Histoire des mathématiques

L’histoire des mathématiques raconte comment les humains ont appris à compter, à mesurer, à démontrer et à généraliser. Elle commence avec des encoches sur des os, il y a plus de 40 000 ans, passe par les tablettes d’argile de Mésopotamie, les papyrus d’Égypte, les démonstrations des Grecs, le zéro indien et l’algèbre des savants arabes et persans, puis par la géométrie analytique, l’analyse et la théorie des ensembles, jusqu’aux preuves de notre siècle.

Cette page offre une vue d’ensemble : une frise chronologique, les grandes périodes, l’histoire de l’infini, de l’algèbre et de la géométrie, et des repères pour le collège. Pour les personnes, voir les mathématiciens célèbres ; pour l’origine de tout, qui a inventé les mathématiques.

Frise chronologique de l’histoire des mathématiques

La frise donne les jalons les plus connus. Les dates anciennes sont approximatives et indiquées par « vers ».

1. vers 40 000 av. J.-C. L’os de Lebombo (Afrique australe) porte des encoches, l’un des plus anciens témoins du comptage.
2. vers 18 000 av. J.-C. L’os d’Ishango (Afrique centrale) présente des encoches regroupées.
3. vers 3200 av. J.-C. En Mésopotamie, les premiers signes de nombres sont gravés sur des tablettes d’argile.
4. vers 3000 av. J.-C. En Égypte, les hiéroglyphes servent à écrire les nombres en base dix.
5. vers 1800 à 1600 av. J.-C. Tablettes babyloniennes : fractions en base 60, équations du second degré, triplets pythagoriciens (Plimpton 322), valeur de √2 (YBC 7289).
6. vers 1550 av. J.-C. Le scribe Ahmès copie le papyrus Rhind, un manuel d’arithmétique et de géométrie.
7. vers 600 av. J.-C. Thalès de Milet passe pour le premier à justifier des énoncés de géométrie.
8. vers 500 av. J.-C. L’école de Pythagore étudie les nombres. La découverte de segments incommensurables ouvre la voie aux nombres irrationnels.
9. vers 300 av. J.-C. Euclide rédige les Éléments, la géométrie présentée à partir d’axiomes.
10. vers 250 av. J.-C. Archimède calcule des aires et des volumes et encadre π.
11. vers 200 av. J.-C. En Chine, les Neuf chapitres sur les procédés mathématiques traitent des systèmes d’équations et des nombres négatifs.
12. 36 av. J.-C. La plus ancienne date maya du compte long avec un zéro est gravée à Chiapa de Corzo.
13. vers 250 Diophante d’Alexandrie écrit les Arithmétiques, premiers signes algébriques.
14. 628 Brahmagupta énonce en Inde les règles de calcul avec le zéro et les nombres négatifs.
15. vers 825 Al-Khwarizmi, à Bagdad, écrit le livre qui donne son nom à l’algèbre.
16. 1202 Fibonacci publie le Liber abaci et fait connaître les chiffres indo-arabes en Europe.
17. 1545 Cardan publie les formules de résolution des équations du troisième et du quatrième degré.
18. 1591 et 1637 Viète, puis Descartes, introduisent le calcul avec des lettres, et Descartes la géométrie analytique.
19. 1614 Napier invente les logarithmes.
20. 1654 Pascal et Fermat échangent des lettres qui posent les bases du calcul des probabilités.
21. 1660 à 1690 Newton et Leibniz développent chacun de leur côté le calcul infinitésimal.
22. 1736 et 1748 Euler résout le problème des ponts de Königsberg et publie son Introduction à l’analyse infinitésimale.
23. 1830 environ Galois fonde la théorie des groupes, Lobatchevski et Bolyai la géométrie non euclidienne.
24. 1854 et 1873 Boole fonde l’algèbre de la logique, Cantor la théorie des ensembles.
25. 1900 Hilbert présente ses 23 problèmes.
26. 1931 et 1936 Gödel démontre ses théorèmes d’incomplétude et Turing définit la machine qui porte son nom.
27. 1994 et 2003 Wiles démontre le grand théorème de Fermat, Perelman la conjecture de Poincaré.
28. 2014 Maryam Mirzakhani est la première femme à recevoir la médaille Fields.

