Jakob und Johann Bernoulli

Jakob I. Bernoulli (1655–1705) und sein jüngerer Bruder Johann I. Bernoulli (1667–1748) waren Mathematiker aus Basel und die ersten bedeutenden Vertreter der bekanntesten Gelehrtenfamilie der Mathematikgeschichte. In den 1680er-Jahren erarbeiteten sie sich die neue Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz, bauten sie zu einem leistungsfähigen Werkzeug aus und lösten damit berühmte Aufgaben wie die Kettenlinie und die Brachistochrone. Jakob machte mit seiner Ars Conjectandi die Wahrscheinlichkeitsrechnung zu einer mathematischen Theorie, Johann wurde der Lehrer Leonhard Eulers.

Die Brüder waren ebenso begabt wie streitbar. Ihre öffentlich ausgetragene Rivalität, Johanns Konflikt mit seinem Sohn Daniel und die Geschichte um die Regel von de l’Hospital gehören zu den bekanntesten Episoden der Wissenschaftsgeschichte. Dieser Artikel stellt beide Brüder vor, erklärt ihre wichtigsten Ergebnisse und wirft einen Blick auf die nächste Generation, vor allem auf Daniel Bernoulli.

Herkunft: eine Basler Kaufmannsfamilie

Die Bernoullis stammten aus Antwerpen. Als Protestanten hatten die Vorfahren im späten 16. Jahrhundert die Spanischen Niederlande verlassen und kamen über Frankfurt am Main Anfang des 17. Jahrhunderts nach Basel. Der Vater der beiden Mathematiker, Nikolaus Bernoulli (1623–1708), führte ein erfolgreiches Gewürzgeschäft und saß im Rat der Stadt. Für seine Söhne hatte er feste Pläne: Jakob sollte Theologe werden, Johann Kaufmann.

Beide Söhne setzten sich über diese Pläne hinweg. Jakob studierte pflichtgemäß Philosophie und Theologie, beschäftigte sich aber heimlich mit Mathematik und Astronomie. Als persönlichen Wahlspruch wählte er „Invito patre sidera verso“: „Gegen den Willen des Vaters wende ich mich den Sternen zu“. Johann arbeitete mit 15 Jahren ein Jahr lang im Gewürzhandel, zeigte dafür aber keinerlei Neigung und durfte 1683 an die Universität.

Jakob Bernoulli: vom Theologen zum Professor der Mathematik

Jakob erwarb 1671 den Magistergrad in Philosophie und 1676 das theologische Lizentiat. Danach ging er auf Reisen, wie es für junge Gelehrte üblich war: Er arbeitete als Hauslehrer in Genf, verbrachte zwei Jahre in Frankreich, wo er die Philosophie und Mathematik der Anhänger Descartes’ kennenlernte, und reiste 1681/82 in die Niederlande und nach England. Dort traf er unter anderem Robert Boyle und Robert Hooke. Unter dem Eindruck des großen Kometen von 1680 veröffentlichte er eine Schrift über Kometenbahnen.

Zurück in Basel hielt Jakob ab 1683 Vorlesungen über Experimentalphysik und Mechanik. 1687 wurde er Professor der Mathematik an der Universität Basel und blieb es bis zu seinem Tod. In diesen Jahren unterrichtete er auch seinen zwölf Jahre jüngeren Bruder, der offiziell Medizin studierte. Jakob starb am 16. August 1705 im Alter von 50 Jahren in Basel. Sein Grabmal im Kreuzgang des Basler Münsters erinnert an eine seiner Lieblingskurven.

Johann Bernoulli: Medizin, Paris, Groningen und Basel

Johann erwarb 1685 den Magistergrad und wandte sich der Medizin zu, lernte aber unter Jakobs Anleitung vor allem Mathematik. Seine medizinische Doktorarbeit von 1694 über die Bewegung der Muskeln war zugleich eine Übung in Infinitesimalrechnung. 1691/92 hielt er sich in Paris auf, wo er in den Kreisen um den Philosophen Nicolas Malebranche großes Aufsehen erregte. Dort gab er dem Marquis Guillaume de l’Hospital Privatunterricht in der neuen Analysis, eine Verbindung mit Folgen.

