Sistemas de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y de reglas que permite escribir y leer números. Hay dos grandes tipos. En los sistemas aditivos (como el romano o el egipcio) el valor de un número es la suma de los valores de sus símbolos. En los sistemas posicionales (como el decimal, el binario, el maya o el babilónico) el valor de cada cifra depende del lugar que ocupa.

Esta página es el mapa de todos los sistemas: definiciones, ejemplos, una tabla comparativa y un enlace a la página de cada sistema. Al final tienes una aclaración sobre los tipos de números (naturales, enteros, reales…), que no son lo mismo que los sistemas de numeración, y un apartado sobre números cardinales y ordinales.

Qué es un sistema de numeración y para qué sirve

Un sistema de numeración sirve para representar cantidades con pocos símbolos y poder calcular con ellas. Está formado por tres cosas: los símbolos (cifras o letras), la base (cuántas unidades se agrupan para formar la siguiente) y las reglas para combinarlos. La base de un sistema es ese número de agrupación: en el decimal se agrupa de diez en diez, en el binario de dos en dos.

Tipos de sistemas de numeración

Sistemas aditivos (no posicionales)

Cada símbolo tiene un valor fijo y se suman. Son aditivos el sistema egipcio (con jeroglíficos para 1, 10, 100…) y el romano (I, V, X, L, C, D y M, con la regla de restar en parejas como IV). Son fáciles de aprender, pero los números grandes ocupan mucho y calcular por escrito es incómodo. No tienen cero porque no hay posiciones que dejar vacías.

Sistemas posicionales

El valor de cada cifra depende de su posición. El 505 vale distinto en sus dos cincos: el primero son 500 y el segundo, 5. Son posicionales el decimal, el binario, el hexadecimal, el maya (base 20) y el babilónico o sexagesimal (base 60). Para escribir una posición vacía hace falta un cero o un hueco, y por eso los sistemas posicionales llevaron a la invención del cero.

Sistemas híbridos y alfabéticos

Un sistema híbrido combina la suma con la multiplicación. El ejemplo clásico son los números escritos con caracteres chinos: 二千零二十六 significa «dos mil, cero, dos diez, seis» y se lee 2 · 1000 + 2 · 10 + 6 = 2026, con 零 para marcar el hueco de las centenas. Los sistemas alfabéticos usan letras como cifras: los griegos usaban α para 1, β para 2, ι para 10 y ρ para 100, y los hebreos hacían algo parecido con su alfabeto. La numeración romana también emplea letras, pero se considera aditiva con restas.

Tabla comparativa: características de los sistemas

La última columna escribe el mismo número, 2026, en cada sistema para que veas la diferencia.

El sistema decimal: nuestro sistema de numeración

El sistema de numeración decimal es el que usamos todos los días. Tiene base 10, diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y es posicional: agrupamos de diez en diez, y cada posición vale diez veces la de su derecha. Probablemente se eligió el 10 porque tenemos diez dedos, aunque no es la única opción. Sus características principales son:

• Base 10: diez unidades forman una decena, diez decenas una centena, diez centenas una unidad de millar.
• Diez cifras, con el 0 como cifra que marca una posición vacía.
• Valor posicional: la cifra 7 vale 7 unidades, 70 decenas o 700, según dónde esté.
• Sin límite: con diez cifras se escribe cualquier número, tan grande como se quiera.

Es decir, 4357 = 4000 + 300 + 50 + 7. Esta descomposición es la base de la numeración que se aprende en primaria. Del 1 al 100 la tabla de cien muestra el patrón: en cada fila cambian las unidades y en cada columna cambian las decenas.

Nuestras cifras se llaman indoarábigas: nacieron en la India, las difundieron los sabios del mundo islámico (el más conocido es al-Juarismi, hacia el año 825) y llegaron a Europa sobre todo a partir del Liber abaci de Fibonacci (1202). Hoy conviven con otro juego de cifras que se usa con la escritura árabe en muchos países.

Las dos series funcionan igual: son el mismo sistema decimal posicional con otro dibujo para cada cifra. Por eso se habla de sistema «arábigo» o «árabe»: la parte árabe es el camino por el que llegaron, y el sistema es de origen indio. Más sobre este viaje en quién inventó las matemáticas.

Sistemas antiguos y su página

Cada sistema tiene su propia página con tablas, ejemplos y ejercicios resueltos.

