Hippasos von Metapont

Hippasos von Metapont war ein griechischer Mathematiker, Musiktheoretiker und Philosoph aus dem Kreis der Pythagoreer. Er lebte um 500 v. Chr. in Unteritalien. Ihm werden drei Entdeckungen zugeschrieben: die Konstruktion des Dodekaeders in der Kugel, ein Klangexperiment zu den Zahlenverhältnissen der Musik und vor allem die Inkommensurabilität, also die Erkenntnis, dass Seite und Diagonale eines Quadrats kein gemeinsames Maß besitzen. Damit beginnt die Geschichte der irrationalen Zahlen.

Berühmt ist Hippasos auch für eine Legende: Er soll ein Geheimnis seiner Gemeinschaft verraten haben und zur Strafe im Meer ertrunken sein. Lange galt diese Erzählung als Beleg für eine Krise der Pythagoreer. Heute sehen Fachleute das nüchterner. Von Hippasos selbst ist keine Zeile erhalten, und über sein Leben ist kaum etwas sicher.

Was wir über Hippasos wissen: Quellen und Leben

Hippasos stammte aus Metapont, dem heutigen Metaponto am Golf von Tarent. In dieser Stadt verbrachte Pythagoras seine letzten Lebensjahre, sie war ein Zentrum der pythagoreischen Bewegung. Wann Hippasos geboren wurde und starb, weiß niemand. Auch seine Lehren kennen wir nur aus Berichten anderer. Aristoteles nennt ihn in der Metaphysik zusammen mit Heraklit von Ephesos: Beide hätten das Feuer für den Ursprung der Welt gehalten.

Der spätantike Philosoph Iamblichos (um 300 n. Chr.) berichtet von einer Spaltung der Pythagoreer in „Mathematiker“, die forschten, und „Akusmatiker“, die sich an überlieferte Merksprüche hielten. Hippasos spielt dabei eine Rolle, doch Iamblichos widerspricht sich: Mal erscheint er als Gründer der einen Richtung, mal der anderen. Nach Diogenes Laertios schrieb er nichts, nach einer zweiten Nachricht dagegen ein Buch, mit dem er Pythagoras schlechtmachen wollte.

Manche Forscher vermuten hinter dem Streit weniger Mathematik als Politik. Danach stand Hippasos auf der Seite der Volkspartei, während viele Pythagoreer den alten Adelsfamilien nahestanden. Beweisen lässt sich das nicht. Deutlich wird nur, dass er unter den Pythagoreern eine umstrittene, eigenständige Gestalt war.

Die Entdeckung der Inkommensurabilität

Zwei Strecken heißen kommensurabel, wenn eine gemeinsame Maßeinheit in beide ganzzahlig oft hineinpasst. Strecken von 6 cm und 4 cm haben das gemeinsame Maß 2 cm: Es passt dreimal in die eine und zweimal in die andere, ihr Verhältnis ist 3 : 2. Die Pythagoreer hielten Zahlenverhältnisse für den Schlüssel zur Welt, und lange sah es so aus, als ließen sich je zwei Strecken so vergleichen. Bei Seite und Diagonale eines Quadrats klappt es nicht. Egal wie klein man die Einheit wählt, sie passt nie genau in beide. Heute sagen wir: Die Diagonale ist √2 mal so lang wie die Seite, und √2 ≈ 1,41421… ist keine Bruchzahl.

Wie Hippasos das gezeigt hat, ist nicht überliefert. Ein Beweis mit Zahlen, der p² = 2q² betrachtet, steht auf der Seite über Pythagoras. Hier folgt ein geometrischer Weg, der zum antiken Verfahren der Wechselwegnahme passt: Man zieht die kleinere Strecke von der größeren ab, dann den Rest vom Vorgänger, und so weiter, bis nichts mehr bleibt. Hört das Verfahren nie auf, gibt es kein gemeinsames Maß.

Der Beweis durch unendlichen Abstieg

1. Angenommen, es gäbe ein gemeinsames Maß e. Dann ist s = m · e und d = n · e mit ganzen Zahlen m und n.
2. Die Dreiecke ABE und ADE sind kongruent: Sie teilen AE, haben AB = AD = s und jeweils einen rechten Winkel. Also ist BE = DE.
3. Das Dreieck CDE hat bei D einen rechten und bei C einen 45°-Winkel, ist also wieder gleichschenklig: CD = DE = d − s. Daraus folgt CE = s − (d − s) = 2s − d.
4. Auch d − s und 2s − d sind ganze Vielfache von e, aber kleiner als s und d. Das neue Dreieck hat dieselbe Gestalt, und man kann die Konstruktion beliebig oft wiederholen. Unendlich lange ganze Zahlen kleiner zu machen, ist unmöglich. Also gibt es kein gemeinsames Maß.

