Sistema de numeração

Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras para escrever números. O sistema de numeração decimal, que usamos todos os dias, tem base 10 e dez algarismos, de 0 a 9, e o valor de cada algarismo depende da posição em que ele está: no número 535, o primeiro 5 vale 500 e o último vale apenas 5. Por isso o sistema decimal é chamado de posicional. Ele também é conhecido como sistema indo-arábico, porque nasceu na Índia e chegou à Europa pelo mundo árabe.

Esta página explica o sistema decimal (ordens e classes, valor posicional, composição e decomposição, material dourado), compara-o com sistemas antigos, como o romano, o egípcio, o babilônico e o maia, e mostra o sistema binário (base 2) e o hexadecimal (base 16), com a tabela de 1 a 100, os métodos de conversão, o código binário, a história e exercícios com gabarito. Para conferir os seus cálculos, use o conversor de sistemas de numeração (interface em alemão). A versão em alemão deste conteúdo está em Zahlensysteme.

O que é um sistema de numeração e para que serve

Um sistema de numeração serve para representar quantidades com poucos símbolos e poder calcular com elas. Ele é feito de três coisas: os símbolos (algarismos ou letras), a base (quantas unidades se agrupam para formar a seguinte) e as regras para combiná-los. No decimal agrupamos de dez em dez; no binário, de dois em dois.

O sistema de numeração decimal: base 10 e valor posicional

Imagine que você conta 237 palitos. Você junta dez em um maço e dez maços em uma caixa. Sobram 2 caixas (centenas), 3 maços (dezenas) e 7 palitos soltos (unidades). Esse agrupamento é o coração de um sistema posicional: ao chegar a dez, forma-se uma unidade da posição seguinte. Por que dez? Provavelmente porque temos dez dedos. Não é uma obrigação: outros povos usaram outras bases.

Cada posição vale uma potência de 10: unidade 10⁰ = 1, dezena 10¹ = 10, centena 10² = 100, unidade de milhar 10³ = 1.000. O número 3.205 significa, portanto, 3 · 1.000 + 2 · 100 + 0 · 10 + 5 · 1. O zero é importante: ele mantém vazia a posição das dezenas para que os outros algarismos fiquem no lugar certo. Como as potências funcionam, você vê em Potenzen (em alemão).

Ordens e classes do sistema de numeração decimal

Na escola brasileira, as posições são chamadas de ordens e contadas da direita para a esquerda: 1ª ordem (unidades), 2ª ordem (dezenas), 3ª ordem (centenas) e assim por diante. De três em três ordens formam-se as classes: a classe das unidades simples (1ª a 3ª ordem), a classe dos milhares (4ª a 6ª) e a classe dos milhões (7ª a 9ª). Os pontos que separam os números, como em 4.527.308, marcam justamente as classes.

Lê-se o número 4.527.308 por classes: “quatro milhões, quinhentos e vinte e sete mil, trezentos e oito”. Primeiro a classe dos milhões (4), depois a dos milhares (527) e por fim a das unidades simples (308).

Composição e decomposição de números

Decompor um número é escrevê-lo como soma do valor de cada posição. Compor é o caminho inverso: juntar as partes para formar o número.

O valor posicional de um algarismo é o que ele vale pela sua posição, e o valor absoluto é o próprio algarismo. Em 36.405, o algarismo 6 tem valor absoluto 6 e valor posicional 6.000, porque está na ordem das unidades de milhar.

O material dourado e o sistema decimal

O material dourado (criado pela educadora italiana Maria Montessori) ajuda a ver o agrupamento de dez em dez com as mãos. O cubinho vale 1 unidade, a barra tem 10 cubinhos e vale 1 dezena, a placa tem 10 barras e vale 1 centena (100 cubinhos), e o cubo grande tem 10 placas e vale 1 unidade de milhar (1.000 cubinhos). Com 2 cubos, 3 placas, 0 barras e 7 cubinhos você forma o número 2.307.

