Bhaskara II

Bhaskara II (1114–um 1185), in Indien als Bhaskaracharya („Bhaskara, der Lehrer“) verehrt, war einer der bedeutendsten Mathematiker und Astronomen des mittelalterlichen Indiens. Er leitete der Überlieferung nach das Observatorium von Ujjain, dem wichtigsten Zentrum der indischen Himmelskunde, und knüpfte an Brahmagupta an. Er fasste das Wissen der indischen Mathematik in drei Werken zusammen: der Lilavati über Rechnen und Geometrie, dem Bijaganita über Algebra und dem Siddhantasiromani über Astronomie.

Berühmt wurde Bhaskara II für lebendige Aufgaben in Versform, für den Umgang mit Null und negativen Zahlen und für das Chakravala-Verfahren, mit dem er Gleichungen vom Typ der Pell-Gleichung löste. Er unterscheidet sich von Bhaskara I, der rund 500 Jahre früher lebte.

Leben: Astronom aus einer Gelehrtenfamilie

Bhaskara II nennt sein Geburtsjahr selbst: Er wurde im Jahr 1036 der Śaka-Zeitrechnung geboren, also 1114, und vollendete mit 36 Jahren sein Hauptwerk, das Siddhantasiromani („Kronjuwel der Lehrsysteme“, um 1150). Sein Vater Mahesvara war ein angesehener Astrologe. Als Geburtsort nennt Bhaskara das Dorf Vijjadavida im Bergland der Westghats; ob es in Maharashtra oder in Karnataka lag, ist umstritten. Ob er sein Leben in Ujjain beendete, ist ebenfalls offen, und das Todesjahr 1185 ist eine Schätzung.

1207 wurde nach den Quellen eine Schule gegründet, an der seine Werke gelehrt werden sollten. Sein spätes Werk Karanakutuhala („Berechnung astronomischer Wunder“) entstand 1183. Seine Handschriften wurden noch im 19. Jahrhundert kopiert.

Die Lilavati: Rechnen als Gedicht

Die Lilavati („Die Schöne“) umfasst 13 Kapitel: Maße und Rechenarten, Zinsrechnung, Reihen, Flächen und Körper, Schattenlängen, das Kuttaka-Verfahren und zuletzt Aufgaben zum Abzählen von Möglichkeiten. Viele Aufgaben sind als Verse formuliert und sprechen eine junge Frau direkt an. Sie behandelt auch den Dreisatz und seine Erweiterungen auf fünf, sieben und neun Größen; wie man mit Verhältnissen rechnet, erklärt die Lernseite zur Proportionalität. Ein Beispiel für die lebendige Art ist die Aufgabe vom Pfau und der Schlange:

Das Bijaganita: Algebra, Null und negative Zahlen

Das Bijaganita („Rechnen mit dem Samen“) hat zwölf Kapitel. Bhaskara kennt die Regeln für positive und negative Zahlen von Brahmagupta und kennzeichnet negative Zahlen durch einen Punkt über der Zahl. Bei der Division durch Null versucht er, über Brahmagupta hinauszukommen. Er schreibt, eine Zahl geteilt durch Null sei ein Bruch mit dem Nenner Null, eine „unendliche Größe“ (khahara), die sich nicht ändert, wenn man etwas hinzufügt oder wegnimmt, so wie Gott sich nicht ändert, wenn Welten entstehen oder vergehen. Heute ist die Division durch Null verboten: Wäre n : 0 eine Zahl q, müsste q · 0 = n gelten, was für jedes n ≠ 0 unmöglich ist.

Bei Gleichungen zweiten Grades erkennt er, dass es zwei Lösungen geben kann:

Wie bei seinen Vorgängern blieben negative Lösungen meist unerwünscht. Dazu kommen Aufgaben mit mehreren Unbekannten, Wurzeln wie √(a ± √b) und Kuttaka-Aufgaben, etwa die Gleichung 195x = 221y + 65 mit den Lösungen (x, y) = (6, 5), (23, 20) und so fort. Mehr zu den Lösungsformeln steht auf der Lernseite zu quadratischen Gleichungen.

