Abstände im Raum: Punkt, Gerade, Ebene berechnen

Der Abstand zweier Objekte im Raum ist die Länge der kürzesten Strecke, die sie verbindet. Diese Strecke steht immer senkrecht auf den Objekten, man nennt sie das Lot. Der Punkt, in dem das Lot ein Objekt trifft, heißt Lotfußpunkt.

Hier lernst du alle wichtigen Fälle: zwei Punkte, Punkt und Ebene, Punkt und Gerade, zwei Geraden und zwei Ebenen. Als Werkzeuge brauchst du den Betrag, das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt sowie Geradengleichungen und die Koordinatenform der Ebene. Auf der Seite zu den Ebenen steht schon ein kurzer Ausblick. Hier folgt die ganze Rechnung.

Abstand zweier Punkte

Der Abstand von $A$ und $B$ ist der Betrag des Verbindungsvektors $\vec{A B}$ . Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich

d (A, B) = | \vec{A B} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}

Bei $P (1 | 2 | 3)$ und $Q (5 | 5 | 15)$ ist $\vec{P Q} = (\begin{matrix} 4 \\ 3 \\ 12 \end{matrix})$ und $d = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ . Mehr zum Betrag steht bei den Vektoren.

Abstand von Punkt und Ebene

Die Ebene $E$ sei in der Koordinatenform $E : \vec{n} \cdot \vec{x} = k$ gegeben, mit dem Normalenvektor $\vec{n}$ (er steht senkrecht auf der Ebene, siehe Normalenform). Auf der Seite zu den Ebenen heißt die Zahl rechts $d$ . Hier nennen wir sie $k$ , weil $d$ für den Abstand steht. Der Punkt $P$ hat den Ortsvektor $\vec{p}$ , das ist der Pfeil vom Ursprung zu $P$ .

Der Abstand eines Punktes P von der Ebene E ist die Länge des Lots PF. Das Lot ist parallel zum Normalenvektor n. Verdoppelst du es über F hinaus, erhältst du den Spiegelpunkt P′.

Das Lot von $P$ auf $E$ ist parallel zu $\vec{n}$ . Das führt zu einer Rechnung in drei Schritten:

Stelle die Lotgerade auf: $l : \vec{x} = \vec{p} + s \vec{n}$ .
Setze sie in die Ebene ein: $\vec{n} \cdot (\vec{p} + s \vec{n}) = k$ , also $\vec{n} \cdot \vec{p} + s | \vec{n} |^{2} = k$ und damit $s = \frac{k - \vec{n} \cdot \vec{p}}{| \vec{n} |^{2}}$ .
Der Lotfußpunkt ist $\vec{f} = \vec{p} + s \vec{n}$ . Der Abstand ist die Länge von $s \vec{n}$ , also $d = | s | \cdot | \vec{n} |$ .

Teilst du die Gleichung $\vec{n} \cdot \vec{x} - k = 0$ durch $| \vec{n} |$ , erhältst du die Hessesche Normalform. Dann hat der Normalenvektor die Länge 1, und der Wert der linken Seite ist beim Einsetzen von $P$ der Abstand mit Vorzeichen: positiv auf der Seite, auf die $\vec{n}$ zeigt, negativ auf der anderen Seite und null in der Ebene. Den Betrag bildest du nur, wenn du den Abstand allein brauchst.

Ein Sonderfall ist der Ursprung $O$ . Mit $\vec{p} = \vec{0}$ wird aus der Formel $d = \frac{| k |}{| \vec{n} |}$ . Bei der Ebene aus dem Beispiel ist das $\frac{13}{\sqrt{50}} \approx 1,84$ .

