O sistema de numeração babilônico, também chamado de sistema sexagesimal, tem base 60: cada posição vale 60 vezes a da sua direita. Foi criado pelos sumérios e aperfeiçoado pelos babilônios há cerca de 4.000 anos, e hoje ainda o usamos para medir o tempo (1 hora = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos) e os ângulos (1 grau = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos). Os babilônios o escreviam com apenas dois sinais em forma de cunha, uma vertical para o 1 e outra em ângulo para o 10, e com eles formavam todos os algarismos de 1 a 59.
Aqui você aprende os números babilônicos, como lê-los e convertê-los, como funcionam as frações na base 60 e, depois, como usar o sistema na vida diária com horas, graus, minutos e segundos. Há exemplos resolvidos, uma seção para o Ensino Fundamental e exercícios com gabarito. Uma visão geral de todos os sistemas está em sistema de numeração, e a história, em Sumerische und babylonische Mathematik (em alemão).
Números babilônicos: as duas cunhas
Os escribas pressionavam um caniço sobre a argila úmida e deixavam marcas em forma de cunha, daí o nome de escrita cuneiforme. Uma cunha vertical vale 1 e uma cunha em ângulo (a que parece um “<”) vale 10. Para um algarismo você junta os sinais: o 23 são 2 cunhas em ângulo e 3 verticais.
Por exemplo, 34 são 3 cunhas em ângulo e 4 verticais (3 · 10 + 4), 47 são 4 em ângulo e 7 verticais, e o maior algarismo, 59, leva 5 em ângulo e 9 verticais. Estes são todos os algarismos babilônicos, de 1 a 59:
Valor posicional na base 60
Os números maiores são escritos com várias posições lado a lado. À esquerda fica a mais alta e à direita as unidades, como no nosso sistema. Cada posição vale 60 vezes a da sua direita: são as potências de 60.
| Posição (a partir da direita) | Valor | Como potência |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 600 |
| 2 | 60 | 601 |
| 3 | 3.600 | 602 |
| 4 | 216.000 | 603 |
| 5 | 12.960.000 | 604 |
Como converter números babilônicos e sexagesimais
De sexagesimal para decimal
- Leia cada posição como um algarismo: 10 para cada cunha em ângulo mais 1 para cada cunha vertical.
- Escreva o valor de cada posição, da direita para a esquerda: 1, 60, 3.600, …
- Multiplique cada algarismo pelo seu valor e some.
Exemplo: 12,40 são 12 · 60 + 40 = 720 + 40 = 760.
De decimal para sexagesimal
Divida o número por 60 repetidamente e anote os restos. O primeiro resto é a posição da direita, o seguinte a da sua esquerda, e você para quando o quociente chega a 0. É o mesmo método das divisões usado para o sistema binário e para os números maias, mas dividindo por 60.
| Conta | Quociente | Resto |
|---|---|---|
| 2.026 : 60 | 33 | 46 |
| 33 : 60 | 0 | 33 |
Os restos 46 e 33 dão 33,46. Conferência: 33 · 60 + 46 = 2.026. Outros exemplos: 100 = 1,40; 3.600 = 1,0,0 e 4.000 = 1,6,40.
Para conferir os seus resultados, use o conversor de sistemas de numeração (interface em alemão), que mostra como os babilônios teriam escrito o número.
Sem zero nem vírgula: o contexto decide
Os babilônios não escreviam vírgula nem, durante séculos, zero. Na época paleobabilônica uma posição vazia era deixada em branco, um espaço fácil de passar despercebido. Também não marcavam onde ficam as unidades. Por isso a mesma sequência de sinais “1 30” podia significar coisas diferentes.
| Escrita | Conta | Valor |
|---|---|---|
| 1,30 | 1 · 60 + 30 | 90 |
| 1;30 | 1 + 30/60 | 1½ |
| 1,30,0 | 1 · 3.600 + 30 · 60 + 0 | 5.400 |
O valor correto vinha do problema: diante de uma área de campo ou de um preço, um escriba experiente sabia que ordem de grandeza era razoável. Mais tarde, no primeiro milênio a.C., apareceu um sinal para marcar posições vazias, normalmente entre dois algarismos, mas ninguém calculava com ele.
