teria respondido quase de imediato: 5.050. Ele juntou os números em pares: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 e assim por diante dá 50 pares de soma 101, e 50 · 101 = 5.050. Os detalhes da cena vêm de relatos posteriores e não são confirmados, mas o método é real e vale para qualquer soma de números seguidos: a soma de 1 a n é n · (n + 1) / 2 (para n = 100, 100 · 101 / 2 = 5.050). Mais sobre ele em Carl Friedrich Gauss (em alemão).

História da geometria

A geometria nasceu de problemas práticos: medir campos, construir e repartir terras. No papiro de Moscou (por volta de 1850 a.C.) já aparece o volume de um tronco de pirâmide, e as tábuas babilônicas trazem áreas e relações entre lados. A geometria como ciência começa na Grécia. A Tales de Mileto atribuem-se as primeiras afirmações geométricas com justificativa, e Euclides reuniu por volta de 300 a.C., nos Elementos, a geometria e a teoria dos números num sistema de definições, axiomas e demonstrações que foi, por mais de 2.000 anos, o modelo de pensamento rigoroso. Arquimedes calculou áreas e volumes de figuras curvas, e Apolônio de Perga estudou as cônicas (elipse, parábola e hipérbole).

Em 1637, Descartes uniu a geometria e a álgebra com as coordenadas: é a geometria analítica. Girard Desargues fundou a geometria projetiva e Gaspard Monge, a geometria descritiva, que representa objetos tridimensionais num plano. No século XIX, Lobachevski e Bolyai desenvolveram separadamente uma geometria em que não vale o postulado das paralelas, e Riemann a generalizou para espaços curvos. Felix Klein ordenou no Programa de Erlangen (1872) as geometrias segundo os seus grupos de simetria. Os cinco poliedros regulares, os sólidos de Platão (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro), já eram tema de Platão, e nos Elementos demonstra-se que não há mais nenhum.

História do teorema de Pitágoras

A relação entre os lados de um triângulo retângulo era conhecida na Babilônia por volta de 1800 a.C. (a tábua Plimpton 322 contém ternos pitagóricos), e as regras de construção de altares da Índia, os Shulbasutras, também a usam. Pitágoras de Samos (por volta de 570 a 495 a.C.) dá nome ao teorema, mas não está provado nem que ele foi o primeiro a demonstrá-lo nem como o fez. A primeira demonstração conservada com rigor é de Euclides, no livro I dos Elementos.

História do teorema de Tales

A Tales de Mileto (por volta de 624 a 546 a.C.) atribuem-se, entre outras, estas afirmações: um diâmetro divide o círculo em duas partes iguais, os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais e o ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. A tradição conta ainda que ele mediu a altura de uma pirâmide pela sua sombra, isto é, com a proporcionalidade entre triângulos semelhantes, que no Brasil hoje se chama teorema de Tales. Dele não se conserva nenhum escrito: tudo o que sabemos vem de autores posteriores (Thales von Milet, em alemão).

História da álgebra

Os babilônios resolviam por volta de 1800 a.C. problemas que hoje escreveríamos como equações do segundo grau, com receitas e figuras de áreas. Diofanto (por volta de 250 d.C.) abreviou a incógnita com um sinal, Brahmagupta (628) calculou com números negativos e com o zero, e al-Khwarizmi (por volta de 825) organizou as equações de primeiro e segundo graus em seis tipos e deu nome à álgebra com o seu livro al-jabr. Al-Karaji (por volta de 1000) calculou com polinômios. Omar Khayyam resolveu por volta de 1070 equações do terceiro grau com cônicas, e em 1545 Cardano publicou, com trabalhos de Tartaglia e Ferrari, as fórmulas das equações de terceiro e quarto graus. Viète e Descartes introduziram as letras (1591 e 1637).

No século XIX, Abel demonstrou que a equação geral do quinto grau não pode ser resolvida com radicais, e Galois explicou por quê com a sua teoria dos grupos. Gauss demonstrou o teorema fundamental da álgebra. A álgebra linear, com vetores e matrizes, nasceu no século XIX com Grassmann (1844) e Cayley (1858), embora o método de eliminação para resolver sistemas já apareça nos Nove capítulos sobre a arte matemática, da China. George Boole criou a álgebra da lógica em 1847 e 1854. Os começos estão em detalhe em quem inventou a álgebra.

História do cálculo diferencial e integral

Os gregos se aproximaram do cálculo com o método da exaustão (Eudoxo), com o qual Arquimedes calculou áreas e volumes de formas curvas. Nicolau de Oresme desenhou no século XIV grandezas variáveis em gráficos, Cavalieri e Fermat deram no século XVII métodos de indivisíveis e de máximos e mínimos, e Wallis introduziu o sinal ∞. Por volta de 1665, Newton, com o seu método das fluxões, e por volta de 1675, Leibniz, de forma independente e com a notação dx e ∫ que usamos hoje, criaram o cálculo infinitesimal. A disputa de prioridade entre eles foi longa e amarga.

O século XVIII foi de aplicações: Euler deu a notação f(x), e, i e Σ, e os Bernoulli, Euler e Lagrange fundaram o cálculo das variações. O XIX trouxe o rigor: Cauchy definiu limite e continuidade, Weierstrass aperfeiçoou o método com épsilon e delta, e Riemann definiu a sua integral. Os métodos numéricos, como o de Newton para achar zeros, calculam resultados aproximados que servem na prática e hoje são executados por computadores. Para seguir essa história por épocas: Mathematik des 17. Jahrhunderts (em alemão).

