William Rowan Hamilton

William Rowan Hamilton (1805–1865) war ein irischer Mathematiker, Physiker und Astronom. Am 16. Oktober 1843 entdeckte er auf einem Spaziergang durch Dublin die Quaternionen, Zahlen mit vier Bestandteilen, bei denen es auf die Reihenfolge ankommt. Die Formel dazu ritzte er nach eigenem Bericht in eine Brücke: i² = j² = k² = ijk = −1. Außerdem schrieb er die Mechanik in eine Form um, die heute als Hamiltonsche Mechanik in der gesamten theoretischen Physik gebraucht wird.

Hamilton galt schon als junger Mann als Genie. Mit Anfang zwanzig wurde er Königlicher Astronom von Irland. Sein Name steckt noch in vielen Begriffen: im Hamilton-Operator der Quantenmechanik, in den Hamiltonschen Gleichungen und im Hamiltonkreis, einem Rundweg durch ein Netz, der jeden Punkt genau einmal besucht.

Kindheit und Studium: ein Sprachtalent in Dublin

Hamilton wurde am 4. August 1805 in Dublin geboren, als viertes von neun Kindern eines Rechtsanwalts. Weil der Vater oft beruflich unterwegs war, wuchs er bei einem Onkel auf, der Geistlicher und Sprachlehrer war. Mit fünf Jahren las er Latein, Griechisch und Hebräisch; später lernte er viele weitere Sprachen. Mathematik begeisterte ihn früh, und mit 18 Jahren trat er in das Trinity College in Dublin ein. Dort war er in fast allen Fächern der Beste.

1827 wurde er noch als Student zum Professor für Astronomie ernannt, mit dem Titel Royal Astronomer of Ireland. Damit bekam er das Observatorium in Dunsink bei Dublin als Wohnsitz. Er beschäftigte sich dort vor allem mit Theorie. 1833 heiratete er Helen Bayly, die Ehe verlief jedoch nicht glücklich. 1835 wurde er zum Ritter geschlagen.

Optik: eine Vorhersage, die sich bestätigte

1832 sagte Hamilton allein aus der mathematischen Wellentheorie des Lichts voraus, dass ein Lichtstrahl in einem bestimmten Kristall (einem zweiachsigen Kristall wie Aragonit) nicht nur zwei Strahlen ergibt, sondern einen ganzen Lichtkegel. Dieser Effekt heißt konische Refraktion. Der Physiker Humphrey Lloyd wies ihn kurz darauf im Experiment nach. Es war ein Triumph der Mathematik: Eine Rechnung hatte ein Naturphänomen vorausgesagt, das vorher niemand gesehen hatte.

Hamiltonsche Mechanik: Bewegung aus einer einzigen Funktion

In Aufsätzen von 1834 und 1835 baute Hamilton die Mechanik von Joseph-Louis Lagrange weiter aus, die ihrerseits auf den Gesetzen von Isaac Newton beruht. Seine Idee: Man beschreibt ein System durch eine einzige Funktion H, die Gesamtenergie, in Abhängigkeit vom Ort q und vom Impuls p (Masse mal Geschwindigkeit). Die Bewegung folgt dann aus den Hamiltonschen Gleichungen:

Die neue Schreibweise ist elegant und lässt sich auf Aufgaben ausdehnen, die Newtons Methode kaum bewältigt. Carl Gustav Jacob Jacobi entwickelte sie weiter zur Hamilton-Jacobi-Theorie. In der Quantenmechanik ersetzt man H durch den Hamilton-Operator, so dass Hamiltons Idee in die Atomphysik weiterwirkt.

Quaternionen: ein neues Zahlensystem

Die Suche nach dreiteiligen Zahlen

Komplexe Zahlen der Form a + bi lassen sich als Punkte in der Ebene deuten, und ihre Multiplikation beschreibt Drehungen und Streckungen. Hamilton wollte dasselbe für den dreidimensionalen Raum erreichen und suchte mit „Tripeln“ a + bi + cj ein passendes Rechnen. Er scheiterte rund 15 Jahre lang. Nach seiner eigenen Erzählung fragten ihn seine Söhne beim Frühstück, ob er Tripel nun multiplizieren könne, und er musste antworten, er könne sie nur addieren und subtrahieren.

Die Eingebung auf der Brücke

Am 16. Oktober 1843 ging Hamilton mit seiner Frau am Royal Canal entlang zu einer Sitzung der Royal Irish Academy. Auf der Broome Bridge (auch Brougham Bridge genannt) kam ihm die Lösung: Man braucht vier statt drei Bestandteile, und man muss auf ein vertrautes Gesetz verzichten, nämlich dass a · b immer gleich b · a ist. Er schrieb später, er habe der Versuchung nicht widerstehen können, die Formel mit einem Messer in einen Stein der Brücke zu ritzen. Am nächsten Tag beschrieb er seinen Gedankengang in einem Brief an seinen Freund John T. Graves.