1695 erhielt Johann auf Empfehlung von Christiaan Huygens eine Professur für Mathematik im niederländischen Groningen. Zehn Jahre später kehrte er mit seiner Familie nach Basel zurück, wo man ihm eigentlich einen Lehrstuhl für Griechisch zugedacht hatte. Im selben Jahr starb Jakob, und Johann übernahm dessen Professur, die er mehr als vier Jahrzehnte innehatte. Er wurde zum gefragtesten Lehrer Europas: Zu seinen Schülern gehörten seine Söhne, sein Neffe Nikolaus I. Bernoulli und vor allem der junge Leonhard Euler, dem er in den 1720er-Jahren regelmäßig an Samstagen Fragen beantwortete. Johann starb am 1. Januar 1748 in Basel. Sein Grabstein nennt ihn den „Archimedes seines Zeitalters“.

Die Brüder als Wegbereiter der Leibnizschen Analysis

1684 veröffentlichte Gottfried Wilhelm Leibniz seine erste Arbeit zur Differentialrechnung, einen knappen, fast beweislosen Aufsatz in der Leipziger Zeitschrift Acta Eruditorum. Die Bernoulli-Brüder gehörten zu den ganz wenigen, die damit etwas anfangen konnten. Jakob schrieb Leibniz 1687 einen Brief mit Fragen, doch Leibniz war auf einer langen Archivreise und antwortete erst 1690. Bis dahin hatten sich die Brüder die Methode weitgehend selbst erschlossen.

Ab 1690 entstand ein intensiver Briefwechsel zwischen Leibniz und den beiden Baslern, in dem die Analysis in wenigen Jahren erwachsen wurde. Im Mai 1690 veröffentlichte Jakob die Lösung eines Problems über die sogenannte Isochrone und verwendete dabei erstmals im Druck das Wort Integral. Johann vermittelte die Methode in Genf, Paris und Groningen weiter. Die Brüder machten aus Leibniz’ Andeutungen ein Werkzeug, mit dem sich Kurven, Bewegungen und Kräfte berechnen ließen. Im Prioritätsstreit zwischen Leibniz und Isaac Newton stand Johann später entschieden auf Leibniz’ Seite.

Die Kettenlinie (1690/91)

Welche Form nimmt eine Kette an, die zwischen zwei Haken frei durchhängt? Galileo Galilei hatte 1638 vermutet, dass sie ungefähr einer Parabel folgt; Joachim Jungius zeigte, dass sie keine Parabel sein kann. Im Mai 1690 stellte Jakob Bernoulli die Frage öffentlich in den Acta Eruditorum. Im Juni 1691 erschienen drei richtige Lösungen: von Johann Bernoulli, von Leibniz und von Christiaan Huygens. Jakob selbst hatte keine gefunden. Johann erzählte noch Jahrzehnte später voller Stolz, sein Bruder habe sich vergeblich an der Aufgabe abgemüht, während er sie in einer Nacht gelöst habe; das ist allerdings nur seine eigene Darstellung.

Die Kurve heißt heute Kettenlinie. In moderner Schreibweise, mit dem erst im 18. Jahrhundert eingeführten Kosinus hyperbolicus, lautet ihre Gleichung:

Die Lösungen von 1691 waren geometrische Konstruktionen mithilfe der logarithmischen Kurve; die Hyperbelfunktionen untersuchten erst Vincenzo Riccati und Johann Heinrich Lambert. Umgedreht ergibt die Kettenlinie die ideale Form eines Bogens, der unter seinem Eigengewicht nur auf Druck belastet wird. Der Architekt Antoni Gaudí entwarf Gewölbe mit hängenden Kettenmodellen.