Les grandes périodes en bref

De la préhistoire à Babylone et à l’Égypte

Les mathématiques naissent des besoins : compter des troupeaux, partager des récoltes, mesurer des champs, prévoir le calendrier. Les Babyloniens écrivaient les nombres en base 60 (numération babylonienne) et savaient résoudre des problèmes que nous écrivons comme des équations du second degré. Les Égyptiens (chiffres égyptiens) calculaient avec des fractions unitaires. Les Mayas, de leur côté, ont construit un système de position en base 20 avec un zéro (chiffres mayas). Voir les pages sur les mathématiques sumériennes et babyloniennes et égyptiennes (en allemand).

La Grèce et la démonstration

Les Grecs ne sont pas les premiers à calculer, mais ils transforment les mathématiques en une science de la preuve : on ne se contente plus de montrer qu’une règle fonctionne, on démontre qu’elle est vraie dans tous les cas. Euclide, Archimède et Apollonios en sont les grands noms (mathématiques grecques, en allemand).

L’Inde et le monde arabo-persan

En Inde naissent nos chiffres et le zéro comme nombre. Les savants de Bagdad, comme al-Khwarizmi, traduisent les Grecs, développent l’algèbre et transmettent les chiffres indiens à l’Europe, où Fibonacci les diffuse dès 1202 (mathématiques indiennes et mathématiques islamiques, en allemand). Le nom « chiffre » vient lui-même de l’arabe sifr, qui désigne le zéro.

L’Europe, de la Renaissance aux Lumières

Après les équations de Cardan et Ferrari, Viète et Descartes inventent le calcul avec des lettres. Les logarithmes de Napier et de Bürgi accélèrent les calculs des astronomes, Pascal et Fermat lancent les probabilités, Newton et Leibniz le calcul infinitésimal, et Euler écrit une grande partie de la notation que nous utilisons encore. Plusieurs de ces mathématiciens sont français, voir les mathématiciens français.

Le XIX^e et le XX^e siècle

Le XIX^e siècle donne à l’analyse des bases rigoureuses (Cauchy, Weierstrass) et ouvre de nouveaux mondes : géométries non euclidiennes, groupes (Galois), ensembles et infinis de tailles différentes (Cantor). Au XX^e siècle, la logique (Gödel, Turing), l’algèbre abstraite (Noether), la topologie et les ordinateurs transforment la discipline. Le groupe Bourbaki remanie la présentation de toutes les mathématiques à partir des années 1930.

Histoire des mathématiciens

Les premiers mathématiciens n’ont pas laissé de noms. Le plus ancien nom lié à un texte de mathématiques est celui du scribe Ahmès (vers 1550 av. J.-C.). Chez les Grecs, Thalès (vers 624 à 546 av. J.-C.) est le premier mathématicien connu. Une description plus détaillée, avec les dates de naissance et de mort et une courte biographie par personne, se trouve dans la page mathématiciens célèbres.

Histoire de l’infini en mathématiques

L’infini intrigue depuis l’Antiquité. Zénon d’Élée (vers 490 à 430 av. J.-C.) propose des paradoxes, comme celui d’Achille et de la tortue, qui montrent qu’une somme infinie de durées de plus en plus petites peut être finie. Aristote distingue l’infini « en puissance » (on peut toujours continuer) de l’infini « en acte » (un tout achevé) et n’accepte que le premier. Archimède approche des aires par des suites de figures de plus en plus fines.

Au XVII^e siècle, Wallis introduit le symbole ∞ (1655), et Newton et Leibniz manient des quantités infiniment petites, ce qui conduit au calcul différentiel et intégral. Bolzano étudie les paradoxes de l’infini (publiés en 1851). À partir de 1873, Cantor montre qu’il existe des infinis de tailles différentes : il y a plus de nombres réels que d’entiers. Depuis, l’infini fait partie des mathématiques à part entière.

