In der außergewöhnlichen Geschichte der Mathematik hebt sich eine Familie besonders hervor – die Bernoullis. Diese beeindruckende Dynastie brachte innerhalb von nur zwei Generationen am Ende des 17. und zu Beginn des 18. Jahrhunderts gleich mehrere herausragende Mathematiker hervor.
Die Bernoullis waren eine wohlhabende Kaufmanns- und Gelehrtenfamilie aus Basel, einer damals florierenden Handelsmetropole im Herzen Europas. Trotz des Wunsches ihres Vaters, sie sollten das familieneigene Gewürzgeschäft übernehmen oder ehrenvolle Berufe wie Medizin oder Theologie ergreifen, entschieden sich die Brüder Jacob und Johann Bernoulli, ihren eigenen Weg zu gehen. Gemeinsam widmeten sie sich mit Leidenschaft und Hingabe der Mathematik.
Nach Johanns Abschluss an der Universität Basel entwickelte sich zwischen ihm und Jacob, trotz ihrer gemeinsamen Leidenschaft für die Mathematik, eine intensive Rivalität. Diese Spannung war so intensiv, dass sie oft als eine Mischung aus Neid und Bewunderung beschrieben wurde. Besonders Johann, der jüngere der beiden, hegte oft Eifersucht gegenüber seinem älteren Bruder Jacob, insbesondere wegen dessen angesehener Position als Professor an der Universität Basel. Diese Rivalität führte dazu, dass sie ständig versuchten, sich gegenseitig zu übertreffen und ihre eigenen Leistungen hervorzuheben.
Nach Jacobs frühem Tod an Tuberkulose nutzte Johann die Gelegenheit und übernahm die Position seines Bruders. Zu seinen Schülern gehörte niemand Geringeres als der herausragende Schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Doch Johanns Neid endete nicht mit Jacobs Tod. Er richtete seinen neidischen Blick nun auf seinen eigenen begabten Sohn, Daniel. In einem besonders bemerkenswerten Akt der Eifersucht veröffentlichte Johann ein Buch, das auf Daniels Arbeit basierte, und manipulierte sogar das Veröffentlichungsdatum, um es so erscheinen zu lassen, als hätte er es vor seinem Sohn veröffentlicht.
In den ehrwürdigen Hallen der Universität Basel, wo die Flüstern von Jahrhunderten alter Gelehrsamkeit in der Luft hängen, entfaltete sich ein Drama, das eher einem königlichen Machtkampf als einer wissenschaftlichen Diskussion ähnelte. Im Zentrum dieses Dramas standen zwei Brüder – Johann und Jacob Bernoulli. Beide waren von der Faszination der Mathematik ergriffen und teilten eine unstillbare Leidenschaft für dieses Fach. Doch trotz dieser gemeinsamen Leidenschaft war ihre Beziehung geprägt von einer Rivalität, die an Intensität kaum zu überbieten war.
Johann, der jüngere der beiden, kämpfte ständig mit dem Schatten seines älteren Bruders Jacob. Während Jacob die angesehene Position eines Professors an der renommierten Universität Basel innehatte, fühlte Johann, dass er immer in dessen Fußstapfen trat. Diese interne Rivalität trieb sie oft dazu, sich in ihrer Arbeit zu übertreffen, wobei jeder darauf bedacht war, den anderen zu übertrumpfen. Dieser Wettbewerb zwischen ihnen erreichte oft eine solche Intensität, dass er die Grenzen der Brüderlichkeit überschritt und mehr an eine erbitterte Feindschaft erinnerte.
Das Schicksal, so unvorhersehbar wie es ist, führte dazu, dass Jacob früh an Tuberkulose starb, einer der gefürchtetsten Krankheiten jener Zeit. Sein plötzlicher Tod hinterließ eine Lücke an der Universität Basel, eine Lücke, die Johann nur allzu bereitwillig ausfüllte. Als neuer Mathematikprofessor fand er sich jedoch in einer weiteren Rivalität wieder, diesmal jedoch nicht mit einem Bruder, sondern mit seinem eigenen Sohn, Daniel. In einer beispiellosen Wendung der Ereignisse veröffentlichte Johann ein Werk, das eindeutig auf den Forschungen seines Sohnes basierte, und manipulierte sogar das Veröffentlichungsdatum, um den Anschein zu erwecken, er hätte es zuerst geschrieben.
