Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion der Form $f(x)=x^r$ mit einem festen Exponenten r. Die Variable x steht dabei in der Basis, der Exponent ist eine feste Zahl. Beispiele sind $x^2$ (Normalparabel), $x^3$ (kubische Kurve), $x^{-1}=\frac{1}{x}$ (Hyperbel) und $x^{1/2}=\sqrt{x}$ (Wurzelfunktion).

Je nach Exponent sehen die Graphen sehr verschieden aus. Diese Seite zeigt dir die ganze Familie und gibt dir Regeln an die Hand, mit denen du einen Graphen schon am Exponenten erkennst. Die Rechengesetze für Potenzen werden vorausgesetzt, du findest sie auf der Seite Potenzen. Einen Überblick über alle Funktionstypen gibt der Abschnitt Wichtige Funktionstypen.

Was ist eine Potenzfunktion?

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten x genau einen Wert $f(x)$ zu (Funktionstypen). Bei Potenzfunktionen wird dazu x mit sich selbst multipliziert. Welche x erlaubt sind, hängt vom Exponenten ab.

Positive ganze Exponenten

Hier kommt es darauf an, ob der Exponent n gerade oder ungerade ist. Das bestimmt die Symmetrie. Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn $f(-x)=f(x)$ gilt, und punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn $f(-x)=-f(x)$ gilt (Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen).

Gerade Exponenten

Bei $x^2$, $x^4$, $x^6$ kommt wegen ${(-x)}^n=x^n$ links dasselbe heraus wie rechts. Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y-Achse und ähneln der Normalparabel (Normalparabel). Sie sind nach oben offen, der Tiefpunkt liegt bei (0|0).

Ungerade Exponenten

Bei $x$, $x^3$, $x^5$ gilt ${(-x)}^n=-x^n$. Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Ursprung und steigen überall. Der Graph von $x^3$ hat bei (0|0) eine waagerechte Stelle und läuft dort durch die x-Achse.

Was ändert ein größerer Exponent? Nahe 0 wird der Graph flacher, weit außen steiler. Das zeigt sich in den Werten:

Für $|x|<1$ wird die Potenz kleiner, wenn der Exponent wächst, für $|x|>1$ größer. Nur bei $x=0$, $x=1$ und (bei geradem n) $x=-1$ sind alle gleich.

Negative Exponenten: Hyperbeln

Ein negativer Exponent bedeutet den Kehrwert: $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$ (Negative Exponenten). Weil man nicht durch 0 teilen darf, ist $x=0$ nicht erlaubt. Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen und heißt Hyperbel.

• Polstelle: Nähert sich x der 0, wächst der Betrag der Funktionswerte über alle Grenzen. Für $x=\mathrm{0,1}$ ist $x^{-1}=10$, für $x=\mathrm{0,01}$ schon 100.
• Asymptoten: Für große $|x|$ nähert sich der Graph der x-Achse, ohne sie je zu berühren. Die Achsen heißen Asymptoten, das sind Geraden, denen sich der Graph beliebig nähert.
• Ungerade negative Exponenten ($x^{-1}$, $x^{-3}$): Äste im 1. und 3. Quadranten, punktsymmetrisch. Der Wertebereich ist $y\ne 0$.
• Gerade negative Exponenten ($x^{-2}$, $x^{-4}$): beide Äste oberhalb der x-Achse, achsensymmetrisch. Der Wertebereich ist $y>0$.

Die Hyperbel $y=\frac{k}{x}$ kennst du von der indirekten Proportionalität: Wird x verdoppelt, halbiert sich y (Indirekte Proportionalität).

Gebrochene Exponenten: Wurzelfunktionen

Ein Bruch im Exponenten bedeutet eine Wurzel: $x^{1/n}=\sqrt[n]{x}$ und allgemein $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$ (Wurzeln und gebrochene Exponenten). Der Definitionsbereich ist $x\ge 0$. Bei negativem gebrochenem Exponenten wie $x^{-1/2}$ muss zusätzlich $x>0$ gelten.

Die Graphen steigen um so langsamer, je größer der Nenner ist. Alle laufen durch (0|0) und (1|1). Mit einem Exponenten größer als 1, etwa $\frac{3}{2}$, wird der Anstieg dagegen immer steiler.

Die Umkehrfunktion

Die Wurzel macht das Potenzieren rückgängig. Deshalb ist $x^{1/n}$ die Umkehrfunktion von $x^n$. Die Graphen liegen spiegelbildlich zur Geraden $y=x$ (Umkehrfunktion bilden). Beim Spiegeln werden die Koordinaten vertauscht.

• Bei ungeradem $n$ ist $x^n$ überall umkehrbar. Die Umkehrfunktion von $x^3$ ist die dritte Wurzel, auch für negative x: $\sqrt[3]{-8}=-2$.
• Bei geradem $n$ ist $x^n$ nur umkehrbar, wenn du den Definitionsbereich auf $x\ge 0$ einschränkst. Sonst gehört zu $y=81$ bei $x^4$ sowohl 3 als auch $-3$.