Die Brachistochrone (1696/97) und der Beginn der Variationsrechnung

Im Juni 1696 forderte Johann Bernoulli in den Acta Eruditorum die Mathematiker Europas heraus: Gegeben sind zwei Punkte A und B, wobei B tiefer liegt, aber nicht senkrecht unter A. Auf welcher Bahn rollt oder gleitet eine Kugel nur unter dem Einfluss der Schwerkraft und ohne Reibung am schnellsten von A nach B? Die gesuchte Kurve heißt Brachistochrone, von griechisch brachistos chronos, „kürzeste Zeit“.

Die gerade Strecke ist zwar der kürzeste Weg, aber nicht der schnellste. Günstiger ist eine Bahn, die steil beginnt, damit die Kugel früh Tempo aufnimmt. Auf Leibniz’ Bitte verlängerte Johann die Frist bis Ostern 1697 und verschickte die Aufgabe zusätzlich als Flugblatt. Neben Johanns eigener Lösung gingen Lösungen von Jakob, Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, l’Hospital und, anonym, von Newton ein. Newton soll die Aufgabe nach dem Bericht seiner Nichte an einem einzigen Abend gelöst haben. Johann erkannte den Verfasser trotzdem, „wie den Löwen an seiner Klaue“, so seine berühmte Bemerkung.

Johanns Lösung war besonders elegant. Er nutzte eine Analogie zur Optik: Licht wählt nach dem Prinzip von Pierre de Fermat immer den schnellsten Weg und wird beim Übergang in ein anderes Medium gebrochen. Johann dachte sich den Raum in dünne Schichten zerlegt, in denen die Kugel immer schneller wird, und wandte das Brechungsgesetz an; heraus kam die Zykloide. Jakobs Lösung war schwerfälliger, aber allgemeiner. Sie zeigte, wie man Kurven findet, die eine Größe wie Zeit, Länge oder Fläche möglichst klein oder groß machen.

Aus solchen Aufgaben entstand die Variationsrechnung. Jakob stellte 1697 seinerseits ein schwierigeres „isoperimetrisches“ Problem, also eine Extremwertaufgabe für Kurven gegebener Länge. Johanns Lösung war fehlerhaft, Jakobs eigene, 1701 veröffentlichte Lösung richtig. Den allgemeinen Kalkül schufen später Euler und Joseph-Louis Lagrange; heute steckt er in der Physik, der Optimierung und der Steuerung technischer Systeme.

Johann Bernoulli und die Regel von de l’Hospital

Nach seiner Rückkehr aus Paris bot l’Hospital Johann 1694 einen ungewöhnlichen Vertrag an: Gegen eine jährliche Zahlung von 300 Livres sollte Johann ihm seine neuen Ergebnisse mitteilen und sie nicht anderweitig veröffentlichen. Johann nahm an. 1696 erschien l’Hospitals Analyse des infiniment petits, das erste Lehrbuch der Differentialrechnung. Es beruhte weitgehend auf Johanns Unterricht und enthielt eine Regel für Grenzwerte von Brüchen, bei denen Zähler und Nenner gleichzeitig gegen null gehen:

Im Vorwort dankte l’Hospital Leibniz und den Bernoullis, besonders dem „Jüngeren, jetzt Professor in Groningen“. Als Johann nach l’Hospitals Tod 1704 die Regel für sich beanspruchte, glaubten ihm viele nicht. Erst 1922 fand man in Basel eine Abschrift seiner Pariser Vorlesung von 1691/92, und die 1955 veröffentlichten Briefe belegen den Vertrag. Die Regel heißt trotzdem bis heute nach l’Hospital.

Jakob Bernoullis Ars Conjectandi

Rund zwanzig Jahre arbeitete Jakob an einem Buch über die „Kunst des Vermutens“. Als er starb, war es unvollendet. Sein Neffe Nikolaus I. Bernoulli gab es 1713 in Basel heraus. Die Ars Conjectandi hat vier Teile: einen kommentierten Nachdruck von Huygens’ Abhandlung über Glücksspiele von 1657, die auf den Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Fermat zurückging, eine Lehre von Permutationen und Kombinationen, Anwendungen auf Glücksspiele und schließlich, als Neuerung, die Anwendung der Wahrscheinlichkeit auf „bürgerliche, moralische und wirtschaftliche“ Fragen.

