Differentialgleichungs-Rechner: Euler, Heun, Runge-Kutta und Richtungsfeld

So benutzt du den Rechner

Gib die rechte Seite der Gleichung y′ = f(x, y) ein, etwa 0,5 · y oder x + y, dazu den Anfangswert y(x₀), das Ende des Bereichs und die Schrittweite h. Wähle ein Verfahren. Der Rechner zeigt eine Wertetabelle, das Richtungsfeld mit der Näherungslösung und, wenn er sie kennt, die exakte Lösung samt Fehler.

Das Richtungsfeld

Eine Differentialgleichung sagt an jedem Punkt (x | y), wie steil die gesuchte Kurve dort verläuft. Zeichnet man an vielen Punkten kleine Striche mit dieser Steigung, entsteht das Richtungsfeld. Jede Lösungskurve folgt den Strichen wie ein Blatt der Strömung in einem Bach. Der Anfangswert legt fest, welche dieser Kurven gemeint ist.

Das Euler-Verfahren

Das einfachste Verfahren geht in kleinen Schritten vorwärts und folgt jeweils der Steigung am Anfang des Schritts: y_n+1 = y_n + h · f(x_n, y_n). Für y′ = 0,5 · y mit y(0) = 1 und h = 0,5 ist der erste Schritt 1 + 0,5 · 0,5 = 1,25. Bei x = 4 liefert das Verfahren 5,96. Die exakte Lösung ist y = e^0,5x, also y(4) = e² ≈ 7,389. Der Fehler von etwa 1,43 entsteht, weil die Kurve immer steiler wird, das Verfahren aber stets mit der alten Steigung rechnet.

Heun und Runge-Kutta

Bessere Verfahren mitteln mehrere Steigungen innerhalb eines Schritts. Das Heun-Verfahren nimmt den Mittelwert aus der Steigung am Anfang und einer geschätzten Steigung am Ende. Das klassische Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung verwendet vier Steigungen. Im Beispiel liefert es bei gleicher Schrittweite y(4) ≈ 7,388665, der Fehler beträgt nur noch 0,0004. Halbiert man h, wird der Fehler beim Euler-Verfahren etwa halb so groß, bei Runge-Kutta etwa sechzehnmal kleiner.

Was Differentialgleichungen sind, welche Typen man exakt lösen kann und wo sie vorkommen, erklärt die Lernseite Differentialgleichungen. Exponentielles Wachstum, die Lösung von y′ = k · y, behandelt die Seite Exponentialfunktion, Ableitungen die Seite Analysis.

Häufige Fragen