Sachaufgaben lösen

Eine Sachaufgabe ist eine Rechenaufgabe, die als kleine Geschichte aus dem Alltag erzählt wird. Zum Beispiel: „Familie Kaya geht ins Schwimmbad. Wie viel müssen sie zusammen zahlen?“ Du sollst nicht nur rechnen, sondern zuerst herausfinden, was du ausrechnen musst. Manchmal nennt man sie auch Textaufgaben oder Rechengeschichten.

Sachaufgaben sind für viele schwerer als reine Rechenaufgaben wie 14 + 12. Das liegt selten am Rechnen selbst. Schwierig ist, aus dem Text die richtige Rechnung zu machen und am Ende zu prüfen, ob das Ergebnis zur Geschichte passt. Dafür gibt es einen festen Weg, den du hier lernst. Er funktioniert mit allen vier Grundrechenarten (Die vier Grundrechenarten).

Der Weg in sechs Schritten

Wenn du eine Sachaufgabe vor dir hast, gehst du immer gleich vor. So vermeidest du, einfach irgendwelche Zahlen zu verrechnen.

Frage und Angaben finden

Eine Angabe ist eine Information aus dem Text, meist eine Zahl mit Einheit. Die Frage sagt dir, was am Ende herauskommen soll. Unterstreiche die Frage und markiere die Angaben in einer Farbe.

Die Aufgabe hat zwei Schritte. Das siehst du daran, dass du ein Zwischenergebnis brauchst: erst 14 € und 12 €, dann die Summe. Bei solchen Aufgaben lohnt sich eine Tabelle. Sie ordnet die Zahlen und zeigt, was noch fehlt.

Skizze, Streckenmodell und Zeitstrahl

Wenn du nicht weißt, was zu rechnen ist, zeichne die Situation. Das hilft, weil du die Geschichte sehen kannst. Drei Zeichnungen sind besonders nützlich.

Das Streckenmodell

Ein Streckenmodell zeichnet Mengen als Balken. Gleich große Mengen bekommen gleich lange Teilstücke. Es eignet sich für Aufgaben mit „doppelt so viel“, „dreimal so viel“ oder „zusammen“.

Der Zeitstrahl

Bei Aufgaben mit Uhrzeiten und Zeitspannen hilft ein Zeitstrahl. Das ist ein Zahlenstrahl für die Uhr. Du gehst in handlichen Schritten vorwärts, zuerst zur vollen Stunde, dann den Rest (Uhrzeit und Zeitspanne).

Tabelle und Skizze

Die Tabelle kennst du schon vom Schwimmbad. Eine Skizze ist eine schnelle Zeichnung ohne genaue Maße. Zeichne zum Beispiel ein Rechteck für einen Garten und schreibe die Längen dazu. Sie muss nicht schön sein, aber sie soll zeigen, was zusammengehört.

Rechnen und Antwortsatz

Schreibe deine Rechnung vollständig auf, mit allen Zahlen und Rechenzeichen, damit andere sie nachvollziehen können. Große oder schwierige Zahlen rechnest du in einer Nebenrechnung, zum Beispiel halbschriftlich in Schritten oder schriftlich.

Zum Schluss schreibst du einen Antwortsatz. Das ist ein ganzer Satz, der die Frage beantwortet und die Einheit enthält. Ein einzelnes „26“ reicht nicht. Besser: „Familie Kaya zahlt zusammen 26 €.“ Der Antwortsatz zeigt, dass du die Frage verstanden hast.

Achte auf die Einheiten. Du kannst nur gleiche Einheiten zusammenzählen. Rechne also 2 m und 30 cm zuerst in dieselbe Einheit um. Das gilt auch beim Rechnen mit Geld: Aus 1,20 € und 80 ct machst du zuerst 1,20 € und 0,80 €.

Überschlag und Probe

Vor und nach dem Rechnen prüfst du, ob dein Ergebnis stimmen kann. Dafür gibt es zwei Werkzeuge.

Der Überschlag rechnet grob mit gerundeten Zahlen und sagt dir, wie groß das Ergebnis ungefähr sein muss (Überschlag beim Rechnen). Die Probe prüft das Ergebnis genau: Du rechnest die Umkehraufgabe oder setzt das Ergebnis in die Geschichte ein (Umkehraufgabe).