Bernoulli-Zahlen und Potenzsummen

Im zweiten Teil gibt Jakob eine allgemeine Formel für Summen gleicher Potenzen an, also für 1^m + 2^m + … + n^m. Für m = 1 ist das bekannte n(n + 1)/2, für m = 2 ergibt sich n(n + 1)(2n + 1)/6. In den Formeln für höhere Potenzen tauchen immer wieder dieselben Bruchzahlen auf: 1/6, −1/30, 1/42, −1/30 und so weiter. Sie heißen heute Bernoulli-Zahlen. Jakob war sichtlich stolz auf seine Methode: Die Summe der zehnten Potenzen der Zahlen von 1 bis 1.000 habe er in weniger als einer halben Viertelstunde berechnet. Sie beträgt 91.409.924.241.424.243.424.241.924.242.500, und das Ergebnis stimmt. Ähnliche Formeln hatte schon der Ulmer Rechenmeister Johann Faulhaber gefunden, in Japan entdeckte Seki Takakazu die Zahlen unabhängig von Jakob.

Das Gesetz der großen Zahlen

Der vierte Teil enthält das Ergebnis, das Jakob sein „goldenes Theorem“ nannte. Er fragte: Wenn man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nicht kennt, kann man sie dann aus beobachteten Häufigkeiten erschließen? Seine Antwort: Bei hinreichend vielen unabhängigen Versuchen liegt die relative Häufigkeit h_n mit beliebig großer Sicherheit beliebig nahe an der Wahrscheinlichkeit p. Modern formuliert gilt für jede noch so kleine Abweichung ε > 0:

Jakob rechnete auch ein Beispiel: Eine Urne enthält 3.000 weiße und 2.000 schwarze Steine, die Wahrscheinlichkeit für Weiß ist also 3/5. Um „moralisch sicher“ zu sein, nach seiner Festlegung mit einer Chance von 1000 zu 1, dass die beobachtete Häufigkeit um höchstens 1/50 von 3/5 abweicht, seien 25.550 Ziehungen mit Zurücklegen nötig. Diese Abschätzung war sehr vorsichtig; Abraham de Moivre verbesserte sie 1733 mit einer Näherung, aus der die Normalverteilung hervorging. Den Namen „Gesetz der großen Zahlen“ prägte Siméon Denis Poisson erst 1835.

Die Zahl e und der Zinseszins

Um 1683 beschäftigte Jakob eine Frage aus dem Geldverkehr. Angenommen, ein Kapital von 1 Taler wird ein Jahr lang zu 100 Prozent verzinst. Werden die Zinsen einmal am Jahresende gutgeschrieben, erhält man 2 Taler. Was passiert, wenn man das Jahr in n gleiche Abschnitte teilt und die Zinsen jeweils sofort mitverzinst? Dann wächst das Kapital auf (1 + 1/n)ⁿ.

Jakob erkannte, dass der Betrag trotz immer häufigerer Verzinsung nicht über alle Grenzen wächst: Er zeigte, dass der Grenzwert zwischen 2,5 und 3 liegt. Der Grenzwert ist die Zahl, die Euler später e nannte und deren Wert er auf viele Stellen berechnete:

Die Zahl e ist heute die Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion, mit der man Wachstum und Zerfall beschreibt.