Números pares e ímpares no sistema decimal e no binário

Um número é par quando é divisível por 2 e ímpar quando deixa resto 1. No sistema decimal basta olhar o último algarismo: se ele for 0, 2, 4, 6 ou 8, o número é par (por exemplo, 3.418); se for 1, 3, 5, 7 ou 9, é ímpar (por exemplo, 3.419). Como a base 10 é par, só o último algarismo importa. No sistema binário é ainda mais simples: o número é par quando termina em 0 e ímpar quando termina em 1. Folhas para praticar, em alemão, estão em gerade und ungerade Zahlen.

Sistemas de numeração antigos: comparação com o decimal

Nem todo sistema usa valor posicional. Nos sistemas aditivos, como o romano e o egípcio, cada símbolo tem sempre o mesmo valor e os valores se somam. Não há zero nem posição, e por isso calcular por escrito é trabalhoso. Nos sistemas posicionais, como o babilônico, o maia e o decimal, o lugar do símbolo muda o seu valor, e é preciso um jeito de marcar posições vazias, ou seja, um zero.

Cada um desses sistemas tem a sua página: números romanos, sistema de numeração egípcio, sistema de numeração babilônico e números maias. Quando o sistema romano ou o egípcio é comparado com o nosso, a diferença decisiva é o valor posicional: no romano, o X vale 10 em qualquer lugar, e no decimal o algarismo 1 pode valer 1, 10, 100 ou mais.

O sistema binário: base 2

O sistema binário usa só dois algarismos, 0 e 1. Cada posição vale o dobro da posição à sua direita (1, 2, 4, 8, 16, …). Assim, o 5 se escreve 101, o 10 se escreve 1010 e o 255 se escreve 11111111. Um algarismo binário é um bit (do inglês binary digit), e oito bits formam um byte, que permite 256 valores, de 0 a 255. Um número binário é qualquer número escrito só com zeros e uns, como 1, 10, 1011 ou 100110. Números como 102 ou 7 não são binários, embora todo número natural possa ser escrito em binário.

Depois do 1 vem o 10 (lê-se “um zero”, e não “dez”), depois do 11 vem o 100. Cada vez que se chega a 2, escreve-se 0 e leva-se 1 para a posição seguinte.

Números binários de 1 a 100: a tabela

A tabela mostra os números de 1 a 100 em binário. Em cada tabela, o primeiro bloco traz a primeira metade dos números e o segundo bloco, a segunda metade.

• Os números pares terminam em 0 e os ímpares terminam em 1.
• De 2^k a 2^k+1 − 1 os números têm sempre k + 1 algarismos: de 8 a 15 todos têm 4 algarismos, de 16 a 31 têm 5 e de 64 a 100 têm 7.
• O número formado só por uns é uma potência de 2 menos 1: 111₂ = 7, 1111₂ = 15, 11111₂ = 31, 111111₂ = 63.

Números binários e decimais mais buscados

Os zeros à esquerda não mudam o valor: 0001, 0010, 0100 e 0111 valem 1, 2, 4 e 7, como 1, 10, 100 e 111. Eles servem para completar grupos de 4 bits.

De binário para decimal: como converter

Escreva os valores das posições embaixo de cada algarismo (1, 2, 4, 8, … da direita para a esquerda) e some os valores das posições que têm 1.

De decimal para binário: como converter

Método das divisões por 2. Divida o número por 2 e anote o resto (0 ou 1). Divida o quociente por 2 de novo e repita até o quociente chegar a 0. Os restos, lidos de baixo para cima, formam o número binário. Com o 45:

Lidos de baixo para cima, os restos são 1, 0, 1, 1, 0, 1, então 45 = 101101₂. Método da subtração: subtraia a maior potência de 2 que cabe e marque 1 nessa posição. Para 100: 64 cabe (resta 36), 32 cabe (resta 4), 16 e 8 não cabem, 4 cabe (resta 0). Os uns estão nas posições 64, 32 e 4, então 100 = 1100100₂.

Somar em binário

A soma binária segue a mesma ideia da soma por escrito, com a regra 1 + 1 = 10 (escreve-se 0 e leva-se 1). As quatro somas básicas: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1 e 1 + 1 = 10.

Do binário para o hexadecimal e o octal

Os números binários são longos: o 255 precisa de oito algarismos. Por isso, em computação usa-se muito o sistema hexadecimal, de base 16. Ele precisa de dezesseis algarismos e, como depois do 9 não há mais algarismos, usam-se as letras A a F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15.