Spiegelung an der Ebene

Geht das Lot von $P$ über $F$ hinaus um dieselbe Länge weiter, endet es im Spiegelpunkt $P'$ . Er liegt symmetrisch zu $P$ , und $F$ ist die Mitte von $P P'$ . Du verdoppelst also nur den Schritt $s$ :

\vec{p}' = \vec{p} + 2 s \vec{n}

Beim Beispiel ist $\vec{p}' = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{matrix}) - 1,88 \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 0,64 \\ - 2,52 \\ - 4,4 \end{matrix})$ . Als Probe ist die Mitte von $P$ und $P'$ gleich $F (2,18 | 1,24 | 0,3)$ .

Abstand von Punkt und Gerade

Die Gerade sei $g : \vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}$ . Dabei ist $A$ ein Punkt der Geraden (der Stützpunkt) und $\vec{u}$ ihr Richtungsvektor. Es gibt zwei Wege.

Abstand eines Punktes P von einer Geraden g: Das Lot PF steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u. Seine Länge d ist der gesuchte Abstand.

Weg 1: Lotfußpunkt mit dem Skalarprodukt

Der Lotfußpunkt $F$ liegt auf $g$ und hat die Form $\vec{f} = \vec{a} + t \vec{u}$ . Der Vektor $\vec{F P}$ muss senkrecht auf $\vec{u}$ stehen, das Skalarprodukt ist also null:

(\vec{p} - \vec{a} - t \vec{u}) \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow t = \frac{\vec{A P} \cdot \vec{u}}{| \vec{u} |^{2}}

Mit diesem t bekommst du $F$ , und der Abstand ist $d = | \vec{F P} |$ .

Weg 2: Kreuzprodukt

Die Vektoren $\vec{A P}$ und $\vec{u}$ spannen ein Parallelogramm auf. Seine Fläche ist $| \vec{A P} \times \vec{u} |$ , und sie ist auch Grundseite mal Höhe, also $| \vec{u} | \cdot d$ . Daraus folgt

d (P, g) = \frac{| \vec{A P} \times \vec{u} |}{| \vec{u} |}

Weg 1 liefert nebenbei den Lotfußpunkt. Weg 2 ist kürzer, wenn du nur den Abstand brauchst.

Abstand paralleler Geraden

Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind. Dann ist der Abstand überall gleich. Du wählst einen Punkt $B$ der einen Geraden und berechnest seinen Abstand zur anderen Geraden $g : \vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}$ wie oben:

d (g, h) = \frac{| \vec{A B} \times \vec{u} |}{| \vec{u} |}

Abstand windschiefer Geraden

Zwei Geraden im Raum sind windschief, wenn sie weder parallel sind noch einen Schnittpunkt haben. Ein Beispiel ist eine Straße und eine Brücke darüber, die in eine andere Richtung führt. Dann gibt es genau ein gemeinsames Lot: eine Strecke $G H$ mit $G$ auf $g$ und $H$ auf $h$ , die auf beiden Geraden senkrecht steht. Ihre Länge ist der Abstand.

Windschiefe Geraden g und h: Das gemeinsame Lot GH steht auf beiden Geraden senkrecht und ist parallel zu u × v. Seine Länge d ist der Abstand. Die zwei Ebenen sind nur Hilfen für das Bild.

Das gemeinsame Lot steht senkrecht auf $\vec{u}$ und auf $\vec{v}$ . Also ist es parallel zu ihrem Kreuzprodukt $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$ . Der Abstand ist die Länge der Projektion von $\vec{A B}$ auf diese Richtung. Dabei ist $A$ ein Punkt von $g$ und $B$ ein Punkt von $h$ :

Abstand paralleler Ebenen und Gerade zu Ebene

Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Der Abstand ist dann überall gleich. Du nimmst einen beliebigen Punkt der einen Ebene und bestimmst seinen Abstand zur anderen. Haben beide Gleichungen denselben Vektor $\vec{n}$ , genügt sogar ein Blick auf die Zahlen rechts:

d (E_{1}, E_{2}) = \frac{| k_{2} - k_{1} |}{| \vec{n} |} für E_{1} : \vec{n} \cdot \vec{x} = k_{1} und E_{2} : \vec{n} \cdot \vec{x} = k_{2}

Auch eine Gerade, die parallel zu einer Ebene liegt, hat überall denselben Abstand. Er ist der Abstand eines beliebigen Geradenpunktes zur Ebene. Ob die Gerade parallel ist, prüfst du mit $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ (siehe Lage von Gerade und Ebene).

