Sistema binario

Il sistema binario è un sistema di numerazione che usa solo due cifre, 0 e 1. Ogni posizione vale il doppio di quella alla sua destra (1, 2, 4, 8, 16, …), per questo si dice che la sua base è 2. Così 5 si scrive 101, 10 si scrive 1010 e 255 si scrive 11111111. I computer conservano ogni informazione in questo modo, e la scrittura si chiama anche codice binario o linguaggio binario.

Qui impari che cosa sono i numeri binari, come si passa da decimale a binario e da binario a decimale, come si somma in binario e come si collega all’esadecimale, all’ottale e al testo. Trovi una tabella dei numeri binari da 1 a 100, una con i più importanti fino a 2.048 e gli esercizi con le soluzioni. Per controllare i risultati puoi usare il convertitore di sistemi di numerazione (interfaccia in tedesco).

Che cos’è il sistema binario

Nel nostro sistema decimale si raggruppa a dieci a dieci: dieci unità formano una decina e dieci decine un centinaio. Nel sistema binario si raggruppa a due a due. Quando arrivi a 2 non scrivi più un 2, ma passi alla posizione successiva: dopo l’1 viene il 10 (si legge «uno zero», non «dieci»), dopo l’11 viene il 100.

Un numero binario è un qualsiasi numero scritto con zeri e uni, come 1, 10, 1011 o 100110. Numeri come 102 o 7 non sono binari, perché contengono cifre diverse da 0 e 1, anche se ogni numero naturale si può scrivere in binario. Per non fare confusione scrivi la base come pedice: 101₂ è binario (cinque) e 101₁₀ è decimale (centouno).

Sistemi di numerazione: additivi e posizionali

Un sistema di numerazione è un insieme di segni e di regole per scrivere i numeri. Si distinguono due tipi. Nei sistemi additivi, come i numeri romani, ogni segno ha sempre lo stesso valore e i valori si sommano. Nei sistemi posizionali il valore di una cifra dipende dal posto in cui sta: il 2 di 20 e il 2 di 200 non valgono lo stesso. Il sistema decimale che usi ogni giorno, il binario, l’ottale e l’esadecimale sono posizionali, e lo sono anche i sistemi dei Babilonesi e dei Maya. Il decimale, che si impara già alla scuola primaria, ha base 10 e dieci cifre, da 0 a 9; il binario ha base 2 e due cifre.

Sugli antichi sistemi di numerazione trovi altre pagine: numeri egizi, numeri maya e numeri romani, oltre ai numeri babilonesi (in tedesco).

Numeri binari da 1 a 100: la tabella

La tabella raccoglie i numeri binari da 1 a 100 in cinque blocchi da 20. Quelli da 1 a 10 sono 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 e 1010. Ogni volta che un numero è una potenza di 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64) la sua scrittura è un 1 seguito da zeri. Il pulsante sotto il titolo stampa le tabelle.

Numeri binari da 1 a 20

Numeri binari da 21 a 40

Numeri binari da 41 a 60

Numeri binari da 61 a 80

Numeri binari da 81 a 100

Cosa si nota nella tabella

• I numeri pari finiscono per 0 e i numeri dispari finiscono per 1.
• Tra 2^k e 2^k+1 − 1 i numeri hanno sempre k + 1 cifre: da 8 a 15 tutti hanno 4 cifre, da 16 a 31 ne hanno 5 e da 64 a 100 ne hanno 7.
• Il numero formato solo da uni è una potenza di 2 meno 1: 111₂ = 7, 1111₂ = 15, 11111₂ = 31, 111111₂ = 63.
• Da 1 a 32 bastano al massimo 6 cifre, e da 1 a 100 al massimo 7.

Numeri binari importanti da 100 a 2048

Un elenco dei numeri fino a 1000 in binario sarebbe lungo e quasi tutto ripetuto. Con la tabella precedente e quella qui sotto puoi costruire qualsiasi numero: cerca il numero tondo più vicino e somma quello che manca. Per esempio 1000 in binario è 1111101000, perché 1000 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8.

101, 1010, 1101, 1111: che numeri sono in binario?

Chi scrive «101 binario» può voler dire due cose diverse: leggere 101 come numero binario (che vale 5) oppure scrivere in binario il numero decimale 101 (che diventa 1100101). Le due tabelle danno entrambe le risposte per le sequenze più cercate. Gli zeri iniziali non cambiano il valore: 01101 vale quanto 1101.