Frações sexagesimais: calcular sem resto
Os babilônios escreviam também as frações na base 60. Depois do ponto e vírgula vêm os sessenta avos, depois os três mil e seiscentos avos e assim por diante: 0;30 é 30/60, isto é, 1/2. Como o 60 tem muitos divisores, muitas frações saem exatas. Com os terços se vê a vantagem: 1/3 é 0;20, enquanto em decimal é 0,333… sem fim.
| Fração | Sexagesimal | Decimal (arredondado) |
|---|---|---|
| 1/2 | 0;30 | 0,5 |
| 1/3 | 0;20 | ≈ 0,3333 |
| 1/4 | 0;15 | 0,25 |
| 1/5 | 0;12 | 0,2 |
| 1/6 | 0;10 | ≈ 0,1667 |
| 1/8 | 0;7,30 | 0,125 |
| 1/9 | 0;6,40 | ≈ 0,1111 |
| 1/10 | 0;6 | 0,1 |
| 1/12 | 0;5 | ≈ 0,0833 |
| 1/15 | 0;4 | ≈ 0,0667 |
| 1/16 | 0;3,45 | 0,0625 |
| 1/18 | 0;3,20 | ≈ 0,0556 |
| 1/20 | 0;3 | 0,05 |
| 1/24 | 0;2,30 | ≈ 0,0417 |
| 1/25 | 0;2,24 | 0,04 |
| 1/27 | 0;2,13,20 | ≈ 0,0370 |
| 1/30 | 0;2 | ≈ 0,0333 |
Os babilônios dividiam com tabelas de inversos: a : b era calculado como a · (1/b). O 7, o 11 e o 13 não aparecem nas tabelas, porque os seus inversos não são exatos: 1/7 é 0;8,34,17,8,34,17… e continua se repetindo. Uma fração sexagesimal termina somente se o denominador não tiver outros fatores primos além de 2, 3 e 5.
Por que 60?
Não se sabe por que sumérios e babilônios escolheram o 60. Um argumento forte é a sua divisibilidade: o 60 tem doze divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60) e o 10 apenas quatro. Além disso, 60 é o menor número divisível por 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Por isso a metade, um terço, um quarto, um quinto e um sexto de uma hora são minutos inteiros: 30, 20, 15, 12 e 10.
O sistema sexagesimal hoje: horas, graus, minutos e segundos
A herança babilônica está na medida do tempo e dos ângulos. Uma hora tem 60 minutos e um minuto tem 60 segundos. Um grau tem 60 minutos de arco e um minuto de arco tem 60 segundos de arco. As palavras “minuto” e “segundo” vêm do latim pars minuta prima e pars minuta secunda: a primeira e a segunda parte pequena, isto é, os primeiros e segundos sessenta avos.
Os astrônomos gregos adotaram as frações sexagesimais: Cláudio Ptolomeu calculou com elas no Almagesto (Ptolomeu, em alemão). Que a circunferência tenha 360 graus, isto é, 6 · 60, não tem uma origem única e segura: citam-se os doze signos do zodíaco, de 30 partes cada, dos astrônomos babilônios, os cerca de 360 dias do ano e a grande divisibilidade do 360, que tem 24 divisores.
Horas, minutos e segundos
Para somar e subtrair tempos calcula-se por posições, como na conta armada, mas “vai um” de 60 em 60.
Graus, minutos e segundos
Um ângulo pode ser escrito em graus decimais (35,25°) ou em graus, minutos e segundos (35° 15′ 0″). Para passar de um modo a outro: 1° = 60′ = 3.600″.
- De decimal para graus, minutos e segundos: a parte inteira são os graus. Multiplique a parte decimal por 60: a parte inteira são os minutos. Multiplique de novo a parte decimal por 60 e você obtém os segundos.
- De graus, minutos e segundos para decimal: graus + minutos / 60 + segundos / 3.600.