Dieses Familiendrama, das sich in den Hallen der Universität Basel abspielte, zeigt, dass selbst in der Welt der Wissenschaft und Mathematik menschliche Emotionen und Rivalitäten eine zentrale Rolle spielen können. Es ist eine Geschichte von Ehrgeiz, Neid und dem ewigen Streben nach Anerkennung, die die Bernoullis für immer in den Annalen der Mathematikgeschichte verankert hat.
Die belebten Korridore der Universität Basel waren Zeugen vieler Triumphe und Enttäuschungen im Laufe der Jahre. Aber wenige waren so persönlich und stichhaltig wie die Auseinandersetzung zwischen Johann Bernoulli und seinem eifrigen Studenten, Guillaume de l’Hôpital. Bernoulli, ein brillanter Mathematiker, der in den Schatten seiner Familiendynamik trat, fand sich plötzlich in einem unerwarteten Kampf um Anerkennung mit jemandem, den er einst unterrichtet und beeinflusst hatte.
Johanns Vorlesungen waren voller Innovationen und Entdeckungen, die die mathematische Gemeinschaft in Erstaunen versetzten. Eine solche Entdeckung war die Regel für den Ausdruck 0 ÷ 0, eine Rechenherausforderung, die Mathematiker seit Jahrhunderten plagte. Bernoulli stellte nicht nur fest, dass 0 ÷ 0 weder Null, noch Eins, noch unendlich ist, sondern erklärte es als “unbestimmt”. Eine Revolution in der Art und Weise, wie die Mathematik solche Probleme betrachtete.
Doch das Glück lächelte Bernoulli nicht lange. Zu seiner Überraschung veröffentlichte sein eigener Schüler, de l’Hôpital, ein Buch, das im Wesentlichen aus Johanns Vorlesungen bestand, und beanspruchte die Erkenntnisse als seine eigenen. Dieser Akt des Verrats war für Bernoulli ein schwerer Schlag, nicht nur, weil er das Recht verlor, für seine eigene Entdeckung anerkannt zu werden, sondern auch, weil er von jemandem betrogen wurde, den er als Schüler geschätzt hatte.
Bis heute trägt diese Regel, die in zahlreichen Mathematikkursen weltweit gelehrt wird, den Namen l’Hôpitals. Bernoullis Beitrag bleibt im Schatten, ein stilles Zeugnis für die Tücken von Rivalität, Ehrgeiz und der verzehrenden Suche nach ewiger Anerkennung in der wissenschaftlichen Gemeinschaft.
Die Gassen von Basel waren gefüllt mit dem Flüstern von Intrigen und Geschichten über die Bernoulli-Brüder. Diese beiden Mathematiker, bekannt für ihre Rivalität und oft feindseligen Interaktionen, waren dennoch unbestreitbar brillant in ihrem Fach. Sie verband ein seltsames Paradoxon: Obwohl sie oft in einem Wettbewerb miteinander standen, war es genau diese Konkurrenz, die sie antrieb, immer weiter zu forschen und zu entdecken.
Die Begegnung der Bernoulli-Brüder mit Gottfried Leibniz, einem der Pioniere des Infinitesimalrechnung, war ein Wendepunkt in ihrer wissenschaftlichen Karriere. Durch diesen Austausch erkannten sie das immense Potential und die Schönheit dieses neuen mathematischen Gebietes. Anstatt es nur als theoretisches Konstrukt zu betrachten, sahen die Brüder praktische Anwendungen für den Infinitesimalrechnung in zahlreichen Problembereichen.
Der Austausch und die Inspiration, die sie durch ihre Gespräche mit Leibniz gewannen, führten dazu, dass sie nicht nur Meister der Infinitesimalrechnung wurden, sondern auch zu dessen leidenschaftlichen Botschaftern. Sie vermittelten ihr Wissen an andere Mathematiker und spielten eine entscheidende Rolle dabei, den Infinitesimalrechnung zu einem Grundpfeiler der Mathematik zu machen, wie wir sie heute kennen.
