Sistemi di numerazione

Un sistema di numerazione è un insieme di segni e di regole che serve a scrivere e a leggere i numeri. Esistono due grandi tipi. Nei sistemi additivi, come quello romano o quello egizio, il valore di un numero è la somma dei valori dei suoi segni. Nei sistemi posizionali, come il decimale, il binario, il maya o il babilonese, il valore di ogni cifra dipende dal posto che occupa.

L’espressione «sistemi numerici» si usa in due sensi. Può indicare i sistemi di numerazione, cioè i modi di scrivere i numeri (decimale, binario, romano e così via), oppure gli insiemi numerici, cioè i tipi di numeri come i naturali, gli interi, i razionali e i reali. Questa pagina spiega tutti e due e dà un collegamento alla pagina di ogni sistema.

Che cos’è un sistema di numerazione e a che cosa serve

Un sistema di numerazione serve a rappresentare quantità con pochi segni e a calcolare con esse. È formato da tre cose: i segni (cifre o lettere), la base (quante unità si raggruppano per formare la successiva) e le regole per combinare i segni. La base è questo numero di raggruppamento: nel decimale si raggruppa a dieci a dieci, nel binario a due a due.

Tipi di sistemi di numerazione

Sistemi additivi (non posizionali)

Ogni segno ha un valore fisso e i valori si sommano. Sono additivi il sistema egizio, con geroglifici per 1, 10, 100 e così via, e il sistema romano, con le lettere I, V, X, L, C, D e M e la regola di sottrarre in coppie come IV. Sono facili da imparare, ma i numeri grandi occupano molto spazio e calcolare per iscritto è scomodo. Non hanno lo zero, perché non ci sono posizioni da lasciare vuote.

Sistemi posizionali

Il valore di una cifra dipende dalla sua posizione. Nel numero 505 i due 5 valgono cose diverse: il primo è 500 e il secondo è 5. Sono posizionali il decimale, il binario, l’ottale, l’esadecimale, il maya (base 20) e il babilonese (base 60, in tedesco). Per scrivere una posizione vuota serve uno zero o uno spazio: per questo i sistemi posizionali hanno portato all’invenzione dello zero.

Sistemi ibridi e alfabetici

Un sistema ibrido unisce la somma e la moltiplicazione. L’esempio classico sono i numeri scritti con i caratteri cinesi: 二千零二十六 significa «due mille, zero, due dieci, sei» e si legge 2 · 1.000 + 2 · 10 + 6 = 2026, con 零 che segna il posto vuoto delle centinaia. I sistemi alfabetici usano le lettere come cifre: i Greci usavano α per 1, β per 2, ι per 10 e ρ per 100, e gli Ebrei facevano qualcosa di simile con il loro alfabeto. Anche la numerazione romana usa lettere, ma è considerata additiva con sottrazioni.

Tabella comparativa: i sistemi di numerazione a confronto

L’ultima colonna scrive lo stesso numero, 2026, in ogni sistema, così vedi la differenza. Il pulsante sotto il titolo stampa la tabella o la salva in PDF.

Il sistema decimale: il nostro sistema di numerazione

Il sistema decimale è quello che usiamo ogni giorno e che si impara già alla scuola primaria. Ha base 10, dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) ed è posizionale: si raggruppa a dieci a dieci e ogni posizione vale dieci volte quella alla sua destra. Probabilmente si scelse il 10 perché abbiamo dieci dita, anche se non è l’unica scelta possibile.

• Base 10: dieci unità formano una decina, dieci decine un centinaio, dieci centinaia un migliaio.
• Dieci cifre, con lo 0 che segna una posizione vuota.
• Valore di posizione: la cifra 7 vale 7 unità, 70 o 700, secondo il posto in cui sta.
• Nessun limite: con dieci cifre si scrive qualsiasi numero, grande quanto si vuole.

Quindi 4.357 = 4.000 + 300 + 50 + 7. Questa scomposizione è la base della numerazione che si impara alle elementari. Le nostre cifre si chiamano indo-arabe: sono nate in India, le hanno diffuse gli studiosi del mondo islamico (il più noto è al-Khwarizmi, verso l’825) e sono arrivate in Europa soprattutto con il Liber abaci di Fibonacci (1202). Il racconto completo è in chi ha inventato i numeri e le cifre e nella pagina sulla sequenza di Fibonacci.

Sistemi di numerazione antichi e nel mondo

Ogni sistema ha una sua pagina, con tabelle, esempi ed esercizi svolti.

