Rechner · Klasse 8 bis Studium
Wurzelrechner: Wurzeln ziehen und vereinfachen
Der Wurzelrechner zieht Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und beliebige n-te Wurzeln. Er vereinfacht exakt durch teilweises Wurzelziehen, berechnet auf Wunsch 100 Nachkommastellen und zeigt mit dem Heron-Verfahren, wie man eine Wurzel ohne Taschenrechner annähert.
Kostenlos für Unterricht und Lernen (Bedingungen). Im Unterricht ohne Werbung: Unterrichtsansicht · Sie unterrichten?
So benutzt du den Wurzelrechner
Gib die Zahl unter der Wurzel ein, den Radikanden, und den Wurzelexponenten: 2 für die Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel. Der Radikand darf auch ein Bruch sein. Der Rechner zeigt das Ergebnis exakt und als Dezimalzahl. Im Erweitert-Bereich stellst du ein, wie viele Nachkommastellen berechnet werden.
Was ist eine Wurzel?
Die Quadratwurzel √a ist die nicht negative Zahl, die mit sich selbst multipliziert a ergibt: √49 = 7, weil 7 · 7 = 49. Die n-te Wurzel ist die Zahl, die n-mal mit sich selbst multipliziert a ergibt: ∛125 = 5, weil 5 · 5 · 5 = 125. Wurzelziehen ist damit die Umkehrung des Potenzierens. In Potenzschreibweise ist ⁿ√a = a1/n.
Teilweises Wurzelziehen
Geht eine Wurzel nicht auf, lässt sie sich oft trotzdem vereinfachen. Dazu zerlegt man den Radikanden in Primfaktoren und zieht jedes Paar gleicher Faktoren als einen Faktor vor die Wurzel.
Diese exakte Form ist genauer als jede Kommazahl und in Klassenarbeiten oft verlangt. Mehr Beispiele stehen im Abschnitt Wurzeln vereinfachen.
Das Heron-Verfahren
Wie berechnet man √2 ohne Taschenrechner? Schon Heron von Alexandria beschrieb im 1. Jahrhundert ein Verfahren, das die Babylonier wohl noch früher kannten: Man beginnt mit einem Schätzwert x und ersetzt ihn immer wieder durch den Mittelwert von x und a : x.
Für √2 mit x₀ = 1: x₁ = 1,5, x₂ ≈ 1,41667, x₃ ≈ 1,414216. Schon nach drei Schritten stimmen fünf Nachkommastellen. Die Zahl der richtigen Stellen verdoppelt sich ungefähr bei jedem Schritt. Eine babylonische Keilschrifttafel (YBC 7289) zeigt √2 auf sechs Dezimalstellen genau, rund 3800 Jahre alt.
Häufige Fragen
Gibt es Wurzeln aus negativen Zahlen?
Ungerade Wurzeln ja: ∛(−8) = −2, denn (−2)³ = −8. Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es in den reellen Zahlen nicht, denn jedes Quadrat ist positiv oder 0. Dafür erfand man die komplexen Zahlen mit i = √(−1).
Ist √9 = 3 oder ±3?
√9 = 3. Das Wurzelzeichen steht immer für die nicht negative Lösung. Die Gleichung x² = 9 hat aber zwei Lösungen, x = 3 und x = −3, man schreibt x = ±√9.
Warum ist √2 irrational?
Wäre √2 = p/q ein gekürzter Bruch, folgte p² = 2q². Dann wäre p gerade, damit p² durch 4 teilbar, also auch q gerade. Das widerspricht dem Kürzen. Dieser Beweis war schon den Griechen bekannt und erschütterte die Lehre der Pythagoreer, alles sei Zahl.
Weiterlesen
Klasse 5–8 Zahlen und ihre Eigenschaften
Von den natürlichen Zahlen bis zu den Wurzeln: Hier lernst du Primzahlen, Teiler, ggT und kgV, die Rechengesetze, Quadratzahlen und Radikale kennen…
Klasse 8–10 Potenzen und Exponenten
Was bedeutet 2⁵, und warum ist 5⁰ gleich 1? Du lernst die Potenzgesetze, negative und gebrochene Exponenten, Wurzeln als Potenzen und die… Arbeitsblatt · Klasse 8–9Quadratzahlen und Wurzeln
Quadratzahlen bis 25², Wurzeln ziehen, Wurzeln abschätzen und vereinfachen: Der Generator erstellt Übungen ohne Taschenrechner, mit Lösungen.
ca. 10–70 n. Chr.