So bleibt das Erbe der Bernoulli-Brüder ein faszinierendes Zeugnis dafür, wie persönliche Rivalität und professionelle Brillanz nebeneinander existieren können, und wie aus Konflikten oft die größten Entdeckungen hervorgehen.
Die brachistochrone Kurve
In den geheimen Kammern und Hörsälen Europas entfachte ein spezielles Problem die Neugier vieler Gelehrter: Wie sollte eine Rampe gestaltet sein, um einen Ball in kürzester Zeit von oben nach unten rollen zu lassen? Es war nicht nur eine Frage der Physik, sondern auch ein Rätsel, das den wachsenden Einfluss des Infinitesimalrechnung auf das tägliche Leben zeigte.
Johann Bernoulli, getrieben von seinem unersättlichen Wunsch nach Erkenntnis und teilweise von dem Wunsch, seinem Bruder Jacob zu zeigen, dass er auf eigenen Beinen stehen konnte, wandte sich diesem Problem zu. Er wollte mehr als nur die Lehren von Leibniz wiederholen; er wollte etwas beitragen, das seinen eigenen Namen tragen würde.
Nach intensiven Berechnungen und Überlegungen kam er zu einer verblüffenden Erkenntnis. Ein gerader Abhang oder eine Kurve mit extrem steilem Anfang waren nicht die schnellsten Wege nach unten. Stattdessen entdeckte er die brachistochrone Kurve, eine Art umgekehrter Zyklode, die dem Pfad ähnelt, den ein Punkt auf einem sich bewegenden Fahrradrad folgt.
Dieser Durchbruch war mehr als nur eine akademische Übung. Es zeigte die Fähigkeit der Mathematik, praktische und oft unerwartete Lösungen für reale Probleme zu bieten. Und obwohl die Bernoulli-Brüder oft als Rivalen angesehen wurden, war es ihre kollektive Leidenschaft und ihr Engagement, die dazu beitrugen, solch bahnbrechende Entdeckungen in der Welt der Mathematik zu machen.
Die Bernoulli-Brüder, getrieben von einer unersättlichen Neugier und einem Talent, das seinesgleichen suchte, schafften es nicht nur, die Infinitesimalrechnung zu meistern, sondern sie auch zu erweitern. Dies führte zur Entstehung der Variationsrechnung, einer Verallgemeinerung des Infinitesimalrechnung. Das Spektrum ihrer Anwendung ist beeindruckend: Von der Ingenieurskunst über die Finanzinvestition bis hin zur Raumfahrt hat diese Rechenart ihre Spuren hinterlassen.
Es ist bemerkenswert, dass die Brüder nicht nur mathematische Rätsel um des Rätsels willen betrachteten. Sie wandten ihre Erkenntnisse auf praktische, alltägliche Herausforderungen an. Ein eindrucksvolles Beispiel dafür ist die Bestimmung der Katenerkurve. Stellen Sie sich eine Kette vor, die locker zwischen zwei Pfosten hängt. Welche Form nimmt sie an? Diese scheinbar einfache Frage stellte Jacob seinem Bruder Johann, und es war Johann, der mit einer mathematischen Darstellung dieser einzigartigen Kurve aufwarten konnte.
Die Bernoulli-Brüder haben nicht nur ihre eigenen Kenntnisse und Fähigkeiten erweitert, sondern sie haben auch eine Plattform für künftige Generationen von Mathematikern und Wissenschaftlern geschaffen. Ihre Arbeit ebnete den Weg für die praktische Anwendung der Mathematik in vielen unterschiedlichen Bereichen unseres Lebens. Es ist eine Erinnerung daran, dass der Wettbewerb, auch wenn er manchmal persönlich ist, oft zu den größten Entdeckungen führt.