História dos números primos

Os números primos já interessavam aos pitagóricos, mas a primeira prova conservada é de Euclides (por volta de 300 a.C., livro IX): existem infinitos primos. Eratóstenes idealizou no século III a.C. o seu crivo para achar todos os primos até um limite. Marin Mersenne estudou em 1644 os números da forma 2^p − 1, que dão os maiores primos conhecidos. Fermat e Euler fizeram avançar a teoria dos números nos séculos XVII e XVIII, e Goldbach propôs em 1742 a sua conjectura. Gauss e Legendre intuíram por volta de 1800 quantos primos há até um número, e Hadamard e de la Vallée Poussin o demonstraram em 1896: é o teorema dos números primos. Em 1859, Riemann formulou a sua hipótese sobre a função zeta, ainda não demonstrada.

Desde 1996, o projeto colaborativo GIMPS busca primos de Mersenne com computadores de voluntários. Em novembro de 2026, o maior primo conhecido é 2^136.279.841 − 1, com 41.024.320 algarismos, encontrado em outubro de 2024 por Luke Durant. Os primos hoje protegem as comunicações (Primzahlen und Verschlüsselung, em alemão). Como reconhecê-los está em Primzahlen (em alemão).

História dos números: naturais, inteiros, frações, irracionais e complexos

Cada tipo de número tem a sua própria história. Quase todos nasceram quando uma pergunta não tinha resposta com os números conhecidos.

Quanto à aritmética, isto é, o cálculo com números, o cálculo escrito com algarismos indo-arábicos se espalhou pela Europa a partir do século XIII. Mais sobre os números: sistema de numeração e quem inventou o zero.

Trigonometria, logaritmos, probabilidade e lógica

História da trigonometria

Hiparco elaborou por volta de 150 a.C. a primeira tabela de cordas conhecida, e Ptolomeu publicou outra, mais completa, no Almagesto (por volta de 150 d.C.). Na Índia, Aryabhata deu por volta do ano 500 uma tabela de senos. Nasir al-Din al-Tusi tornou a trigonometria, no século XIII, uma disciplina própria e demonstrou o teorema dos senos para triângulos planos.

História dos logaritmos

O escocês John Napier publicou os logaritmos em 1614 para simplificar os cálculos dos astrônomos. Por conta própria, o suíço Jost Bürgi elaborou uma tabela parecida, publicada em 1620. Henry Briggs propôs pouco depois os logaritmos de base 10, usados durante séculos, e Kepler os empregou nas suas Tábuas Rudolfinas. Hoje as calculadoras substituíram as tabelas, mas o conceito é central na ciência.

História da probabilidade e da estatística

A probabilidade como teoria nasceu em 1654, na correspondência entre Blaise Pascal e Pierre de Fermat sobre a divisão das apostas de um jogo interrompido (Geschichte: unterbrochenes Spiel, em alemão). Huygens escreveu o primeiro tratado em 1657, e Jakob Bernoulli publicou na Ars Conjectandi a lei dos grandes números. De Moivre, Laplace e Gauss desenvolveram a distribuição normal e o método dos mínimos quadrados, que Legendre publicou em 1805.

História da lógica e dos conjuntos

Aristóteles fundou a lógica formal com os silogismos. George Boole a transformou em cálculo (1847 e 1854), Gottlob Frege criou em 1879 a lógica de predicados moderna e Georg Cantor a teoria dos conjuntos. O paradoxo de Russell (1901) abalou os fundamentos, Hilbert propôs um programa para assegurá-los e Gödel mostrou em 1931 os seus limites. Alan Turing deu em 1936 um modelo do cálculo, a máquina de Turing, base da informática.

A matemática no Brasil e em Portugal

Em Portugal, Pedro Nunes (1502 a 1578), nomeado cosmógrafo real em 1529, explicou por que um navio que mantém rumo fixo descreve uma curva espiral, a loxodromia, e inventou o nônio, uma escala para medir ângulos com mais precisão. Já no Brasil, a Academia Real Militar, criada no Rio de Janeiro por carta régia de 1810, ensinava um curso completo de ciências matemáticas para engenheiros militares.

No século XX a matemática brasileira se organizou: em 1952 foi fundado o IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada), no Rio de Janeiro, e em 1969, a Sociedade Brasileira de Matemática (SBM). Desde 2005, a OBMEP, a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, é realizada pelo IMPA e pela SBM e leva milhões de estudantes a resolver problemas. Em 2014, Artur Avila, nascido no Rio de Janeiro em 1979, recebeu a Medalha Fields, a mais importante distinção da matemática, por trabalhos em sistemas dinâmicos: foi o primeiro latino-americano a recebê-la. O Brasil também sediou em 2018 o Congresso Internacional de Matemáticos, no Rio de Janeiro. As biografias de Pedro Nunes, Artur Avila, Elon Lages Lima e outros estão em matemáticos brasileiros e portugueses. Sobre as competições, veja Mathe-Wettbewerbe (em alemão).

Perguntas frequentes

Fontes e leituras recomendadas

• Wikipédia: História da matemática
• MacTutor History of Mathematics: Prime numbers (em inglês)
• MacTutor History of Mathematics: Pedro Nunes (em inglês)
• MacTutor History of Mathematics: Euclid of Alexandria (em inglês)
• Wikipédia: Fórmula de Bhaskara
• Wikipédia: Malba Tahan
• IMPA: Instituto de Matemática Pura e Aplicada
• Carl B. Boyer: História da matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlim 2008 (em alemão).