Sequenza di Fibonacci

La sequenza di Fibonacci è la successione di numeri 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti. In matematica si dice più precisamente successione di Fibonacci, e i suoi termini sono i numeri di Fibonacci. Basta conoscere i primi due termini e la regola «si sommano gli ultimi due» per proseguire la successione quanto vuoi.

Prende il nome da Leonardo Fibonacci, o Leonardo Pisano, che la presenta nel 1202 con un problema sui conigli. In questa pagina costruisci la successione, usi la formula di ricorrenza e la formula di Binet, vedi il legame con la sezione aurea e con la spirale e controlli che cosa è vero in natura. Alla fine alcuni esercizi con le soluzioni ti permettono di allenarti. Per sapere chi era Fibonacci leggi la pagina Fibonacci (in tedesco); trovi il suo posto anche nella storia della matematica.

Definizione e formula della successione di Fibonacci

Come costruire la successione

Scrivi due volte il numero 1. Il terzo termine è la loro somma: 1 + 1 = 2. Il quarto è la somma del secondo e del terzo: 1 + 2 = 3. Poi vengono 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 e così via. In parole semplici: ogni numero è la somma dei due che lo precedono.

Alcuni libri cominciano da F₀ = 0 (0, 1, 1, 2, 3, …). Da F₁ in poi le due scritture danno la stessa successione. Esempio: F₁₅ = F₁₄ + F₁₃ = 377 + 233 = 610. Il difetto di questa formula è che per trovare F₄₀ devi prima calcolare tutti i termini che lo precedono.

Successione, sequenza o serie di Fibonacci?

Nel linguaggio di tutti i giorni si sentono tutte e tre le parole, e spesso anche «progressione». In matematica però hanno significati diversi. Una successione (o sequenza) è un elenco ordinato di numeri, come 1, 1, 2, 3, 5, 8, … Una serie è la somma dei termini di una successione, per esempio 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + … La voce dell’Enciclopedia della Matematica Treccani ricorda che chiamarla «serie di Fibonacci» è improprio. Anche «progressione» non va bene: le progressioni aritmetiche hanno differenza costante e quelle geometriche rapporto costante, mentre qui né la differenza né il rapporto tra termini consecutivi restano uguali.

La formula esplicita di Binet

Una formula esplicita dà F_n direttamente a partire da n. Per la successione di Fibonacci è la formula di Binet, dal nome di Jacques Binet, che la pubblicò nel 1843. Abraham de Moivre e Daniel Bernoulli la conoscevano già nella prima metà del Settecento.

Poiché ψ in valore assoluto è minore di 1, ψⁿ diventa minuscolo quando n cresce. F_n è quindi l’intero più vicino a φⁿ / √5. Per n = 15, φ¹⁵ / √5 ≈ 609,9997, che dà 610 = F₁₅.

Da dove viene la formula? (livello liceo e oltre)

1. Si cercano successioni della forma qⁿ che soddisfano qⁿ = qⁿ⁻¹ + qⁿ⁻². Dividendo per qⁿ⁻² resta q² = q + 1.
2. Questa equazione di secondo grado ha per soluzioni q = (1 ± √5) / 2, cioè φ e ψ.
3. Ogni combinazione a · φⁿ + b · ψⁿ soddisfa a sua volta la relazione.
4. Si scelgono a e b in modo che F₀ = 0 e F₁ = 1: a + b = 0 e a · φ + b · ψ = 1 danno a = 1 / √5 e b = −1 / √5.

Successione di Fibonacci: elenco e tabella dei primi 100 numeri

L’elenco fino a 100 è: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 e 89. Il termine successivo, 144, supera già 100. Fino a 1.000 i numeri di Fibonacci sono 16: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 e 987. Le tabelle danno i primi 50 termini e poi quelli dal 51° al 100°; il pulsante sotto il titolo permette di stamparle o di salvarle in PDF.

F₁₀₀ ha 21 cifre: 354.224.848.179.261.915.075. Ogni cinque termini il numero viene moltiplicato per 11 circa, quindi guadagna all’incirca una cifra ogni cinque termini.

Il problema dei conigli di Fibonacci

In Europa la successione compare per la prima volta nel Liber abaci («Libro del calcolo») di Leonardo Fibonacci, nel 1202, al capitolo 12. Il problema chiede in sostanza: un uomo mette una coppia di conigli in un recinto chiuso. Quante coppie nascono da questa coppia in un anno, se ogni coppia genera ogni mese una nuova coppia e se le nuove coppie si riproducono a loro volta a partire dal secondo mese dopo la nascita?