Wo braucht man das?

Computergrafik und Spiele: Ob eine Figur eine Wand berührt, folgt aus dem Abstand eines Punktes zu einer Ebene. Spiegelungen in Spiegelflächen nutzen den Spiegelpunkt.
Bau und Technik: Der Abstand windschiefer Geraden zeigt, wie viel Platz zwischen zwei Rohren oder Kabeln bleibt, die sich ohne Berührung kreuzen.
Luftfahrt: Der Mindestabstand zweier sich kreuzender Flugbahnen, die als Geraden angenähert werden, ist der Abstand windschiefer Geraden.

Überblick

Welcher Fall braucht welche Rechnung?
Fall	Idee	Werkzeug
Punkt und Punkt	Länge des Verbindungsvektors	Betrag
Punkt und Ebene	Lot in Richtung $\vec{n}$	Hessesche Normalform
Punkt und Gerade	Lot senkrecht zu $\vec{u}$	Skalarprodukt oder Kreuzprodukt
Parallele Geraden	Abstand eines Punktes zur anderen Geraden	Kreuzprodukt
Windschiefe Geraden	Lot parallel zu $\vec{u} \times \vec{v}$	Kreuzprodukt und Skalarprodukt
Parallele Ebenen	Abstand eines Punktes zur anderen Ebene	Hessesche Normalform

Zum Kontrollieren eignen sich der Ebenenrechner und der Vektorrechner.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben findest du unter Ebenen im Raum: Aufgaben.

Geschichte: von Hesse zu Hamilton

Die Formel für den Abstand von Punkt und Ebene geht auf den deutschen Mathematiker Otto Hesse zurück (1811 bis 1874). Er studierte in Königsberg bei Carl Gustav Jacob Jacobi und führte die nach ihm benannte Hessesche Normalform der Ebene ein. Sie macht die Abstandsrechnung einfach, denn die Gleichung mit einem Normalenvektor der Länge 1 liefert den Abstand direkt. Auch die Hesse-Matrix der Analysis trägt seinen Namen. Eine eigene Seite zu Hesse gibt es hier nicht.

Das Rechnen mit Vektoren, Skalarprodukt und Kreuzprodukt kam später. William Rowan Hamilton prägte in den 1840er-Jahren die Wörter „Skalar“ und „Vektor“. Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside trennten in den 1880er-Jahren das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt aus den Quaternionen ab. Erst dadurch wurden die kurzen Formeln dieser Seite möglich.

Häufige Fragen

Warum ist der Abstand ein Betrag, die Hessesche Normalform aber vorzeichenbehaftet?

Ein Abstand ist eine Länge und damit nie negativ. Das Vorzeichen in der Hesseschen Normalform zeigt, auf welcher Seite der Ebene der Punkt liegt. Für den Abstand bildest du den Betrag.

Muss ich immer den Lotfußpunkt berechnen?

Nein. Für den Abstand allein reichen die Formeln mit Betrag und Kreuzprodukt. Den Lotfußpunkt brauchst du bei Aufgaben, die ihn verlangen, oder für den Spiegelpunkt.

Woran erkenne ich, ob zwei Geraden windschief sind?

Die Richtungsvektoren dürfen keine Vielfachen voneinander sein, und beim Gleichsetzen darf es keine Lösung geben. Rechnest du den Abstand aus und erhältst null, schneiden sich die Geraden.

Welche Formel nehme ich für den Abstand einer Geraden zu einer parallelen Ebene?

Wähle einen Punkt der Geraden, zum Beispiel den Stützpunkt, und berechne seinen Abstand zur Ebene.