Extremwertaufgaben: Arbeitsblatt mit Lösungen

Lösungen

1. Seiten x und 20 − x, A(x) = x(20 − x) = 20x − x². A′(x) = 20 − 2x = 0 ergibt x = 10. Das Quadrat mit 10 cm Seitenlänge hat die größte Fläche, 100 cm².
2. Zahlen x und x − 10, P(x) = x² − 10x. P′(x) = 2x − 10 = 0 ergibt x = 5. Die Zahlen sind 5 und −5, das kleinste Produkt ist −25.
3. Zwei Seiten x quer zur Mauer, eine Seite 60 − 2x parallel. A(x) = x(60 − 2x) = 60x − 2x². A′(x) = 60 − 4x = 0 ergibt x = 15. Die Weide ist 15 m tief und 30 m lang, die Fläche beträgt 450 m².
4. V(x) = x(30 − 2x)² mit 0 < x < 15. V′(x) = (30 − 2x)(30 − 6x) = 0 ergibt x = 5 (x = 15 ist der Rand mit V = 0). V(5) = 5 · 20² = 2000 cm³.
5. Ecken bei ±u: A(u) = 2u(9 − u²) = 18u − 2u³. A′(u) = 18 − 6u² = 0 ergibt u = √3 ≈ 1,73. Das Rechteck ist 2√3 ≈ 3,46 breit und 6 hoch, A = 12√3 ≈ 20,78.
6. Aus πr²h = 1000 folgt h = 1000 : (πr²). O(r) = 2πr² + 2000 : r. O′(r) = 4πr − 2000 : r² = 0 ergibt r³ = 500 : π, also r ≈ 5,42 cm und h ≈ 10,84 cm. Die Höhe ist gleich dem Durchmesser, die Oberfläche beträgt etwa 553,6 cm².
7. d²(x) = x² + (x² − 2)² = x⁴ − 3x² + 4. Ableitung 4x³ − 6x = 0 ergibt x = 0 oder x² = 1,5. Bei x = ±√1,5 ≈ ±1,22 ist d² = 1,75, also d ≈ 1,32 (bei x = 0 wäre d = 2). Die gesuchten Punkte sind (±1,22 | −0,5).
8. Halbkreisradius r, Rechteck 2r breit und h hoch. Umfang 2r + 2h + πr = 6, also h = (6 − 2r − πr) : 2. Fläche A(r) = 2rh + πr² : 2 = 6r − (2 + π/2)r². A′(r) = 6 − (4 + π)r = 0 ergibt r = 6 : (4 + π) ≈ 0,84 m. Das Rechteck ist etwa 1,68 m breit und 0,84 m hoch, die Fläche beträgt etwa 2,52 m².
9. Preiserhöhung x Euro: Gewinn G(x) = (6 + x)(200 − 10x) = 1200 + 140x − 10x². G′(x) = 140 − 20x = 0 ergibt x = 7. Beim Preis von 17 € werden 130 Stück verkauft, der Gewinn beträgt 13 € · 130 = 1690 € am Tag.
10. Rechteck mit den Seiten x (auf der 6-cm-Kathete) und y. Die Ecke auf der Hypotenuse erfüllt y = 8 − (4/3)x. A(x) = 8x − (4/3)x². A′(x) = 8 − (8/3)x = 0 ergibt x = 3, y = 4. Das größte Rechteck hat 12 cm², genau die Hälfte der Dreiecksfläche.