Os valores das posições são potências de 16: 1, 16, 256, 4.096, … De hexadecimal para decimal, multiplique cada algarismo pelo valor da sua posição: 2F₁₆ = 2 · 16 + 15 = 47, A3₁₆ = 10 · 16 + 3 = 163 e FF₁₆ = 15 · 16 + 15 = 255. De decimal para hexadecimal, divida por 16 e leia os restos de baixo para cima: 300 : 16 = 18 resto 12 (C), 18 : 16 = 1 resto 2 e 1 : 16 = 0 resto 1, então 300 = 12C₁₆. Conferência: 256 + 2 · 16 + 12 = 300.

Quatro bits são um algarismo hexadecimal

A grande vantagem: um algarismo hexadecimal equivale exatamente a quatro bits, porque 2⁴ = 16. Para passar de binário para hexadecimal sem calcular, agrupe os bits de quatro em quatro, a partir da direita, e troque cada grupo pelo seu algarismo.

As cores das páginas da internet usam essa ideia. O código #FF8800 são três bytes (vermelho, verde e azul): FF = 255 é vermelho no máximo, 88 = 8 · 16 + 8 = 136 é verde pela metade e 00 é nada de azul. O resultado é um laranja intenso.

O sistema octal (base 8, algarismos de 0 a 7) agrupa os bits de três em três: 111₂ = 7 e 101₂ = 5, e por isso 755₈ = 111 101 101₂ = 493. As permissões de arquivos do Linux são escritas assim. O ano 2026 é 11111101010₂ em binário, 3752₈ em octal e 7EA₁₆ em hexadecimal.

Código binário: como o texto vira zeros e uns

As letras também são guardadas como números, e cada número como um grupo de bits. No código ASCII, o A é o 65, o B é o 66 e assim até o Z, que é o 90. Cada caractere ocupa 8 bits, ou seja, um byte.

Para passar de binário para texto, divida a cadeia em grupos de 8 bits, converta cada grupo para decimal e procure a letra. Com 01001111 01101001 resultam 79 e 105, isto é, O e i: “Oi”. As minúsculas são as maiúsculas mais 32: o a é o 97 = 01100001.

Como funciona o sistema binário na informática

Os computadores usam o sistema binário porque os seus circuitos distinguem com muita confiabilidade dois estados, por exemplo tensão alta e baixa, ou um interruptor aberto e fechado. Com dez estados, os circuitos seriam muito mais sensíveis a erros. Textos, imagens e programas são guardados como padrões de bits. Mais sobre unidades como bit, byte e quilobyte em Datenmengen, Bit und Byte (em alemão).

“Linguagem binária” ou código binário é a forma como o computador guarda e processa a informação: tudo se reduz a bits, e cada bit é um 0 ou um 1. Não é uma linguagem com gramática, mas um acordo sobre qual padrão de bits representa o quê. Quase ninguém escreve programas diretamente em binário: eles são escritos em linguagens de programação e traduzidos para as instruções que o processador executa. Em Python, 0b101101 é o número 45, bin(45) dá '0b101101' e int("101101", 2) dá 45.

Números cardinais, ordinais e algarismos indo-arábicos

Não confunda sistema de numeração com tipo de número. Os algarismos indo-arábicos (0, 1, 2, … 9) são os símbolos do nosso sistema decimal, e é por isso que também os chamamos, de forma resumida, de números arábicos. Os números cardinais dizem quantos elementos há (vinte e um, cento e dois). Os números ordinais dizem a posição numa ordem (vigésimo primeiro, centésimo segundo). Os números romanos são só outra forma de escrever, e podem representar tanto cardinais quanto ordinais: “Luís XIV” é lido como cardinal e “capítulo IV”, como ordinal ou cardinal. A leitura dos números romanos está em números romanos: como se leem.

Um pouco de história: da Babilônia ao computador

Os sistemas posicionais foram inventados por mais de uma cultura. Os babilônios já calculavam na base 60 há cerca de 4.000 anos. Talvez ela seja tão popular porque 60 é divisível por muitos números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Essa herança está viva hoje: 60 minutos numa hora, 60 segundos num minuto e 360 graus no círculo. Os maias usavam um sistema de base 20, com pontos, barras e um sinal próprio para o zero, desenvolvido independentemente do Velho Mundo. O nosso sistema decimal com zero vem da matemática indiana e chegou à Europa pelo mundo árabe.