Si suppone che la coppia di partenza sia adulta e che nessun coniglio muoia. Una coppia nata questo mese è troppo giovane il mese dopo e avrà la sua prima coppia solo un mese più tardi.

Dopo dodici mesi ci sono 377 coppie, compresa quella di partenza. Nasce tante coppie quante erano già le coppie adulte, cioè tutte quelle che esistevano due mesi prima. Il totale è quindi la somma dei due mesi precedenti. Dopo t mesi ci sono F_t+2 coppie: 377 è F₁₄ e non F₁₂.

Successione di Fibonacci e sezione aurea

Dividi ogni termine per il precedente. I quozienti prima oscillano, poi si avvicinano a un numero fisso.

Racchiudono il numero aureo φ ≈ 1,618034, il rapporto della sezione aurea. La ragione sta in una riga: se q = F_n+1 / F_n si avvicina a un valore fisso, la relazione F_n+1 = F_n + F_n−1 dà q = 1 + 1 / q, quindi q² = q + 1. La sua soluzione positiva è φ. Keplero notò questo legame già nel 1611. La successione di Fibonacci e la sezione aurea vanno quindi insieme, ma la leggenda che circonda la sezione aurea è molto più grande dei fatti: l’articolo Der Goldene Schnitt: was stimmt und was Mythos ist (in tedesco) verifica le affermazioni una per una.

La spirale di Fibonacci

Quadrati con lati 1, 1, 2, 3, 5, 8 e 13 si incastrano senza buchi a formare un rettangolo. Ogni lato è la somma dei due precedenti, quindi il nuovo quadrato si appoggia esattamente lungo il lato lungo del rettangolo già costruito.

Su un foglio a quadretti disegna prima due quadrati di lato 1 uno accanto all’altro. Poi appoggia quadrati di lato 2, 3, 5, 8 e 13 lungo il lato lungo del rettangolo, girando ogni volta di un quarto di giro. In ogni quadrato traccia un quarto di cerchio con raggio uguale al lato, in modo che gli archi si colleghino.

Ogni arco è circa 1,6 volte più grande del precedente. La figura somiglia quindi alla spirale aurea, che cresce del fattore φ a ogni quarto di giro. Il rettangolo conta 13 · 21 = 273 quadretti, cioè la somma delle aree dei quadrati: 1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 + 169 = 273. In generale F₁² + … + F_n² = F_n · F_n+1.

La spirale di Fibonacci non ha significati nascosti: è una costruzione geometrica che illustra la crescita. Gli artisti se ne sono appropriati. L’artista italiano Mario Merz, per esempio, ha cominciato nel 1970 a usare la successione di Fibonacci nelle sue opere, tra l’altro con numeri al neon.

La successione di Fibonacci in natura: il vero e il falso

L’esempio più noto è il girasole. Nel capolino si vedono due famiglie di spirali, le une che girano in senso orario, le altre in senso antiorario. Se le conti, trovi spesso due numeri di Fibonacci consecutivi, per esempio 34 e 55 oppure 55 e 89. Nelle pigne sono più spesso 5 e 8 oppure 8 e 13.

La spiegazione sta nella crescita. I nuovi semi compaiono al centro, ciascuno ruotato dello stesso angolo rispetto al precedente. Con un angolo vicino a 137,5° due semi non si sovrappongono mai e la superficie si riempie in modo uniforme. Questo angolo aureo vale 360° / φ² ≈ 137,508°. È legato alla successione: se moltiplichi 360° per le frazioni F_n / F_n+2, i risultati oscillano attorno a lui. 2/5 dà 144°, 3/8 dà 135°, 21/55 dà 137,45°.

La natura non segue sempre la regola. Nel 2016 Jonathan Swinton, Erinma Ochu e molti volontari hanno analizzato 657 girasoli. Nel sottoinsieme più affidabile, 565 dei 768 numeri di spirali erano numeri di Fibonacci, quasi tre quarti. Altri 67 appartenevano a successioni vicine, per esempio i numeri di Lucas 2, 1, 3, 4, 7, 11, … (stessa regola, altri termini di partenza). Il resto non seguiva alcuno schema.

A cosa serve la successione di Fibonacci

La successione serve meno a descrivere il mondo che a pensare: è l’esempio classico di una successione definita per ricorrenza e compare in vari campi della matematica e dell’informatica.