Weitere Leistungen: Lemniskate, Spiralen, Reihen und Differentialgleichungen

• Lemniskate (1694): Jakob untersuchte die liegende Acht, deren Punkte von zwei festen Punkten (±a | 0) Abstände mit dem konstanten Produkt a² haben. Ihre Gleichung lautet (x² + y²)² = 2a²(x² − y²).
• Logarithmische Spirale: Jakob nannte sie spira mirabilis, die „wunderbare Spirale“, weil sie bei Vergrößerung, Spiegelung und anderen Umformungen wieder in sich selbst übergeht. Er wünschte sie sich mit dem Spruch „Eadem mutata resurgo“ („Verwandelt erstehe ich als dieselbe wieder“) auf seinen Grabstein.
• Polarkoordinaten: Jakob gehörte 1691 zu den Ersten, die Punkte im Druck durch Abstand und Winkel beschrieben; Newton hatte das in unveröffentlichten Notizen schon früher getan.
• Unendliche Reihen: 1689 veröffentlichte Jakob einen Beweis Johanns dafür, dass die harmonische Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + … über alle Grenzen wächst; einen ersten Beweis hatte schon Nikolaus von Oresme im 14. Jahrhundert gegeben. Zugleich fragte Jakob nach dem Wert von 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … Dieses „Basler Problem“ löste erst Euler 1735: Die Summe ist π²/6.
• Bernoullische Differentialgleichung (1695): Gleichungen der Form y′ + P(x) · y = Q(x) · yⁿ lassen sich durch eine Substitution in lineare Gleichungen verwandeln; Leibniz und Jakob lösten sie 1696.
• Johanns Exponentialrechnung (1697): Johann zeigte, wie man Funktionen wie a^x oder x^x differenziert, und definierte 1718 den Begriff der Funktion als eine aus Variablen und Konstanten beliebig zusammengesetzte Größe.

Rivalität: Bruderstreit und Vater-Sohn-Konflikt

Anfangs arbeiteten die Brüder eng zusammen. Mit Johanns Erfolgen in Paris und Groningen wuchs die Spannung: Johann fühlte sich als ebenbürtig, Jakob sah in ihm weiterhin seinen Schüler. Ab 1697 trugen sie ihren Streit um das isoperimetrische Problem offen in Fachzeitschriften aus, mit spöttischen Bemerkungen und Wettangeboten. Versöhnt haben sie sich nicht mehr. Für die Mathematik war die Konkurrenz allerdings fruchtbar, denn jeder versuchte, den anderen mit schwierigeren Aufgaben zu übertreffen.

Ähnlich schwierig war Johanns Verhältnis zu seinem Sohn Daniel. 1734 teilten sich Vater und Sohn einen Preis der Pariser Akademie. Der Überlieferung nach ertrug Johann den Vergleich so schlecht, dass er Daniel aus dem Haus wies. Später veröffentlichte Johann eine eigene Hydraulica, datierte sie auf 1732 zurück und erweckte so den Eindruck, er sei mit seinen Ergebnissen vor Daniels Hydrodynamica von 1738 fertig gewesen. Tatsächlich erschien die Hydraulica erst 1742 in seinen gesammelten Werken.

Daniel Bernoulli und die nächste Generation

Daniel Bernoulli (1700–1782), Johanns zweiter Sohn, kam in Groningen zur Welt und wurde der bekannteste Bernoulli der zweiten Mathematikergeneration. Auch er sollte nach dem Willen des Vaters zunächst Kaufmann werden und studierte dann Medizin. Von 1725 bis 1733 wirkte er an der neuen Akademie in Sankt Petersburg und holte 1727 seinen Freund Euler dorthin. Danach lehrte er in Basel Anatomie und Botanik, später Physiologie und Physik. Zehnmal gewann er einen Preis der Pariser Akademie.

In der Hydrodynamica (1738) beschrieb Daniel den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Druck in strömenden Flüssigkeiten: Wo eine Flüssigkeit schneller fließt, ist ihr Druck geringer. Die heute übliche Bernoulli-Gleichung der Strömungslehre leitete in dieser allgemeinen Form erst Euler her. Im selben Buch erklärte Daniel den Druck eines Gases durch die Stöße unzähliger kleiner Teilchen, ein Grundgedanke der kinetischen Gastheorie. Mit dem Sankt-Petersburg-Paradoxon, einem Münzspiel mit unendlichem Erwartungswert, das sein Cousin Nikolaus I. aufgeworfen hatte, begründete er 1738 die Idee des Nutzens, die bis heute die Wirtschaftswissenschaften prägt. 1760 berechnete er, wie viele Lebensjahre die Pockenimpfung gewinnt, eine der ersten mathematischen Untersuchungen in der Epidemiologie.

