Mathematik lernen · Klasse 9–10
Rationale Ausdrücke (Bruchterme)
Ein Bruchterm ist ein Bruch mit Variablen im Zähler und Nenner. Du lernst, wann er definiert ist, wie du kürzt und wie du mit ihm rechnest wie mit Zahlenbrüchen, und siehst, was die alten Ägypter damit zu tun haben.
Ein rationaler Ausdruck, auch Bruchterm genannt, ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner Polynome sind, zum Beispiel . Er verhält sich wie ein Bruch aus Zahlen: Du kannst ihn kürzen, erweitern, addieren, multiplizieren und dividieren. Der Name kommt vom lateinischen ratio, dem „Verhältnis“.
Der Unterschied zu Zahlenbrüchen: Im Nenner steht eine Variable, deshalb darf nicht jede Zahl eingesetzt werden. Außerdem brauchst du das Faktorisieren aus den Trinomen und den quadratischen Gleichungen. Die Bruchrechnung selbst findest du unter Brüche.
Definitionsmenge: wo ein Bruchterm gilt
Durch null darf man nicht teilen. Bei einem rationalen Ausdruck musst du deshalb alle Werte der Variablen ausschließen, bei denen der Nenner null wird. Die übrigen Zahlen bilden die Definitionsmenge D (mehr zum Begriff bei den Ausdrücken). Du setzt den Nenner gleich null, löst die Gleichung und streichst die Lösungen aus ℝ.
| Ausdruck | Nenner ist null bei | Definitionsmenge |
|---|---|---|
| x = 3 | D = ℝ ∖ {3} | |
| x = 2 oder x = −2 | D = ℝ ∖ {−2; 2} | |
| x = 2 oder x = 3 | D = ℝ ∖ {2; 3} | |
| nie, denn x² + 1 ≥ 1 | D = ℝ |
Beim dritten Beispiel hilft die Zerlegung x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), beim zweiten x² − 4 = (x − 2)(x + 2). Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Die Mitternachtsformel brauchst du nur bei Nennern, die sich nicht leicht zerlegen lassen. Dem Begriff begegnest du später bei den Funktionen wieder.
An den ausgeschlossenen Stellen kann der Graph zwei Gesichter zeigen. Bei schießt er für x nahe 3 ins Unendliche, das nennt man Polstelle. Bei fehlt dagegen nur ein einzelner Punkt, weil sich der Faktor x − 2 wegkürzen lässt. Das ist eine Lücke.
Rationale Ausdrücke vereinfachen (Kürzen)
Wie bei Zahlenbrüchen kürzt du, indem du Zähler und Nenner durch denselben Faktor teilst: Aus 6 : 8 = (2 · 3) : (2 · 4) wird 3 : 4. Bei Termen musst du dafür erst faktorisieren, denn gekürzt werden nur Faktoren, also Teile eines Produkts, niemals Summanden.
Ein rationaler Ausdruck gilt als vereinfacht, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Faktor mehr haben. Ob du das Ergebnis als Produkt lässt oder ausmultiplizierst, hängt von der Aufgabe ab. Zum Weiterrechnen ist die Produktform bequemer, zum Einsetzen von Zahlen oft die ausmultiplizierte.
Erweitern: das Gegenstück zum Kürzen
Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Faktor ungleich null. Der Wert des Bruchs ändert sich nicht. Du brauchst das später, um gleiche Nenner zu erzeugen. Zum Beispiel ist . Probe mit x = 3: 3 : 4 und 6 : 8 sind gleich. Beachte, dass der erweiterte Ausdruck zusätzlich x ≠ 1 verlangt, denn dort wäre der neue Nenner null.
Rationale Ausdrücke multiplizieren
Du multiplizierst wie bei Brüchen: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Klug ist es, vorher zu faktorisieren und über Kreuz zu kürzen. Dann musst du am Ende nichts mehr ausmultiplizieren.
Rationale Ausdrücke dividieren
Dividieren heißt, mit dem Kehrwert zu multiplizieren, und zwar nur beim zweiten Bruch (dem Divisor). Dabei darf der Divisor nicht null sein. Deshalb kommt zu den üblichen Einschränkungen oft noch eine hinzu.
Rationale Ausdrücke addieren
Brüche mit gleichem Nenner addierst du direkt: . Haben sie verschiedene Nenner, brauchst du den Hauptnenner. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, so wie das kgV bei Zahlen.
Rationale Ausdrücke subtrahieren
Das Subtrahieren läuft genauso, birgt aber eine Vorzeichenfalle: Das Minus gilt für den ganzen Zähler des zweiten Bruchs. Setze ihn deshalb in Klammern.
Gleichungen mit Bruchtermen
Steht die Variable im Nenner, schreibst du zuerst die Definitionsmenge auf. Dann multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner. Es entsteht eine Gleichung ohne Brüche, oft linear oder quadratisch (Kreuzmultiplikation). Am Schluss prüfst du, ob jede Lösung zur Definitionsmenge gehört.
Anwendung: gemeinsame Arbeit
Rationale Ausdrücke entstehen, wenn mehrere gemeinsam arbeiten. Braucht eine Pumpe x Stunden, um ein Becken zu füllen, schafft sie pro Stunde des Beckens. Die Leistungen zweier Pumpen addieren sich.
Partialbruchzerlegung
Die Partialbruchzerlegung ist die Umkehrung des Addierens: Ein Bruch, dessen Nenner aus mehreren Faktoren besteht, wird in eine Summe einfacherer Brüche zerlegt. Du brauchst sie vor allem in der Oberstufe, um rationale Funktionen zu integrieren. Hier siehst du die Grundidee an einem Beispiel.
Ein besonders schöner Fall ist . Bei einer Summe solcher Brüche löschen sich fast alle Terme gegenseitig aus, ein sogenannter Teleskopeffekt: .
Für die Integralrechnung nutzten Leibniz und Johann Bernoulli die Zerlegung um 1702, um rationale Funktionen zu integrieren. Mehr dazu findest du später in der Analysis.
Damit hast du alle Rechenarten für Bruchterme beisammen. Vertiefen kannst du sie bei den Gleichungen, den Polynomen und den quadratischen Gleichungen, die in fast jeder Bruchgleichung auftauchen.
Häufige Fragen
Warum darf ich nicht aus Summen kürzen?
Weil sich ein Faktor nur dann herauskürzen lässt, wenn er den ganzen Zähler und den ganzen Nenner multipliziert. Bei x + 3 gehört die 3 nur zu einem Summanden. Ein Zahlenbeispiel zeigt den Fehler sofort.
Wie finde ich den Hauptnenner?
Zerlege jeden Nenner in Faktoren und nimm jeden Faktor mit der höchsten Potenz, die in einem der Nenner vorkommt. Bei x(x − 1) und x² ist das x²(x − 1).
Quellen und weiterführende Literatur
- Richard J. Gillings: Mathematics in the Time of the Pharaohs, Dover, New York 1982.
- Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
- MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm Leibniz (englisch)
- Wikipedia: Partialbruchzerlegung