Da binario a decimale: come convertire

Scrivi sotto ogni cifra il valore della sua posizione e somma i valori delle posizioni in cui c’è un 1. Gli zeri non danno nulla. Come esempio convertiamo 101101₂.

Quindi 101101₂ = 32 + 8 + 4 + 1 = 45. Altri esempi: 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13, 1010₂ = 8 + 2 = 10 e 11111111₂ = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, il numero più grande che sta in 8 bit.

Da decimale a binario: come convertire

Ci sono due metodi, che danno lo stesso risultato. Come esempio prendiamo il numero 45.

Metodo 1: divisioni per 2

Dividi il numero per 2 e annota il resto (0 o 1). Continua a dividere il quoziente e fermati quando il quoziente è 0. I resti si leggono dal basso verso l’alto.

Letti dal basso verso l’alto, i resti danno 101101, quindi 45 = 101101₂. Funziona perché ogni resto dice se avanza un’unità di quella posizione, come quando raggruppi gli oggetti a due a due.

Metodo 2: sottrarre le potenze di 2

Guarda le potenze di 2 dalla più grande alla più piccola (…, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1). Se la potenza sta in quello che resta, scrivi un 1 e la sottrai; se non ci sta, scrivi uno 0. Con 77 e le potenze 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1:

1. 64 sta in 77: cifra 1. Resta 77 − 64 = 13.
2. 32 non sta in 13: cifra 0.
3. 16 non sta in 13: cifra 0.
4. 8 sta in 13: cifra 1. Resta 13 − 8 = 5.
5. 4 sta in 5: cifra 1. Resta 5 − 4 = 1.
6. 2 non sta in 1: cifra 0.
7. 1 sta in 1: cifra 1. Resta 0.

Risultato: 77 = 1001101₂. Controllo: 64 + 8 + 4 + 1 = 77. Il secondo metodo va bene per i numeri piccoli, il primo anche per quelli grandi.

Numeri con la virgola: dal decimale al binario e viceversa

Per portare in binario un numero con la virgola, converti separatamente la parte intera (con le divisioni) e la parte decimale. La parte decimale si moltiplica per 2 più volte e ogni volta annoti la cifra che compare prima della virgola. Come esempio, 10,375:

1. Parte intera: 10 = 1010₂.
2. 0,375 · 2 = 0,75: cifra 0.
3. 0,75 · 2 = 1,5: cifra 1 (continui con 0,5).
4. 0,5 · 2 = 1,0: cifra 1, e siccome resta 0 ti fermi.

Risultato: 10,375 = 1010,011₂. Nel senso opposto, le posizioni dopo la virgola valgono 1/2, 1/4, 1/8, …: 101,11₂ = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5,75. Non tutti i decimali finiscono: 0,1 in binario è 0,0001100110011… e non termina mai, ed è per questo che i computer arrotondano quando memorizzano 0,1.

Matematica binaria: la somma in binario

Si somma come nell’addizione in colonna di sempre, da destra a sinistra e con il riporto, ma le regole sono pochissime. In una colonna possono starci al massimo tre uni (due cifre e il riporto):

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 1 = 10 (scrivi 0 e riporti 1)
• 1 + 1 + 1 = 11 (scrivi 1 e riporti 1)

Sottrazione e moltiplicazione in binario

La sottrazione funziona come quella in colonna, prendendo «in prestito» dalla posizione a sinistra: 1101₂ − 101₂ = 1000₂, che in decimale è 13 − 5 = 8. La moltiplicazione è ancora più semplice, perché si moltiplica solo per 0 o per 1: 101₂ · 11₂ = 101 + 1010 = 1111₂, che in decimale è 5 · 3 = 15.

Dal binario all’esadecimale e all’ottale

I numeri binari sono lunghi: il 255 richiede otto cifre. Per questo in informatica si usa spesso il sistema esadecimale, di base 16. Servono sedici cifre e, poiché dopo il 9 non ce ne sono altre, si usano le lettere da A a F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15. Il sistema ottale (base 8, cifre da 0 a 7) raggruppa invece i bit a tre a tre. La tabella mostra i numeri da 0 a 31 in tutti e tre i sistemi.

