Abraham de Moivre

Abraham de Moivre (1667–1754) war ein französisch-englischer Mathematiker, der als Protestant aus Frankreich nach London floh und dort sein Leben lang vom Unterricht und von Beratungen lebte. Zwei seiner Ergebnisse stehen noch heute in vielen Büchern: die Formel von de Moivre für Potenzen komplexer Zahlen und die Entdeckung, dass sich die Ergebnisse langer Münzwurf-Reihen einer Glockenkurve annähern, die wir heute Normalverteilung nennen.

Mit seinem Buch The Doctrine of Chances („Die Lehre vom Zufall“, 1718) schuf de Moivre ein Standardwerk der frühen Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er baute auf den Arbeiten von Jakob Bernoulli auf, war mit Isaac Newton befreundet und blieb doch zeitlebens ohne feste Stelle an einer Universität. Er steht für die Mathematik des 18. Jahrhunderts, in der Zufall und Statistik erstmals zu eigenen Wissenschaften wurden.

Leben: Ein Hugenotte in London

Jugend in Frankreich

De Moivre wurde am 26. Mai 1667 in Vitry-le-François in der Champagne geboren. Seine Familie gehörte zu den Hugenotten, den französischen Protestanten, die in dem katholischen Land eine Minderheit mit Sonderrechten bildeten. Er besuchte von 1678 bis 1681 die protestantische Schule in Sedan, studierte danach bis 1684 in Saumur Logik und Mathematik und nahm in Paris Privatstunden bei Jacques Ozanam.

1685 hob König Ludwig XIV. mit dem Edikt von Fontainebleau die Rechte der Protestanten auf. Wer nicht zum katholischen Glauben übertrat, geriet in Gefahr. De Moivre wurde in einer Pariser Klosteranlage festgehalten, damit er seinen Glauben wechsle, und kam am 27. April 1688 frei. Im selben Jahr ging er nach England.

Ein Leben vom Unterricht

In London verdiente de Moivre sein Geld als Privatlehrer für Mathematik und als Berater für Glücksspiel- und Versicherungsfragen. Er verbrachte viel Zeit in Kaffeehäusern, den Treffpunkten der Gelehrten, wahrscheinlich im Slaughter’s Coffee House. Er lernte Edmond Halley und Isaac Newton kennen und wurde Newtons enger Freund; zeitweise sollen die beiden fast täglich diskutiert haben. Am 30. November 1697 wählte ihn die Royal Society zum Mitglied, und Anfang der 1710er-Jahre gehörte er zu dem Ausschuss, der den Streit zwischen Newton und Leibniz um die Erfindung der Infinitesimalrechnung prüfen sollte.

„Geht zu Herrn de Moivre, er versteht diese Dinge besser als ich.“

Trotz dieses Rufes bekam de Moivre nie eine feste Stelle an einer Universität und blieb arm. Er starb am 27. November 1754 in London im Alter von 87 Jahren, kurz nachdem ihn die Pariser Akademie der Wissenschaften aufgenommen hatte.

The Doctrine of Chances: Die Lehre vom Zufall

1711 veröffentlichte de Moivre in den Philosophical Transactions der Royal Society die lateinische Abhandlung De mensura sortis („Vom Messen des Loses“). Daraus entstand 1718 das englische Buch The Doctrine of Chances, das 1738 und 1756 in erweiterter Form erschien. Es behandelt Würfel-, Karten- und Glücksspielaufgaben systematisch und zeigt, wie man Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse miteinander multipliziert: Die Chance, mit zwei Würfeln zwei Sechsen zu werfen, ist 1/6 · 1/6 = 1/36.

Von der Münze zur Glockenkurve

Wirft man eine faire Münze n-mal, ist die Zahl der Köpfe eine Zufallszahl. Die Wahrscheinlichkeit für genau k Köpfe lässt sich mit Binomialkoeffizienten ausrechnen: Es gibt C(n, k) günstige Folgen unter insgesamt 2ⁿ möglichen. Bei 10 Würfen erhält man für genau 5 Köpfe 252/1024 ≈ 24,6 %. Doch schon bei 100 Würfen haben diese Zahlen rund 30 Stellen. Jakob Bernoulli hatte gezeigt, dass sich das Verhältnis von Köpfen und Würfen immer mehr dem Wert 1/2 nähert, aber nicht, wie dicht die Werte um die Mitte streuen.