Para somar e subtrair ângulos reagrupa-se de 60 em 60:
Ângulos complementares e suplementares
Dois ângulos são complementares se somam 90° e suplementares se somam 180°. O complemento de 35° 20′ é 90° − 35° 20′ = 54° 40′. O suplemento de 112° 30′ é 180° − 112° 30′ = 67° 30′. Se você precisa resolver uma equação como x + 25° 40′ = 90°, subtrai: x = 90° − 25° 40′ = 64° 20′.
Sistema sexagesimal no Ensino Fundamental
- O que se pratica: passar horas para minutos e minutos para segundos, somar e subtrair tempos, ler a hora no relógio e começar a medir ângulos.
- Uma ideia para a sala de aula ou para casa: com um relógio de papelão, os alunos movem os ponteiros e escrevem quantos minutos e segundos passam em cada volta.
- Um erro típico: escrever 1 h 75 min em vez de 2 h 15 min. Se os minutos chegam a 60, passa-se uma hora.
Exercícios com soluções
Características do sistema sexagesimal
- Base 60: cada posição vale 60 vezes a da sua direita.
- Posicional: o valor de um algarismo depende da sua posição.
- Algarismos de 1 a 59: cada um formado por cunhas verticais (1) e em ângulo (10).
- Zero: primeiro um espaço, mais tarde um sinal de posição vazia, nunca um número com o qual se calcula.
- Sem vírgula: o contexto dizia como ler o número.
- Muitos divisores: permite frações exatas de uso corrente.
De onde vêm os números babilônicos
Os primeiros sinais numéricos dos sumérios aparecem por volta de 3300 a 3200 a.C. e ainda não eram posicionais. O sistema posicional de base 60 chegou às escolas de escribas, o mais tardar, na época paleobabilônica, por volta de 2000 a.C. Dessa época vêm as tábuas com multiplicações, inversos e equações. Outro sistema posicional é o dos números maias, de base 20, e um sistema sem posições é o do sistema de numeração egípcio. A história geral está em história da matemática.
Perguntas frequentes
O que é o sistema sexagesimal?
É um sistema de numeração de base 60, em que cada posição vale 60 vezes a da sua direita. Vem da Mesopotâmia e continua vivo no relógio (60 minutos, 60 segundos) e na medida dos ângulos.
Onde se usa o sistema sexagesimal?
Na medida do tempo (horas, minutos e segundos), nos ângulos (graus, minutos e segundos), na geografia (latitude e longitude) e na astronomia.
Como passar de graus decimais para graus, minutos e segundos?
Os graus são a parte inteira. Multiplique a parte decimal por 60 para obter os minutos e, se sobrar decimal, mais uma vez por 60 para os segundos. Há exemplos acima.
Como funcionam os números babilônicos?
Com dois sinais, a cunha vertical (1) e a cunha em ângulo (10), e a base 60. Uma posição mostra de 1 a 59 e cada posição vale 60 vezes a da sua direita. Os exemplos estão na seção de valor posicional.
Os babilônios tinham zero?
Não como número. Mais tarde tiveram um sinal para posições vazias, mas não calculavam com ele. O zero como número nasceu na Índia.
Por que a hora tem 60 minutos?
A divisão vem do sistema sexagesimal dos babilônios, adotado pelos astrônomos gregos. O 60 tem muitos divisores, então a metade, um terço, um quarto e um sexto de hora são minutos inteiros.
Como somar horas?
Soma-se por posições e “vai um” de 60 em 60: 3 h 45 min + 2 h 30 min = 5 h 75 min = 6 h 15 min.
O sistema de numeração babilônico é posicional?
Sim. Ao contrário do sistema egípcio e do romano, o valor de cada algarismo depende da posição, na base 60. Veja a comparação entre os sistemas.
Fontes e leituras recomendadas
- Wikipédia: Numeração babilônica
- MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (em inglês)
- Wagner Y. Miyashita: Sistemas de numeração, como funcionam e como são estruturados os números, trabalho de licenciatura em Matemática, UNESP Bauru, 2002 (PDF)
- Eleanor Robson: Mathematics in Ancient Iraq. A Social History, Princeton University Press, Princeton 2008 (em inglês).
- Otto Neugebauer: Vorlesungen über Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, Band 1: Vorgriechische Mathematik, Springer, Berlim 1934 (em alemão).
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