Jacob Bernoullis beeindruckendes Erbe
Jacob Bernoulli, ein herausragender Kopf seiner Zeit, hinterließ ein Vermächtnis, das weit über seine eigenen Generation hinausreicht. Sein Buch „Die Kunst der Vermutung“, welches erst nach seinem Tod veröffentlicht wurde, repräsentiert eine beeindruckende Konsolidierung und Erweiterung des damaligen Wissensstandes zur Wahrscheinlichkeitstheorie und den erwarteten Werten. Es geht aber weit über eine bloße Sammlung hinaus: Bernoulli verewigte sich mit eigenen bahnbrechenden Theorien, etwa im Bereich der Permutationen und Kombinationen oder der nach ihm benannten Bernoulli-Verteilung.
In seinen Schriften trug er zudem maßgeblich zur Theorie der transzendenten Kurven bei und ebnete den Weg für die spätere Lösung separierbarer Differentialgleichungen – eine Kategorie von Gleichungen, die nach ihm benannt wurde.
Seine Neugier kannte keine Grenzen. Mit der Einführung von Polarkoordinaten revolutionierte er die Art und Weise, wie wir über Positionen im Raum nachdenken. Und er war es auch, der das Wort „Integral“ prägte, um den Bereich unter einer Kurve zu beschreiben. Seine Werke und Entdeckungen, ein Kaleidoskop der mathematischen Genialität, beeinflussen und inspirieren noch heute Mathematiker auf der ganzen Welt.
In der Welt der Mathematik gibt es wenige Zahlen, die so mysteriös und doch so allgegenwärtig sind wie die Zahl ee. Jacob Bernoulli, immer auf der Suche nach neuen mathematischen Wahrheiten, stolperte bei seinen Untersuchungen über den Zinseszins auf diese bemerkenswerte Konstante.
Sein Gedankenexperiment begann mit einer einfachen Frage: Was würde passieren, wenn man einen Euro zu 100% Zinsen verleiht, aber die Zinsen immer häufiger addiert? Bei jährlicher Zinseszinsberechnung ergibt sich nach einem Jahr ein Betrag von 2,00€. Wird jedoch halbjährlich verzinst, wächst die Summe auf 2,44€; bei monatlicher Verzinsung auf 2,69€. Bei einer täglichen Zinsberechnung tendiert die Summe schließlich gegen den Wert von 2,7182818…, welcher später als die Zahl e bekannt wurde.
Algebraisch ausgedrückt, nähert sich dieser Wert der unendlichen Reihe
(1 + 1⁄1)1.(1 + 1⁄2)2.(1 + 1⁄3)3.(1 + 1⁄4)4…
an. Dieser tiefe Einblick in die Mathematik hat nicht nur das Verständnis von Zinseszinsen verändert, sondern ist auch ein Schlüsselstein für viele andere Bereiche der Mathematik und Physik geworden.
In einer bemerkenswerten Abfolge von Generationen setzten die Nachkommen Johann Bernoullis das Familienvermächtnis der mathematischen Exzellenz fort. Unter ihnen ragt besonders Daniel Bernoulli hervor. Sein Name ist untrennbar mit der Welt der Physik verbunden, insbesondere mit der Mechanik der Flüssigkeiten. Viele von uns sind mit dem Bernoulli-Prinzip vertraut, einem grundlegenden Konzept, das die umgekehrte Beziehung zwischen Geschwindigkeit und Druck eines Fluids oder Gases beschreibt. Dieses Prinzip spielt eine zentrale Rolle in vielen technischen Anwendungen und ist bis heute ein Eckpfeiler der Aerodynamik.
Aber Daniels Beiträge beschränkten sich nicht nur auf die Physik. Er leistete auch bedeutende Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und zur Statistik, die sich nahtlos in das Familienvermächtnis der Bernoullis einfügten.
Auch die anderen Nachkommen Johanns – Nicolaus, Johann II und später Jacob II und Johann III – haben ihre eigenen Spuren in der Mathematik hinterlassen und sich als talentierte Mathematiker und Pädagogen einen Namen gemacht. Durch ihre Arbeit festigten sie den Ruf der Bernoullis als eine der bedeutendsten Mathematikfamilien der Geschichte.