O sistema binário foi descrito com detalhes por Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 a 1716), que o publicou em 1703 na sua Explication de l’arithmétique binaire e relacionou-o com os hexagramas do I Ching chinês. Mais sobre ele em Gottfried Wilhelm Leibniz (em alemão). No século XIX, George Boole mostrou que a lógica pode ser calculada com dois valores, verdadeiro e falso (George Boole, em alemão). As duas ideias, o binário de Leibniz e a lógica de Boole, tornaram-se a base da tecnologia digital.

Exercícios com soluções

Perguntas frequentes

O que é o sistema de numeração decimal?

É o sistema de base 10 que usamos no dia a dia. Tem dez algarismos (0 a 9) e valor posicional: cada posição vale dez vezes a da direita. Também é chamado de sistema indo-arábico. Veja o sistema decimal.

O que são ordens e classes?

As ordens são as posições dos algarismos, contadas da direita para a esquerda: unidades, dezenas, centenas e assim por diante. As classes agrupam as ordens de três em três: unidades simples, milhares, milhões. Veja a tabela de ordens e classes.

O que é valor posicional?

É o valor que um algarismo tem por causa do lugar onde está. No número 535, o primeiro 5 vale 500 e o último vale 5.

Como funciona o sistema binário?

Usa só 0 e 1, e cada posição vale o dobro da anterior (1, 2, 4, 8, …). Para converter, some os valores das posições com 1 (binário para decimal) ou divida por 2 e leia os restos (decimal para binário). Detalhes em sistema binário.

Como converter decimal para binário?

Divida o número por 2 repetidamente e anote os restos; lidos de baixo para cima, eles formam o número binário. Exemplo: 45 = 101101. Veja o passo a passo.

Como converter binário para decimal?

Some os valores das posições que têm 1. Exemplo: 101101 = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Veja o método.

Quanto é 1010 em binário?

1010₂ = 8 + 2 = 10. Outros binários frequentes: 101 = 5, 110 = 6, 1100 = 12, 1101 = 13, 1111 = 15. A tabela de números mais buscados traz mais exemplos.

Qual é o 10, o 11 e o 13 em binário?

10 = 1010, 11 = 1011 e 13 = 1101. Para qualquer número até 100, use a tabela de 1 a 100.

O que é o sistema hexadecimal?

É o sistema de base 16, com os algarismos 0 a 9 e as letras A a F. Cada algarismo hexadecimal equivale a 4 bits, por isso é usado para escrever números binários de forma curta, como nas cores da internet (#FF8800).

Qual é a diferença entre sistema aditivo e posicional?

No aditivo (romano, egípcio) o valor é a soma dos símbolos e cada símbolo vale sempre o mesmo. No posicional (decimal, binário, maia, babilônico) o valor do símbolo depende da posição, e precisa-se de um zero para marcar posições vazias.

Quem criou o sistema de numeração decimal?

O sistema decimal posicional com zero se desenvolveu na Índia e chegou à Europa pelo mundo árabe, divulgado, entre outros, pelo Liber abaci de Fibonacci (1202). Não há um único inventor.

Quais são os sistemas de numeração mais usados?

Hoje, o decimal (base 10) no dia a dia, o binário (base 2) e o hexadecimal (base 16) na computação, e o sexagesimal (base 60) para tempo e ângulos. Veja a tabela comparativa.

Os números pares e ímpares dependem do sistema de numeração?

A definição não depende (par é divisível por 2), mas o critério de reconhecimento sim: no decimal olha-se o último algarismo (0, 2, 4, 6, 8 são pares); no binário, o último bit (0 é par). Veja pares e ímpares.

Fontes e leituras recomendadas

• Wikipédia: Sistema de numeração decimal
• Wikipédia: Sistema de numeração binário
• MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (em inglês)
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm Leibniz (em inglês)
• Ministério da Educação: Base Nacional Comum Curricular (BNCC)
• Georges Ifrah: Os números: a história de uma grande invenção, Editora Globo.