Heron von Alexandria

Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker und Ingenieur, der vermutlich im 1. Jahrhundert n. Chr. in Alexandria lehrte. Bekannt ist er für die Heronsche Formel, mit der man die Fläche eines Dreiecks allein aus den drei Seiten berechnet, für ein schnelles Verfahren zum Wurzelziehen und für Maschinen, die mit Dampf, Luft und Wasser arbeiten. Er schrieb keine Beweisbücher im Stil Euklids, sondern Anleitungen für die Praxis, gedacht für Landvermesser, Baumeister und Mechaniker.

Über sein Leben ist fast nichts bekannt. Eine Datierung gelingt nur über eine Mondfinsternis, die er in seiner Dioptra erwähnt. Sie passt zur Finsternis vom 13. März 62 n. Chr. in Alexandria, wie Otto Neugebauer 1938 bemerkte. Heron muss also um diese Zeit gewirkt haben. Zuvor schwankten die Schätzungen zwischen 150 v. Chr. und 250 n. Chr.

Leben und Werke

Herons Schriften lesen sich wie Handbücher für Praktiker. Unter seinem Namen sind unter anderem erhalten:

• Metrika: Berechnung von Flächen und Körpern in drei Büchern, mit Dreiecksformel und Wurzelverfahren
• Pneumatika: Geräte, die durch Luft, Dampf und Wasserdruck arbeiten
• Automatopoietika: Beschreibung selbstbewegter Figuren und eines Puppentheaters
• Dioptra: ein Visiergerät für die Landvermessung samt Aufgaben, etwa einen Tunnel durch einen Berg von beiden Seiten zu graben
• Mechanika, Katoptrika (Spiegel) und Belopoiika (Wurfgeschütze)

Bei anderen Texten wie den Geometrika und Stereometrika ist unklar, wie viel von Heron stammt, denn spätere Bearbeiter haben sie verändert. Die Metrika kannte man über Jahrhunderte nur aus Andeutungen. Richard Schöne fand sie 1896 in einer Handschrift in Konstantinopel, sein Sohn Hermann Schöne gab sie 1903 heraus.

Die Heronsche Formel: Dreiecksfläche aus drei Seiten

Normalerweise berechnet man die Fläche eines Dreiecks als „Grundseite mal Höhe geteilt durch zwei“, und dafür muss man die Höhe kennen. Heron zeigt in den Metrika, dass die drei Seitenlängen a, b und c genügen. Man bildet zuerst den halben Umfang s = (a + b + c) / 2. Dann gilt:

Ob Heron die Formel selbst fand, ist unklar. Der Mathematikhistoriker Thomas Heath hielt es für möglich, dass schon Archimedes sie kannte. Sicher ist, dass die Metrika den ältesten erhaltenen Beweis enthalten. Unabhängig davon fand im 13. Jahrhundert Qin Jiushao in China eine gleichwertige Formel.

Wurzeln ziehen mit dem Heron-Verfahren

Die Formel führt oft auf Wurzeln, die nicht aufgehen. Ein Dreieck mit den Seiten 7, 8 und 9 hat den halben Umfang 12 und die Fläche √(12 · 5 · 4 · 3) = √720. Heron rechnet so: Die nächste Quadratzahl ist 729 = 27². Er teilt 720 durch 27 und erhält 26⅔, addiert 27 zu 53⅔ und halbiert: 26⅚, also etwa 26,83. Zur Kontrolle: (26⅚)² = 720 1/36, das Ergebnis ist nur um 1/36 zu groß.

Allgemein sucht man für eine Zahl a die Wurzel. Man rät einen Startwert x und verbessert ihn mit dieser Regel:

Die Idee dahinter: Gesucht ist die Seite eines Quadrats mit der Fläche a. Ein Rechteck mit den Seiten x und a/x hat dieselbe Fläche. Es ähnelt dem Quadrat umso mehr, je besser x schon passt. Nimmt man den Mittelwert beider Seiten, kommt man der gesuchten Quadratseite näher.

Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr mit jedem Schritt. Einen ähnlich guten Wert für √2 kannten schon die Babylonier, wie die Tontafel YBC 7289 zeigt (siehe Sumerische und babylonische Mathematik), deshalb heißt das Verfahren auch babylonisches Wurzelziehen. Es ist ein Spezialfall des später von Newton verallgemeinerten Näherungsverfahrens. Wurzeln im Schulstoff behandelt der Lernbereich Zahlen.

Maschinen und Automaten

Die Pneumatika beschreiben über 100 Geräte, darunter eine Feuerspritze mit Kolbenpumpen, eine Orgel mit Windradantrieb und eine automatische Tempeltür. Sie öffnet sich, wenn auf dem Altar ein Feuer brennt: Die erwärmte Luft drückt Wasser in einen Eimer, dessen wachsendes Gewicht über Seile die Türflügel aufzieht.

Am bekanntesten ist der Heronsball oder die Äolipile: Eine hohle Kugel ist drehbar über einem Kessel mit Wasser befestigt. Der Dampf strömt durch zwei Röhren in die Kugel und tritt aus zwei abgewinkelten Düsen wieder aus. Der Rückstoß dreht die Kugel, ähnlich wie ein Rasensprenger.

Zeitleiste: Heron und seine Schriften

1. 1. Jh. n. Chr. Heron lehrt und schreibt vermutlich in Alexandria.
2. 13. März 62 Mondfinsternis in Alexandria, die Heron in der Dioptra erwähnt.
3. um 300 Pappos nennt Heron als erster erhaltener Autor.
4. 13. Jh. Qin Jiushao formuliert in China eine gleichwertige Dreiecksformel.
5. 1712 Newcomen baut die erste brauchbare Dampfmaschine.
6. 1896 Richard Schöne entdeckt die Metrika in Konstantinopel.
7. 1903 Hermann Schöne veröffentlicht die Metrika in der Teubner-Ausgabe.

Bedeutung heute: Wo uns Heron begegnet

Die Heronsche Formel berechnet in der Landvermessung und in der Computergrafik Dreiecksflächen aus Kantenlängen, ohne dass man Winkel oder Höhen braucht. Das Wurzelverfahren steckt in Varianten in vielen Rechenprogrammen. Die Idee der Äolipile lebt in jedem Rückstoßantrieb weiter, vom Rasensprenger bis zur Rakete. Mehr zur Geometrie des Dreiecks bietet der Lernbereich Geometrie, den historischen Rahmen der Artikel Hellenistische Mathematik.

Häufige Fragen

Wann lebte Heron von Alexandria?

Vermutlich im 1. Jahrhundert n. Chr. Die Mondfinsternis vom 13. März 62, die er in der Dioptra erwähnt, spricht dafür. Genaue Lebensdaten sind unbekannt.

Gilt die Heronsche Formel für jedes Dreieck?

Ja, für jedes Dreieck, ob spitz-, recht- oder stumpfwinklig. Man braucht nur die drei Seitenlängen.

Quellen und weiterführende Literatur

• Hermann Schöne (Hrsg.): Heronis Alexandrini Opera quae supersunt omnia, Band 3: Rationes dimetiendi et commentatio dioptrica, Teubner, Leipzig 1903.
• Fabio Acerbi, Bernard Vitrac: Héron d’Alexandrie, Metrica, Fabrizio Serra, Pisa 2014.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.
• MacTutor History of Mathematics: Heron of Alexandria (englisch)