Histoire de l’algèbre et des équations

1. Babylone, vers 1800 av. J.-C. : les scribes résolvent des problèmes qui reviennent à des équations du second degré, avec des recettes écrites en mots.
2. Diophante, vers 250 : il abrège l’inconnue par un signe et propose des centaines de problèmes.
3. Brahmagupta, 628 : il calcule avec les nombres négatifs et le zéro.
4. Al-Khwarizmi, vers 825 : il classe les équations du premier et du second degré en six types et justifie chaque règle. Le mot « algèbre » vient de al-jabr, « la restauration ».
5. Cardan et Tartaglia, 1545 : les équations du troisième et du quatrième degré se résolvent par des formules.
6. Viète (1591) et Descartes (1637) : les lettres désignent les nombres connus et inconnus, et x, y, z deviennent l’habitude.
7. Abel (1824) et Galois (vers 1830) : l’équation générale du cinquième degré n’a pas de formule avec des racines, et Galois explique pourquoi avec la théorie des groupes.

Histoire de la géométrie

La géométrie commence avec l’arpentage : mesurer des champs après les crues du Nil, bâtir des temples. Thalès et les pythagoriciens y cherchent des raisons, Euclide organise le tout dans les Éléments autour d’axiomes, Apollonios étudie les coniques. En 1637, Descartes relie la géométrie à l’algèbre avec des coordonnées. Desargues fonde la géométrie projective. Vers 1830, Lobatchevski et Bolyai montrent qu’il existe des géométries où le postulat des parallèles est faux, et Riemann élargit encore le cadre en 1854.

Histoire de Pythagore et de son théorème

Pythagore de Samos (vers 570 à 495 av. J.-C.) a fondé une école à Crotone, dans le sud de l’Italie. On lui attribue le théorème qui porte son nom, mais on ne sait pas s’il l’a démontré lui-même.

Histoire des mathématiques chinoises

En Chine, les Neuf chapitres sur les procédés mathématiques (vers 200 av. J.-C.) résolvent des systèmes d’équations par élimination et utilisent des nombres négatifs. Liu Hui commente ce livre au III^e siècle et calcule π avec des polygones. Au V^e siècle, Zu Chongzhi donne la fraction 355/113 pour π, exacte jusqu’à la sixième décimale. Sunzi pose le premier problème de ce qu’on appelle le théorème chinois des restes, et au XIII^e siècle Qin Jiushao en donne une méthode générale. Yang Hui présente le triangle que l’on appelle en France triangle de Pascal. Voir les mathématiques chinoises (en allemand) et l’histoire de π.

Les femmes dans l’histoire des mathématiques

Pendant des siècles, les femmes ont été presque absentes des écoles et des académies, et leurs travaux ont souvent été attribués à d’autres. Quelques noms émergent tout de même : Hypatie à Alexandrie (IV^e-V^e siècle), Sophie Germain, Ada Lovelace, Sofia Kovalevskaïa, Emmy Noether et, de nos jours, Maryam Mirzakhani. Leur portrait en quelques lignes figure dans la section mathématiciennes célèbres.

L’histoire des maths au collège : repères

Une approche historique rend un chapitre plus concret. Voici des pistes, du plus simple au plus avancé.

Questions fréquentes

Sources et pour aller plus loin

• Britannica : Mathematics, Egyptian mathematics (en anglais)
• Britannica : Mathematics in the Islamic world, 8th to 15th century (en anglais)
• CNRS Images des mathématiques : Promenade mathématique en Mésopotamie (Jean Brette)
• Wikipédia : Histoire des mathématiques
• MacTutor History of Mathematics (en anglais)
• Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer : Une histoire des mathématiques. Routes et dédales, Éditions du Seuil, Paris 1986.
• Jean Dieudonné (dir.) : Abrégé d’histoire des mathématiques 1700–1900, Hermann, Paris 1978.
• Georges Ifrah : Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Paris 1994.