Frage dich außerdem: Passt das Ergebnis zur Geschichte? Eine Mutter, die 200 Jahre alt ist, oder ein Bus mit 3,5 Fahrgästen kann nicht stimmen.

Überflüssige, fehlende und sinnlose Angaben

In Schulaufgaben passen die Angaben meist genau. In echten Problemen ist das oft anders. Deshalb gehört das Prüfen der Angaben zum Lösen.

• Überflüssige Angabe: „Lena kauft 4 Hefte zu je 1,20 €. Sie ist 10 Jahre alt, und jedes Heft hat 32 Seiten. Wie viel kosten die Hefte?“ Das Alter und die Seitenzahl brauchst du nicht. Es ist 4 · 1,20 € = 4,80 €.
• Fehlende Angabe: „Lena kauft Hefte. Ein Heft kostet 1,20 €. Wie viel bezahlt sie?“ Hier fehlt die Anzahl der Hefte. Ohne sie gibt es keine Lösung.
• Ergebnis zur Sache passend machen: „130 Kinder fahren mit Bussen mit je 45 Plätzen. Wie viele Busse braucht man?“ Du rechnest 130 : 45 und erhältst etwa 2,9. Da du keinen Teil eines Busses mieten kannst, brauchst du 3 Busse. Hier wird aufgerundet.

Merke dir deshalb: Zahlen im Text sind keine Befehle. Rechne nur, was zur Frage gehört. Gibt der Text keine Antwort her, schreibst du: „Das lässt sich nicht berechnen.“

Aufgabentypen und die Falle der Signalwörter

Viele Aufgaben folgen einem Muster. Wenn du das Muster erkennst, weißt du, welche Rechenart passt.

Manche Lehrkräfte geben dir Signalwörter: „mehr“ heißt plus, „weniger“ heißt minus, „je“ heißt mal. Das hilft oft, aber nicht immer.

Stell dir die Situation immer vor, statt nur auf einzelne Wörter zu achten. Zeichne im Zweifel ein Streckenmodell. Aufgaben wie „3 Brötchen kosten 1,20 €, wie viel kosten 7?“ löst du später mit dem Dreisatz (Dreisatz bei direkter Proportionalität). Mit Gleichungen und Variablen geht es weiter bei den Textaufgaben der Algebra.

Typische Fehler

Übungen

Mehr Aufgaben für verschiedene Klassenstufen findest du unter Sachaufgaben für die Grundschule.

Geschichte: Rechengeschichten sind uralt

Sachaufgaben gibt es, seit Menschen Mathematik aufschreiben. Im ägyptischen Papyrus Rhind, der gut 3.500 Jahre alt ist, steht zum Beispiel eine Aufgabe (Nr. 40), in der 100 Brote so an fünf Männer verteilt werden sollen, dass die Anteile gleichmäßig wachsen (Aha-Aufgaben). Auch die Aufgabensammlung, die man dem Gelehrten Alkuin um das Jahr 800 zuschreibt, enthält Rätsel für die Jugend, darunter die Aufgabe mit Wolf, Ziege und Kohlkopf (Mittelalterliche Mathematik).

Aus dem Alltag nahm auch Adam Ries seine Aufgaben. In seinen Rechenbüchern des 16. Jahrhunderts rechnete er Preise, Löhne, Gewichte und Maße für Händler und Handwerker vor, und zwar auf Deutsch statt auf Latein.

Die Kapitänsaufgabe hat einen literarischen Vorläufer: Der Schriftsteller Gustave Flaubert fragte 1841 seine Schwester in einem Brief nach dem Alter eines Kapitäns, nachdem er sehr viele Angaben über ein Schiff aufgezählt hatte. Die Französin Stella Baruk nannte ein Buch über Irrtümer im Mathematikunterricht nach dieser Frage (deutsch 1989). Das Kapitänssyndrom trägt seinen Namen von der Aufgabe aus Grenoble.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Sachaufgabe
• Wikipedia: Kapitänssyndrom
• Stella Baruk: Wie alt ist der Kapitän? Über den Irrtum in der Mathematik, aus dem Französischen von Gerhard Herrgott, Birkhäuser, Basel 1989.
• Marianne Franke, Silke Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens, 2. Auflage, Spektrum, Heidelberg 2010.