Insgesamt brachte die Familie in drei Generationen acht namhafte Mathematiker hervor:

• Jakob I. (1655–1705) und Johann I. (1667–1748), die Brüder dieses Artikels
• Nikolaus I. (1687–1759), Neffe der beiden, Herausgeber der Ars Conjectandi
• Nikolaus II. (1695–1726), Daniel (1700–1782) und Johann II. (1710–1790), die Söhne Johanns I.
• Johann III. (1744–1807) und Jakob II. (1759–1789), die Söhne Johanns II.

Zeitleiste: Jakob und Johann Bernoulli

1. 1655 Jakob wird am 6. Januar in Basel geboren; Johann folgt am 6. August 1667.
2. 1684–1690 Die Brüder erarbeiten sich die Differentialrechnung aus Leibniz’ Aufsatz in den Acta Eruditorum.
3. 1687 Jakob wird Professor der Mathematik in Basel.
4. 1690 Jakob verwendet im Druck das Wort „Integral“ und stellt das Problem der Kettenlinie.
5. 1691 Johann löst die Kettenlinie; 1691/92 unterrichtet er in Paris den Marquis de l’Hospital.
6. 1695 Johann wird Professor in Groningen.
7. 1696 Johann stellt das Brachistochronen-Problem; l’Hospitals Lehrbuch erscheint.
8. 1697 Lösungen der Brachistochrone; Beginn des offenen Bruderstreits um das isoperimetrische Problem.
9. 1705 Jakob stirbt am 16. August; Johann übernimmt seinen Lehrstuhl in Basel.
10. 1713 Die Ars Conjectandi erscheint postum; 1748 stirbt Johann am 1. Januar in Basel.

Bedeutung heute

Im Stochastikunterricht begegnet man Jakob Bernoulli auf Schritt und Tritt. Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen heißt Bernoulli-Experiment, eine Folge unabhängiger Wiederholungen Bernoulli-Kette, und die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei n Versuchen liefert die Bernoulli-Formel, die Grundlage der Binomialverteilung (mehr dazu auf der Seite Wahrscheinlichkeitsrechnung). Das Gesetz der großen Zahlen erklärt, warum Versicherungen, Meinungsumfragen und die Statistik überhaupt funktionieren.

Die Bernoulli-Zahlen spielen in der Zahlentheorie und in der Analysis eine wichtige Rolle. Ein berühmtes Beispiel: Ada Lovelace beschrieb 1843 als Beispiel für ein Programm der geplanten Analytical Engine die Berechnung von Bernoulli-Zahlen. Die Regel von de l’Hospital steht in jedem Lehrbuch der Analysis, die Variationsrechnung bildet die Grundlage der theoretischen Physik und der Optimierung, und Daniels Strömungslehre ist aus der Technik nicht wegzudenken. Nicht zuletzt förderte Johann Bernoulli den jungen Leonhard Euler, den produktivsten Mathematiker des 18. Jahrhunderts.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Jakob Bernoulli: Wahrscheinlichkeitsrechnung (Ars conjectandi), übersetzt und herausgegeben von R. Haussner, Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 107 und 108, Wilhelm Engelmann, Leipzig 1899.
• Jacob Bernoulli: The Art of Conjecturing, übersetzt und kommentiert von Edith Dudley Sylla, Johns Hopkins University Press, Baltimore 2006.
• Otto Spiess (Hrsg.): Der Briefwechsel von Johann Bernoulli, Band 1, Birkhäuser, Basel 1955.
• MacTutor History of Mathematics: Jacob Bernoulli (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Johann Bernoulli (englisch)
• MacTutor History of Mathematics: Daniel Bernoulli (englisch)