Merke die Regel: Zum Auflösen von $x^r=c$ potenzierst du beide Seiten mit dem Kehrwert $\frac{1}{r}$ des Exponenten.

Verschieben und Strecken

Wie bei der Parabel (Verschieben von Parabeln) kannst du jede Potenzfunktion verändern. Die Form $f(x)=a·{(x-b)}^n+c$ hat drei Zahlen mit klarer Bedeutung:

• a streckt den Graphen in y-Richtung. Bei $a<0$ wird er an der x-Achse gespiegelt.
• b verschiebt den Graphen in x-Richtung um b nach rechts.
• c verschiebt den Graphen in y-Richtung um c nach oben.

Anwendungen

Potenzfunktionen beschreiben, wie sich eine Größe ändert, wenn sich eine andere vervielfacht. Der Exponent verrät, wie stark.

Skalierung: Würfel und Kugel

Bei einem Würfel mit der Kante a ist die Oberfläche $O=6a^2$ und das Volumen $V=a^3$. Verdoppelst du die Kante, wird die Oberfläche 4-mal und das Volumen 8-mal so groß. Das gilt für alle Körper, wenn alle Längen mit demselben Faktor wachsen: Flächen wachsen mit dem Quadrat, Volumen mit der dritten Potenz.

Kepler: Umlaufzeit und Bahnradius

Das dritte Keplersche Gesetz sagt: Das Quadrat der Umlaufzeit T eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz der großen Bahnhalbachse a. Misst du T in Jahren und a in Astronomischen Einheiten (AE, der mittleren Entfernung der Erde von der Sonne), gilt $T^2=a^3$. Aufgelöst nach T ist das die Potenzfunktion $T=a^{3/2}$.

Das Abstandsgesetz

Viele Größen nehmen mit dem Quadrat der Entfernung ab: die Helligkeit einer Lampe, die Stärke der Schwerkraft, die Lautstärke einer Schallquelle im Freien. Das ist die Potenzfunktion $E(r)=\frac{k}{r^2}$. Doppelter Abstand bedeutet ein Viertel, dreifacher Abstand ein Neuntel.

Potenzfunktion oder Exponentialfunktion?

Beide sehen ähnlich aus, verhalten sich aber verschieden. Bei $x^2$ steht die Variable unten, bei $2^x$ oben. Auf lange Sicht gewinnt immer die Exponentialfunktion.

Ab $x=4$ liegt $2^x$ dauerhaft über $x^2$. Eine Exponentialfunktion mit einer Basis größer als 1 überholt auf lange Sicht jede Potenzfunktion.

Typische Fehler

Übungen

Zum Zeichnen eigener Graphen eignet sich der Funktionsplotter. Ändere dort den Exponenten und beobachte, wie sich Form und Symmetrie verändern.

Geschichte: von Cavalieri bis Newton

Die Kurven $y=x^n$ gehörten zu den ersten, die Mathematiker im 17. Jahrhundert genau untersuchten. Sie wollten die Fläche unter ihnen bestimmen. Bonaventura Cavalieri fand die Flächenformel $\frac{a^{n+1}}{n+1}$ bis zur neunten Potenz. Kurz darauf bewies Pierre de Fermat sie für beliebige ganze Exponenten, und John Wallis dehnte sie in den 1650er-Jahren auf Brüche als Exponenten aus.

Dass man Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen mit Bruch und Minus schreiben kann, erklärte die Geschichte der Potenzschreibweise: Nikolaus von Oresme dachte schon um 1360 an Bruchexponenten. In Briefen von 1676 schrieb Newton $a^{1/2}$ statt der Wurzel.

Zwei Potenzgesetze der Natur wurden im selben Jahrhundert entdeckt. Johannes Kepler fand 1619 das Gesetz $T^2\sim a^3$ für die Planetenbahnen. Isaac Newton erklärte es 1687 in den Principia mit einer Anziehungskraft, die mit $\frac{1}{r^2}$ abnimmt (Newtons Principia).

Häufige Fragen

Ist f(x) = x auch eine Potenzfunktion?

Ja, mit dem Exponenten 1. Der Graph ist die Winkelhalbierende. Auch $f(x)=x^0=1$ gehört dazu, die konstante Funktion (für $x\ne 0$).

Woran erkenne ich eine Potenzfunktion im Funktionsterm?

Die Variable steht in der Basis und wird nur potenziert, zum Beispiel $x^4$ oder $\frac{1}{x^2}$. Steht sie im Exponenten, wie in $2^x$, ist es eine Exponentialfunktion.

Warum geht der Graph von x³ durch die x-Achse, der von x² aber nicht?

Bei geradem Exponenten ist jeder Funktionswert nicht negativ. Der Graph berührt die x-Achse nur. Bei ungeradem Exponenten wechseln die Funktionswerte beim Nullpunkt das Vorzeichen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Potenzfunktion
• Wikipedia: Keplersche Gesetze
• NASA: Planetary Fact Sheet (englisch, Bahndaten von Mars und Jupiter)
• Wikipedia: Square–cube law (englisch)