• Números romanos: siete letras, tabla del 1 al 100 y del 1 al 1000, años, fechas y siglos. Aditivo con restas, sin cero.
• Números egipcios: siete jeroglíficos, uno por cada potencia de 10 hasta el millón. Aditivo, sin cero. Se puede escribir en cualquier orden.
• Sistema sexagesimal y números babilónicos: base 60 con solo dos signos de cuña. Posicional, con el cero como hueco. De él vienen los 60 minutos de la hora y los minutos y segundos de los ángulos.
• Números mayas: base 20 con punto, barra y concha. Posicional, con cero propio, y creado de forma independiente del Viejo Mundo.
• Sistema binario: base 2 con solo 0 y 1, el de los ordenadores, y su relación con el octal y el hexadecimal.

Otras bases: quinario, duodecimal y vigesimal

Además de los sistemas ya vistos, aparecen en la vida diaria otras bases, a veces mezcladas con la decimal.

• Sistema quinario (base 5): cuenta con los dedos de una mano. Se ve en las rayas de cuenta agrupadas de cinco en cinco, en la barra maya (valía 5) y en la V romana. El número 100 en base 5 es 400₅, porque 4 · 25 = 100.
• Sistema duodecimal (base 12): sobrevive en la docena, la gruesa (12 docenas, 144 unidades), los 12 meses del año y las 12 horas del reloj. El 100 en base 12 es 84₁₂, porque 8 · 12 + 4 = 100. El 12 se divide exactamente entre 2, 3, 4 y 6.
• Sistema vigesimal (base 20): lo usaron los mayas y los aztecas. En español queda la veintena. En francés, 80 se dice quatre-vingts, «cuatro veintes».
• Sistema sexagesimal (base 60): el de los babilonios, presente aún en el reloj y en los ángulos.

Sistemas de numeración en informática y electrónica digital

La informática usa tres sistemas posicionales además del decimal: el binario (base 2) porque los circuitos distinguen dos estados, el octal (base 8) y el hexadecimal (base 16), que son abreviaturas cómodas del binario: una cifra octal son tres bits y una cifra hexadecimal son cuatro. El hexadecimal se ve en los colores de las páginas web (#FF8800) y en las direcciones de memoria. Cómo pasar de uno a otro está explicado en la página del sistema binario.

No confundir: sistemas de numeración y tipos de números

Un sistema de numeración es una forma de escribir los números. Los tipos de números (o conjuntos numéricos) clasifican los números según sus propiedades, sin importar cómo se escriban. El número 5, el V romano y el 101 binario son el mismo número natural.

Los números decimales también se clasifican por sus cifras decimales. Un decimal puede ser exacto (0,25), periódico puro (0,333… = 0,3), periódico mixto (0,1666… = 0,16) o no periódico con infinitas cifras (π = 3,14159…). Los tres primeros son racionales; el último es irracional. Otra clasificación separa los primos (solo se dividen entre 1 y ellos mismos, como 2, 3, 5, 7 u 11) de los compuestos (tienen más divisores, como 4, 6 o 12). Más sobre los primos en números primos. La historia de cada tipo de número se cuenta en la historia de las matemáticas.

Números cardinales y ordinales

Los cardinales dicen cuántos hay (uno, dos, tres: «tres manzanas»). Los ordinales dicen qué lugar ocupa algo en una serie (primero, segundo, tercero: «el tercer premio»). Hay otras clases: los fraccionarios (medio, tercio, cuarto) y los múltiplos (doble, triple, cuádruple). En la escritura con cifras, el ordinal lleva un punto y una o pequeña (1.º) o una a pequeña si es femenino (1.ª).

Algunos ordinales admiten varias formas: del 13 al 19 se escriben también en dos palabras (décimo tercero). Antes de un sustantivo masculino, primero y tercero pierden la o: «el primer día», «el tercer piso». Con los números romanos, el cardinal o el ordinal dependen del número: los reyes hasta el IX se leen como ordinal (Felipe VI, «sexto») y los siglos desde el XI como cardinal (siglo XXI, «veintiuno»), como se explica en cómo se leen los números romanos.

Ejercicios con soluciones

Preguntas frecuentes

Fuentes y lecturas recomendadas

• Wikipedia: Sistema de numeración
• Georges Ifrah: Historia universal de las cifras, Espasa-Calpe, Madrid 1997.
• MacTutor History of Mathematics: Babylonian numerals (en inglés)
• MacTutor History of Mathematics: Mayan mathematics (en inglés)
• MacTutor History of Mathematics: Egyptian numerals (en inglés)