Das Chakravala-Verfahren und die Gleichung x² − 61y² = 1

Die Pell-Gleichung x² − Ny² = 1 sucht ganze Zahlen x und y, wobei N keine Quadratzahl ist. Für kleine N sind die Lösungen klein, für N = 61 aber riesig. Brahmagupta hatte mit der „Zusammensetzung“ (bhāvanā) einen Weg gefunden, aus Näherungslösungen echte zu bauen. Bhaskara II beschreibt ein vollständiges Verfahren, das chakravāla („Kreislauf“): Man startet mit einer Näherung a² − 61b² = k mit kleinem k und wiederholt den Schritt, bis k = ±1 wird.

Der Schritt: Man wählt eine Zahl m so, dass a + b · m durch |k| teilbar ist und m² − 61 betragsmäßig möglichst klein wird. Dann gilt für das neue Tripel a′ = (a · m + 61 · b) : |k|, b′ = (a + b · m) : |k| und k′ = (m² − 61) : k.

Im Start gilt 8² − 61 · 1² = 64 − 61 = 3. Nach dem sechsten Schritt ist k = −1, und ein letzter Schritt gelingt durch Quadrieren: Aus a² − 61b² = −1 folgt (a² + 61b²)² − 61(2ab)² = 1. Mit a = 29.718 und b = 3.805 erhält man x = a² + 61b² = 883.159.524 + 883.159.525 = 1.766.319.049 und y = 2ab = 226.153.980. Das ist die kleinste Lösung. Bhaskara II gab sie in der Form 61 · 226.153.980² + 1 = 1.766.319.049² an. Dieselbe Aufgabe stellte Pierre de Fermat 1657 den englischen und französischen Mathematikern; einen allgemeinen Beweis, dass jede solche Gleichung lösbar ist, lieferte Lagrange 1768.

Astronomie und Trigonometrie

Das Siddhantasiromani besteht aus zwei Teilen über Planetenrechnung und über die Himmelskugel. Bhaskara betrachtet die Trigonometrie hier um ihrer selbst willen und kennt die Additionsformeln sin(a ± b) = sin a · cos b ± cos a · sin b, die heute zum festen Schulstoff der Trigonometrie gehören. Bei der Bewegung der Planeten rechnet er mit kleinsten Zeitschritten. Manche Forscher sehen darin Vorformen der Differentialrechnung, andere warnen davor, moderne Begriffe hineinzulesen.

Zeitleiste

1. 628 Brahmagupta legt mit dem Brāhmasphuṭasiddhānta die Grundlage für Bhaskaras Algebra.
2. 1114 Geburt Bhaskaras II bei Vijjadavida.
3. um 1150 Siddhantasiromani mit Lilavati und Bijaganita; Chakravala-Verfahren.
4. 1183 Karanakutuhala, eine handliche Fassung der Astronomie.
5. um 1185 Tod Bhaskaras II (Jahr geschätzt).
6. 1207 Gründung einer Schule für das Studium seiner Werke.
7. 1587 Persische Übersetzung der Lilavati am Hof des Mogulherrschers Akbar.
8. 1817 Henry Thomas Colebrooke übersetzt Lilavati und Bijaganita ins Englische.

Was von Bhaskara II bleibt

Bhaskara II gilt als Gipfel der indischen Mathematik des Mittelalters. Er vollendete, was Brahmagupta begonnen hatte, und erreichte Einsichten über Zahlen und Gleichungen, die in Europa erst Jahrhunderte später folgten. Gut zwei Jahrhunderte nach ihm entwickelte in Südindien die Schule von Madhava unendliche Reihen. Seine Aufgaben mit Pfauen und Affen sind bis heute ein beliebter Zugang zu Gleichungen, und das Chakravala-Verfahren wird in der Zahlentheorie noch immer gelehrt.

Quellen und weiterführende Literatur

• Henry Thomas Colebrooke: Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara, John Murray, London 1817.
• S. Phadke und andere: Līlāvatī of Bhāskarācārya. A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition, Motilal Banarsidass, Delhi 2001.
• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, Princeton 2009.
• George Gheverghese Joseph: The Crest of the Peacock. Non-European Roots of Mathematics, 3. Auflage, Princeton University Press, Princeton 2011.
• MacTutor History of Mathematics: Bhaskara II (englisch)
• Wikipedia: Bhaskara II.