De Moivre fand 1733 einen Weg, die Binomialkoeffizienten für große n mit einer einfachen Formel anzunähern. Seine Näherung beschreibt eine glockenförmige Kurve, die sich immer genauer an die Säulen schmiegt, je größer n wird. Er veröffentlichte sie zunächst in einem lateinischen Heft vom 13. November 1733 und nahm sie 1738 in die zweite Auflage seiner Doctrine of Chances auf. Für eine faire Münze und große n lautet das Ergebnis:

Dabei ist μ = n/2 der Mittelwert (bei 100 Würfen 50 Köpfe) und σ = √n / 2 die Standardabweichung, ein Maß dafür, wie breit die Glocke ist. Überraschend taucht in der Formel neben der Eulerschen Zahl e ≈ 2,71828 auch die Kreiszahl π auf.

De Moivre rechnete zunächst nur für die faire Münze, und er sprach nicht von einer „Normalverteilung“. Den Fall beliebiger Erfolgswahrscheinlichkeiten behandelte 1812 Pierre-Simon Laplace; deshalb spricht man vom Satz von de Moivre und Laplace. Er gilt als erster Sonderfall des zentralen Grenzwertsatzes, nach dem sich Summen vieler kleiner zufälliger Einflüsse immer der Glockenkurve nähern. Später verwendete Carl Friedrich Gauß sie für Messfehler, weshalb sie auch Gaußsche Glockenkurve heißt.

Die Formel von de Moivre

Die zweite berühmte Entdeckung gehört zu den komplexen Zahlen. Eine komplexe Zahl hat die Form a + b·i, wobei i die „imaginäre Einheit“ ist, für die i² = −1 gilt. Die Zahl cos φ + i · sin φ entspricht einem Punkt auf dem Kreis mit Radius 1 im Winkel φ. De Moivre zeigte, dass das Potenzieren dieser Zahl den Winkel vervielfacht:

In dieser Schreibweise hat de Moivre die Gleichung nie hingeschrieben; sie folgt aber aus Ergebnissen, die er 1722 veröffentlichte, und wurde durch Eulers Introductio von 1748 zu einer gewöhnlichen Rechenregel. Mit der Formel lassen sich Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen leicht berechnen, und sie liefert Formeln für Vielfache von Winkeln, zum Beispiel cos 2φ = cos²φ − sin²φ.

Näherung für Fakultäten und die Berechnung von Leibrenten

Um die Binomialkoeffizienten für große n abzuschätzen, brauchte de Moivre eine Näherung für die Fakultät n! = 1 · 2 · … · n. In den Miscellanea analytica (1730) fand er n! ≈ C · √n · (n/e)ⁿ mit einer Konstanten C, die er zunächst nur näherungsweise kannte. Der Schotte James Stirling bestimmte sie als √(2π); de Moivre nannte ihn dafür 1738 ausdrücklich. Heute spricht man von der Stirling-Formel n! ≈ √(2πn) · (n/e)ⁿ. Für n = 10 liefert sie 3.598.696 statt des genauen Werts 3.628.800, ein Fehler von weniger als einem Prozent.

Ein weiteres Gebiet war die Versicherungsmathematik. In Annuities upon Lives (Mitte der 1720er-Jahre) zeigte de Moivre, wie man den gerechten Preis einer Leibrente berechnet, also einer Rente, die jemand bis zu seinem Tod erhält. Dazu vereinfachte er die damals bekannten Sterbetafeln: Er nahm an, dass die Zahl der Überlebenden jedes Jahr um dieselbe Anzahl abnimmt, bis zu einem Höchstalter von 86 Jahren.

Zeitleiste: Abraham de Moivres Leben

1. 1667 Geburt am 26. Mai in Vitry-le-François
2. 1685 Das Edikt von Fontainebleau nimmt den Protestanten ihre Rechte; de Moivre wird festgehalten
3. 1688 Freilassung und Flucht nach England
4. 1697 Aufnahme in die Royal Society
5. 1711 De mensura sortis in den Philosophical Transactions
6. 1718 The Doctrine of Chances
7. 1733 Die Glockenkurve als Näherung der Binomialverteilung
8. 1754 Tod am 27. November in London

Bedeutung und Nachwirkung

Die Glockenkurve ist heute das wichtigste Werkzeug der Statistik. Messfehler, Körpergrößen, Schulnoten, die Füllmenge von Getränkeflaschen oder Wahlumfragen lassen sich damit beschreiben. Hinter jeder Umfrage mit Fehlerbereich steckt de Moivres Idee: Aus Zufall wird bei großen Zahlen Berechenbarkeit.

Quellen und weiterführende Literatur

• Anders Hald: A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley, New York 1990.
• Ivo Schneider (Hrsg.): Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Einführungen und Texte. Akademie-Verlag, Berlin 1988.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Springer, Berlin 2008/2009.
• MacTutor History of Mathematics: Abraham de Moivre (englisch)
• Wikipedia: Abraham de Moivre