• Imparare la ricorrenza: ci si incontra la definizione per ricorrenza, la dimostrazione per induzione e la formula esplicita. È anche l’esempio abituale per imparare a scrivere una funzione ricorsiva in programmazione.
• Algoritmo di Euclide: nel 1844 Gabriel Lamé mostrò che il calcolo del massimo comun divisore richiede il numero massimo di passi quando i due numeri sono due termini consecutivi della successione di Fibonacci.
• Metodo di Fibonacci: per trovare il massimo di una funzione che prima sale e poi scende, la ricerca di Fibonacci, proposta da Jack Kiefer nel 1953, restringe l’intervallo di ricerca seguendo i quozienti di termini di Fibonacci.
• Informatica: gli heap di Fibonacci, una struttura dati messa a punto negli anni Ottanta da Michael Fredman e Robert Tarjan, velocizzano alcuni calcoli di cammini nei grafi.
• Da miglia a chilometri: poiché 1 miglio (inglese) vale 1,609 km e φ ≈ 1,618, un numero di Fibonacci in miglia è quasi il numero di Fibonacci successivo in chilometri: 5 miglia sono circa 8 km, 8 miglia circa 13 km, 13 miglia circa 21 km.

Alcune proprietà semplici

Un termine su tre è pari

Dispari più dispari dà pari, dispari più pari dà dispari. La successione comincia con dispari, dispari, da cui lo schema d, d, p, d, d, p, … Così F₃, F₆, F₉, … sono pari, per esempio F₁₂ = 144 e F₃₀ = 832.040.

La somma dei primi n termini

Per n = 10: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, e F₁₂ − 1 = 144 − 1 = 143. Ragione: la relazione di ricorrenza dà F_k = F_k+2 − F_k+1. Se scrivi così ogni termine, quasi tutto si annulla e resta F_n+2 − F₂ = F_n+2 − 1.

Massimo comun divisore e termini consecutivi

Per il massimo comun divisore vale MCD(F_m, F_n) = F_{MCD(m, n)}. Esempio: MCD(12, 18) = 6, quindi MCD(F₁₂, F₁₈) = F₆ = 8. Controllo: 144 = 8 · 18 e F₁₈ = 2.584 = 8 · 323, e 18 e 323 non hanno divisori comuni. Poiché MCD(n, n + 1) = 1 e F₁ = 1, due termini consecutivi sono sempre primi tra loro.

La somma dei reciproci

Se sommi i reciproci di tutti i numeri di Fibonacci, 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/8 + …, la somma non cresce all’infinito ma si avvicina a un valore fisso: circa 3,359886. A volte è chiamata costante dei reciproci di Fibonacci. Il valore si ottiene sommando molti termini: bastano i primi 40 per avere sei decimali esatti.

Errori frequenti

Esercizi svolti

Per altri esercizi sulle successioni puoi usare il calcolatore di successioni (interfaccia in tedesco), che riconosce la regola di Fibonacci in un elenco di numeri.

Chi era Fibonacci e che cos’è il suo libro

Leonardo Pisano, oggi detto Fibonacci, nacque verso il 1170 a Pisa, una città di mercanti che faceva concorrenza a Genova e a Venezia. Suo padre Guglielmo lavorava come scrivano pubblico per i mercanti pisani alla dogana di Bugia, l’odierna Béjaïa in Algeria, e fece venire lì il figlio perché imparasse il calcolo commerciale. A Bugia Leonardo conobbe, per sua stessa testimonianza, le «nove cifre degli Indiani» e ne fu subito convinto.

Il suo Liber abaci (1202) è il «libro di Fibonacci» di cui si parla spesso: un manuale di calcolo con le cifre indo-arabe, che spiega il valore di posizione, lo zero e le quattro operazioni, e contiene tra centinaia di problemi anche quello dei conigli. Si è conservata soltanto la versione riveduta del 1228. Il soprannome «Fibonacci» (da filius Bonacci, «figlio di Bonaccio») Leonardo non lo usò mai: si chiamava Leonardo Pisano e a volte Bigollo. Si affermò nell’Ottocento, e fu Édouard Lucas a dare alla successione il nome di Fibonacci. Il libro è la storia dell’arrivo dei numeri che usi tutti i giorni: vedi anche i numeri romani che questi hanno sostituito nel calcolo.

Domande frequenti

Fonti e approfondimenti

• Treccani, Enciclopedia della Matematica: Fibonacci, successione di
• Treccani, Dizionario Biografico degli Italiani: Fibonacci, Leonardo
• MacTutor History of Mathematics: Leonardo Pisano Fibonacci (in inglese)
• Britannica: Fibonacci number (in inglese)
• Jonathan Swinton, Erinma Ochu e altri: Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower, Royal Society Open Science 3 (2016) (in inglese)
• Castello di Rivoli Museo d’Arte Contemporanea: Mario Merz (in inglese)
• Wikipedia: Successione di Fibonacci

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