I valori delle posizioni esadecimali sono potenze di 16: 1, 16, 256, 4.096, …

Da esadecimale a decimale e da decimale a esadecimale

Da esadecimale a decimale, moltiplica ogni cifra per il valore della sua posizione: 2F₁₆ = 2 · 16 + 15 = 47, A3₁₆ = 10 · 16 + 3 = 163 e FF₁₆ = 15 · 16 + 15 = 255. Da decimale a esadecimale si divide per 16 e si leggono i resti dal basso verso l’alto. Con il 300:

I resti, letti dal basso verso l’alto, sono 1, 2 e C, quindi 300 = 12C₁₆. Controllo: 256 + 2 · 16 + 12 = 300.

Quattro bit sono una cifra esadecimale

Il vantaggio grande: una cifra esadecimale equivale esattamente a quattro bit, perché 2⁴ = 16. Per passare da binario a esadecimale senza calcolare, raggruppa i bit a quattro a quattro partendo da destra e sostituisci ogni gruppo con la sua cifra.

I colori delle pagine web usano questa idea. Il codice #FF8800 sono tre byte (rosso, verde, blu): FF = 255 è rosso al massimo, 88 = 8 · 16 + 8 = 136 è verde a metà intensità e 00 è nessun blu. Il risultato è un arancione intenso.

Nell’ottale i bit si raggruppano a tre a tre: 111₂ = 7, 101₂ = 5, e perciò 755₈ = 111 101 101₂ = 493. I permessi dei file in Linux si scrivono così. L’anno 2026 in binario è 11111101010₂, in ottale 3752₈ e in esadecimale 7EA₁₆.

Testo in binario: come si passa da binario a testo

Anche le lettere si conservano come numeri, e ogni numero come un gruppo di bit. Nel codice ASCII la A è 65, la B è 66 e così via fino alla Z, che è 90. Ogni carattere occupa 8 bit, cioè un byte.

Per passare da binario a testo, dividi la sequenza in gruppi di 8 bit, converti ogni gruppo in decimale e cerca la lettera. Con 01000011 01101001 01100001 01101111 si ottiene 67, 105, 97 e 111, cioè C, i, a, o: «Ciao». Le minuscole sono le maiuscole più 32: la a è 97 = 01100001.

Il sistema binario in informatica

I computer usano il sistema binario perché i loro circuiti distinguono con grande affidabilità due stati, per esempio tensione alta e bassa, oppure interruttore aperto e chiuso. Con dieci stati i circuiti sarebbero molto più sensibili agli errori. Testi, immagini e programmi sono conservati come schemi di bit. Su unità come bit, byte e kilobyte trovi di più in Datenmengen, Bit und Byte (in tedesco).

I linguaggi di programmazione permettono di scrivere e convertire numeri binari. In Python 0b101101 è il numero 45, bin(45) dà '0b101101' e int("101101", 2) dà 45. Resta comunque importante capire la conversione a mano, perché è la base di tutto.

Che cos’è il linguaggio binario

Con «linguaggio binario» (o codice binario) si indica il modo in cui un computer conserva ed elabora le informazioni: tutto si riduce a bit, e ogni bit è uno 0 o un 1. Otto bit formano un byte, e con i byte si scrivono numeri, lettere e colori. La lettera A, per esempio, è 01000001, e un testo intero è una lunga fila di zeri e uni. Non è un linguaggio con una grammatica: è un accordo su quale schema di bit rappresenti che cosa. Oggi quasi nessuno scrive programmi direttamente in binario. Si scrivono in linguaggi di programmazione e il computer li traduce nelle istruzioni binarie che il processore esegue.

Storia: da Caramuel e Leibniz all’era digitale

Contare con due cifre è antico, ma la scrittura binaria come sistema compare nel XVII secolo. Lo spagnolo Juan Caramuel y Lobkowitz presentò nel 1670, nella sua opera Mathesis biceps, i numeri naturali in diverse basi, tra cui la base 2. Secondo lo storico Ineichen è probabilmente la prima pubblicazione europea che tratta sistemi di posizione diversi dal decimale.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) sviluppò le regole complete del calcolo binario nel 1679 e le pubblicò nel 1703 nella sua Explication de l’arithmétique binaire. Per lui il fatto che tutti i numeri si possano formare con 1 e 0 era un’immagine della creazione dal nulla. Nel 1701 descrisse il sistema a un missionario gesuita in Cina, e la risposta, arrivata nel 1703, gli fece notare che i 64 esagrammi dell’I Ching, il libro cinese dei mutamenti, si possono leggere come una sequenza di numeri binari. Di più sulla sua vita in Gottfried Wilhelm Leibniz (in tedesco).