• Numeri romani: sette lettere, tabelle da 1 a 100 e da 1 a 1000, anni, date e secoli. Additivo con sottrazioni, senza zero.
• Numeri egizi: sette geroglifici, uno per ogni potenza di 10 fino al milione. Additivo, senza zero. Si possono scrivere in qualsiasi ordine.
• Numeri babilonesi (in tedesco): base 60 con due soli segni a cuneo. Posizionale, con lo zero come spazio vuoto. Da qui vengono i 60 minuti dell’ora e i minuti e i secondi degli angoli.
• Numeri maya: base 20 con punto, barra e conchiglia. Posizionale, con uno zero vero e proprio, creato in modo indipendente dal Vecchio Mondo.
• Sistema binario: base 2 con solo 0 e 1, quello dei computer, e il suo rapporto con l’ottale e l’esadecimale.

Fuori da questi cinque ci sono altri sistemi: i caratteri cinesi, le lettere dei Greci e degli Ebrei, le cifre arabe orientali (٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩), che sono lo stesso sistema decimale con un altro disegno per ogni cifra. Per un punto di vista più ampio vedi la storia della matematica.

Numerazione in base otto (ottale) e altre basi

Il sistema ottale, o base otto

Nel sistema ottale si raggruppa a otto a otto e si usano solo le cifre da 0 a 7: l’8 e il 9 non esistono. Le posizioni valgono 1, 8, 64, 512, e così via. Il numero 3752 in base otto vale quindi 3 · 512 + 7 · 64 + 5 · 8 + 2 = 1.536 + 448 + 40 + 2 = 2026.

L’ottale è legato al binario: ogni cifra ottale corrisponde a tre bit. Infatti 3, 7, 5 e 2 diventano 011, 111, 101 e 010, e uniti danno 11111101010, cioè 2026 in binario. L’ottale si usa ancora, per esempio, nei permessi dei file dei sistemi Unix: 755 significa «lettura, scrittura ed esecuzione per il proprietario, lettura ed esecuzione per gli altri».

Quinario, duodecimale, vigesimale e sessagesimale

Nella vita di tutti i giorni si incontrano altre basi, a volte mescolate con il decimale.

• Sistema quinario (base 5): conta con le dita di una mano. Si vede nei tratti di conteggio raggruppati a cinque, nella barra maya (valeva 5) e nella V romana. Il numero 100 in base 5 è 400₅, perché 4 · 25 = 100.
• Sistema duodecimale (base 12): sopravvive nella dozzina, nella grossa (12 dozzine, cioè 144 pezzi), nei 12 mesi dell’anno e nelle 12 ore dell’orologio. Il 100 in base 12 è 84₁₂, perché 8 · 12 + 4 = 100. Il 12 si divide esattamente per 2, 3, 4 e 6.
• Sistema vigesimale (base 20): lo usavano i Maya e gli Aztechi. In italiano ne resta la ventina. In francese 80 si dice quatre-vingts, «quattro venti».
• Sistema sessagesimale (base 60): quello dei Babilonesi, ancora presente nell’orologio e negli angoli.

Sistemi di numerazione in informatica

L’informatica usa tre sistemi posizionali oltre al decimale: il binario (base 2), perché i circuiti distinguono due stati, l’ottale (base 8) e l’esadecimale (base 16), che sono abbreviazioni comode del binario: una cifra ottale sono tre bit e una cifra esadecimale sono quattro. L’esadecimale si vede nei colori delle pagine web (#FF8800) e negli indirizzi di memoria. Come passare dall’uno all’altro è spiegato nella pagina sul sistema binario. Per controllare le conversioni puoi usare il convertitore di sistemi di numerazione (interfaccia in tedesco).

Sistemi numerici o insiemi numerici: N, Z, Q e R

Un sistema di numerazione è un modo di scrivere i numeri. Gli insiemi numerici, che a scuola si chiamano spesso anche sistemi numerici, classificano invece i numeri in base alle loro proprietà, qualunque sia il modo di scriverli. Il numero 5, la V romana e il 101 binario sono lo stesso numero naturale.

In molti libri italiani l’insieme N comincia da 0, in altri da 1: controlla che cosa dice il tuo. I numeri decimali si classificano anche in base alle cifre dopo la virgola. Un decimale può essere finito (0,25), periodico semplice (0,333… = 0,3), periodico misto (0,1666… = 0,16) oppure non periodico con infinite cifre (π = 3,14159…). I primi tre sono razionali, l’ultimo è irrazionale. Altre classificazioni separano i numeri primi (si dividono solo per 1 e per se stessi, come 2, 3, 5, 7 e 11) dai numeri composti (hanno più divisori, come 4, 6 e 12): vedi Primzahlen (in tedesco). Per un panorama in tedesco degli insiemi numerici c’è la pagina Zahlen.

Esercizi con soluzioni

Domande frequenti

Fonti e approfondimenti

• Treccani: Numerazione
• Wikipedia: Sistema di numerazione
• Wikipedia: Insieme numerico
• MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (in inglese)
• MacTutor History of Mathematics: Mayan mathematics (in inglese)
• MacTutor History of Mathematics: Egyptian numerals (in inglese)

Questa pagina esiste anche in altre lingue: Español, Português e English.