Rechner · Oberstufe und Studium
Rechner für komplexe Zahlen: rechnen, Polarform und Wurzeln
Der Rechner rechnet mit komplexen Zahlen exakt in der Normalform a + bi, zeigt jeden Schritt, bestimmt Betrag, Winkel und Polarform und findet alle n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl samt Bild in der Gaußschen Zahlenebene.
So benutzt du den Rechner
Im Modus „mit komplexen Zahlen rechnen“ gibst du einen Ausdruck mit der imaginären Einheit i ein, etwa (3+4i)*(1-2i), (2+3i)/(1-i), (1+i)^8 oder sqrt(-16). Der Rechner gibt das Ergebnis in der Normalform a + bi an und darunter Realteil, Imaginärteil, Betrag, Winkel, Polarform und die konjugierte Zahl. Im Modus „alle n-ten Wurzeln“ gibst du eine Zahl z und den Wurzelexponenten n ein.
Rechnen in der Normalform
Komplexe Zahlen addiert man getrennt nach Real- und Imaginärteil. Beim Multiplizieren wird jedes Glied mit jedem multipliziert, und überall, wo i² entsteht, setzt man −1 ein:
Beim Dividieren erweitert man den Bruch mit der konjugierten Zahl des Nenners, dann wird der Nenner reell. Für (2 + 3i) : (1 − i) erweitert man mit 1 + i: Der Zähler wird −1 + 5i, der Nenner 1² + 1² = 2. Das Ergebnis ist −1/2 + 5/2 · i.
Betrag, Winkel und Polarform
Jede komplexe Zahl ist ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene: Der Realteil ist die waagerechte, der Imaginärteil die senkrechte Koordinate. Der Abstand vom Ursprung heißt Betrag, der Winkel zur reellen Achse Argument. Für 11 − 2i ist der Betrag √(121 + 4) = √125 = 5√5 ≈ 11,18. In der Polarform multipliziert man komplexe Zahlen, indem man die Beträge multipliziert und die Winkel addiert. Deshalb ist (1 + i)8 leicht: Der Betrag √2 hoch 8 ergibt 16, der Winkel 45° mal 8 ergibt 360°, also wieder die reelle Achse. Das Ergebnis ist genau 16.
Alle n-ten Wurzeln
Im Komplexen hat jede Zahl außer 0 genau n verschiedene n-te Wurzeln. Sie haben alle denselben Betrag und liegen als Ecken eines regelmäßigen n-Ecks um den Ursprung. Die dritten Wurzeln von −8 sind −2 und 1 ± √3 · i ≈ 1 ± 1,732i. Der Rechner bestimmt sie mit der Formel von Abraham de Moivre und zeichnet das Dreieck in die Zahlenebene.
Die Grundlagen erklärt die Lernseite Komplexe Zahlen. Übungsaufgaben mit Lösungen gibt es auf dem Arbeitsblatt Komplexe Zahlen, quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen löst der Rechner für quadratische Gleichungen.
Häufige Fragen
Was ist i?
i ist eine Zahl, deren Quadrat −1 ist. Sie gehört nicht zu den reellen Zahlen. Mit ihr lässt sich jede komplexe Zahl als a + bi mit reellen Zahlen a und b schreiben.
Was bedeutet konjugiert?
Die konjugierte Zahl zu a + bi ist a − bi, also an der reellen Achse gespiegelt. Das Produkt beider ist a² + b², eine reelle Zahl. Deshalb hilft sie beim Dividieren.
Warum zeigt der Rechner Winkel im Bogenmaß und in Grad?
In der Mathematik rechnet man meist im Bogenmaß, in der Schule oft in Grad. Der Rechner gibt beides an, damit du mit deinem Buch oder Taschenrechner vergleichen kannst.
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