Nell’Ottocento George Boole mostrò che la logica si può calcolare con due valori, vero e falso (George Boole, in tedesco). E nel 1948 Claude Shannon diffuse la parola bit con la sua teoria dell’informazione. Queste due idee, il binario di Leibniz e la logica di Boole, sono alla base della tecnologia digitale.

Esercizi con soluzioni

Per esercitarti con numeri sempre nuovi, in tedesco c’è la scheda di esercizi Zahlensysteme üben, che genera esercizi con le soluzioni.

Domande frequenti

Che cos’è il sistema binario?

È un sistema di numerazione in base 2 che usa solo le cifre 0 e 1. Ogni posizione vale il doppio di quella alla sua destra. È il sistema che i computer usano per conservare le informazioni.

Qual è la base del sistema binario?

La base è 2, perché ci sono due sole cifre, 0 e 1, e ogni posizione vale una potenza di 2. Il decimale ha base 10, l’ottale base 8 e l’esadecimale base 16.

Che cos’è il linguaggio binario?

È il modo in cui un computer conserva ed elabora le informazioni usando solo bit, cioè zeri e uni. Con gruppi di 8 bit (byte) si scrivono numeri, lettere e colori. Trovi di più nella parte sul linguaggio binario.

Come si passa da decimale a binario?

Dividi il numero per 2 più volte, annota i resti e leggili dal basso verso l’alto. Il 45 dà 101101. Trovi un altro metodo ed esempi nella parte su da decimale a binario.

Come si passa da binario a decimale?

Somma i valori delle posizioni in cui c’è un 1: 1, 2, 4, 8, 16, … da destra a sinistra. Così 1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13. Altri esempi nella parte su da binario a decimale.

Quali sono i numeri binari da 1 a 10?

1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 e 1010. La tabella arriva fino a 100.

Quanto fa 1 + 1 in binario?

10. Due unità formano un’unità della posizione successiva, quindi scrivi 0 e riporti 1.

Che numero è 101, 1010, 1101 o 1111 in binario?

Letti come numeri binari: 101 = 5, 1010 = 10, 1101 = 13 e 1111 = 15. Se invece vuoi scrivere in binario i numeri decimali 10, 11 o 13, ottieni 1010, 1011 e 1101. La tabella delle sequenze più cercate mostra entrambi i casi.

Quali numeri non sono binari?

Quelli che contengono una cifra diversa da 0 e 1, come 12 o 305. Eppure ogni numero naturale ha una scrittura binaria: il 12 è 1100 e il 305 è 100110001.

Come si scrive 100, 255 o 1000 in binario?

100 è 1100100, 255 è 11111111 e 1000 è 1111101000. I numeri più cercati si trovano nelle tabelle con la spiegazione.

Come si passa da binario a esadecimale?

Raggruppa i bit a quattro a quattro partendo da destra e cambia ogni gruppo con la sua cifra esadecimale: 1101 0111 è D7. La conversione è spiegata qui.

Che cos’è un sistema di numerazione posizionale?

È un sistema in cui il valore di una cifra dipende dalla posizione. Nel decimale il 2 di 20 e il 2 di 200 valgono cose diverse; lo stesso vale nel binario, nell’ottale e nell’esadecimale. Vedi sistemi di numerazione.

Chi ha inventato il sistema binario?

Non c’è un solo inventore. Juan Caramuel pubblicò nel 1670 un’esposizione della numerazione in diverse basi, e Leibniz sviluppò il calcolo binario nel 1679 e lo pubblicò nel 1703. La scrittura binaria oggi è in tutti i computer.

Fonti e approfondimenti

• Wikipedia: Sistema numerico binario
• Wikipedia: Sistema di numerazione posizionale
• MacTutor History of Mathematics: Gottfried Wilhelm Leibniz (in inglese)
• MacTutor History of Mathematics: Juan Caramuel y Lobkowitz (in inglese)
• Robert Ineichen: Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem, Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 16 (2008) (in tedesco).

Questa pagina esiste anche in altre lingue: Deutsch, Español, Français e English.