Der Historiker Kurt von Fritz vermutete 1945, Hippasos habe die Entdeckung nicht am Quadrat, sondern am regelmäßigen Fünfeck gemacht. Dort wiederholt sich das Abziehen von selbst, weil Seite und Diagonale im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Beweisen lässt sich auch das nicht. Aristoteles kennt den Beweis für das Quadrat jedenfalls als Standardbeispiel eines indirekten Beweises. Später zeigte Theodoros von Kyrene, dass auch √3, √5 und weitere Wurzeln bis √17 irrational sind, und Eudoxos schuf eine Lehre vom Verhältnis, die irrationale Größen einschloss.

Dodekaeder und Klang: zwei weitere Zuschreibungen

Iamblichos berichtet, Hippasos habe als Erster öffentlich gezeigt, wie sich ein Dodekaeder in eine Kugel einbeschreiben lässt. Dieser Körper besteht aus zwölf regelmäßigen Fünfecken, in denen wieder der Goldene Schnitt steckt. Auch die Musik beschäftigte ihn: Er soll vier Bronzescheiben gleichen Durchmessers, aber unterschiedlicher Dicke angeschlagen haben. Die Dicken verhielten sich wie 1 : 1⅓ : 1½ : 2, also wie 6 : 8 : 9 : 12. Daraus ergaben sich Quarte (4 : 3), Quinte (3 : 2) und Oktave (2 : 1).

Zeitleiste: Hippasos und die Folgen

1. um 530 v. Chr. Pythagoras gründet in Kroton die Gemeinschaft, aus der später die Pythagoreer hervorgehen.
2. um 500 v. Chr. Hippasos lebt in Metapont und forscht zu Geometrie und Musik.
3. um 450 v. Chr. Gewaltsame Erhebungen gegen die Pythagoreer in Unteritalien.
4. vor 399 v. Chr. Theodoros von Kyrene zeigt nach Platons Theaitetos die Irrationalität mehrerer Quadratwurzeln.
5. um 350 v. Chr. Aristoteles nennt den Beweis, dass die Diagonale inkommensurabel ist, als Beispiel für einen indirekten Beweis.
6. um 300 v. Chr. Euklid behandelt im zehnten Buch der Elemente inkommensurable Strecken.
7. um 300 n. Chr. Iamblichos schreibt die Legende vom Tod im Meer nieder.
8. 1945 Kurt von Fritz vermutet, Hippasos habe die Inkommensurabilität am Fünfeck entdeckt.

Bedeutung heute: Von √2 zu den reellen Zahlen

Die Entdeckung zeigte erstmals, dass Zahlen mehr sind als Brüche. Wer heute Zahlen ordnet, trifft darauf in jedem Schulbuch: √2, π und viele andere Zahlen sind irrational, ihre Dezimalbrüche brechen nie ab und wiederholen sich nie. Im Alltag begegnet das zum Beispiel beim DIN-Papier, dessen Seiten im Verhältnis 1 : √2 stehen (A4 misst 210 mm × 297 mm, und 297 : 210 ≈ 1,4143). Mathematisch führte der Weg von Euklids Lehre der inkommensurablen Größen in der griechischen Mathematik bis zu Dedekind, der 1872 die reellen Zahlen streng begründete, und zu Cantor, der zeigte, dass sogar „fast alle“ reellen Zahlen irrational sind.

Quellen und weiterführende Literatur

• Kurt von Fritz: The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum. In: Annals of Mathematics 46 (1945), S. 242–264.
• Walter Burkert: Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Hans Carl, Nürnberg 1962.
• Leonid Zhmud: Wissenschaft, Philosophie und Religion im frühen Pythagoreismus, Akademie Verlag, Berlin 1997.
• Leonid Zhmud: Hippasos aus Metapont. In: Hellmut Flashar u. a. (Hrsg.): Frühgriechische Philosophie (Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike, Band 1), Halbband 1, Schwabe, Basel 2013, S. 412–415.
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Pythagoreanism (englisch)