Rechnen mit Quaternionen

Eine Quaternion hat die Form q = a + bi + cj + dk mit reellen Zahlen a, b, c, d. Die drei „imaginären Einheiten“ i, j, k gehorchen den Regeln

Daraus folgt ij = k, jk = i und ki = j, aber in der anderen Reihenfolge ein Minuszeichen: ji = −k, kj = −i, ik = −j. Den Zusammenhang zeigt ein Merkdreieck.

Wozu Quaternionen gut sind

Quaternionen der Länge 1 beschreiben Drehungen im Raum. Computerspiele, Animationsfilme, Drohnen und Raumsonden nutzen sie, weil sie sich schnell berechnen lassen und anders als Winkelangaben nicht „verhaken“. Außerdem stammen die Wörter Skalar und Vektor aus Hamiltons Arbeit: Den reellen Teil nannte er Skalar, den Rest Vektor. Aus seinem Kalkül destillierten später Josiah Willard Gibbs und Oliver Heaviside die heutige Vektorrechnung. Die Idee, dass man in der Algebra auf die Vertauschbarkeit verzichten kann, bereitete den Boden für die Matrizen von Arthur Cayley, deren Multiplikation ebenfalls von der Reihenfolge abhängt.

Das Icosian Game und der Hamiltonkreis

1857 entwarf Hamilton ein Spiel: Die Ecken eines Dodekaeders, eines Körpers mit zwölf Fünfecken und 20 Ecken, trugen die Namen von Städten. Aufgabe war es, einen geschlossenen Weg entlang der Kanten zu finden, der jede Ecke genau einmal besucht. Einen solchen Rundweg nennt man heute Hamiltonkreis. Ein Londoner Spielzeughändler kaufte die Rechte für 25 Pfund. Im Unterschied zu Eulers Brückenproblem, bei dem jede Kante genau einmal vorkommen soll, kennt man für Hamiltonkreise in großen Netzen bis heute kein schnelles Verfahren. Verwandt ist das Problem des Handlungsreisenden.

Späte Jahre und Tod

Nach 1843 widmete Hamilton den Rest seines Lebens den Quaternionen. 1853 erschienen die Lectures on Quaternions, das Hauptwerk Elements of Quaternions blieb unvollendet und wurde erst 1866 von seinem Sohn veröffentlicht. Alkoholprobleme belasteten ihn und wurden 1845 bei einem Bankett öffentlich. 1864 wählte ihn die amerikanische National Academy of Sciences als ihr erstes ausländisches Mitglied. Hamilton starb am 2. September 1865 in Dunsink nach einem schweren Gichtanfall und wurde auf dem Mount Jerome Cemetery in Dublin beerdigt.

Zeitleiste: William Rowan Hamiltons Leben

1. 1805 Geburt am 4. August in Dublin
2. 1823 Eintritt in das Trinity College Dublin
3. 1827 Professor für Astronomie und Royal Astronomer of Ireland
4. 1832 Vorhersage der konischen Refraktion
5. 1834 Aufsatz zur Dynamik (Hamiltonsche Mechanik)
6. 1835 Ritterschlag
7. 1843 Entdeckung der Quaternionen am 16. Oktober
8. 1857 Icosian Game
9. 1864 Erstes ausländisches Mitglied der National Academy of Sciences (USA)
10. 1865 Tod am 2. September in Dunsink

Bedeutung heute

• Physik: Die Hamiltonsche Mechanik ist die Grundlage der Quantenmechanik und der Himmelsmechanik.
• Technik: Quaternionen steuern Lagesensoren in Smartphones, Satelliten und Computerspielen.
• Informatik: Der Hamiltonkreis ist ein Standardproblem der Netzwerk- und Routenplanung.
• Algebra: Quaternionen waren das erste Zahlensystem, in dem die Reihenfolge der Faktoren eine Rolle spielt.

Im Zusammenhang der Mathematik des 19. Jahrhunderts steht Hamilton für den Schritt der Algebra, sich von den gewohnten Rechenregeln zu lösen.

Häufige Fragen

Was sind Quaternionen?

Quaternionen sind Zahlen der Form a + bi + cj + dk mit i² = j² = k² = ijk = −1. Ihre Multiplikation ist nicht kommutativ, das Ergebnis hängt also von der Reihenfolge der Faktoren ab.

Was ist ein Hamiltonkreis?

Ein Hamiltonkreis ist ein geschlossener Weg durch ein Netz aus Punkten und Verbindungen, der jeden Punkt genau einmal besucht. Der Name geht auf Hamiltons Icosian Game von 1857 zurück.

Wann lebte William Rowan Hamilton?

Er wurde am 4. August 1805 in Dublin geboren und starb am 2. September 1865 in Dunsink bei Dublin.

Quellen und weiterführende Literatur

• Thomas L. Hankins: Sir William Rowan Hamilton, Johns Hopkins University Press, Baltimore 1980.
• Simon L. Altmann: Rotations, Quaternions, and Double Groups, Clarendon Press, Oxford 1986.
• MacTutor History of Mathematics: William Rowan Hamilton (englisch)
• Wikipedia: William Rowan Hamilton (deutsch)