Zentrische Streckung und Ähnlichkeit

Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur, ohne ihre Form zu ändern. Du kennst das vom Kopierer, von Landkarten und vom Zoomen am Handy. Mathematisch brauchst du dafür nur zwei Angaben: einen Punkt, von dem aus gestreckt wird, das Streckzentrum Z, und eine Zahl, den Streckfaktor k. Aus jedem Punkt der Figur entsteht dann ein Bildpunkt, und aus der Figur wird eine ähnliche Figur.

Du lernst Konstruktion, negativen Streckfaktor und Eigenschaften der Abbildung, ähnliche Dreiecke mit den Ähnlichkeitssätzen, das Wachstum von Flächen mit k² und Volumen mit k³ und Anwendungen wie Maßstab und Lochkamera. Die Grundidee der Ähnlichkeit steht kurz im Abschnitt Kongruenz und Ähnlichkeit, die Streckenverhältnisse bei den Strahlensätzen.

Streckzentrum und Streckfaktor

Lege einen Punkt Z fest. Zeichne von Z aus einen Strahl durch einen Punkt P der Figur. Auf diesem Strahl liegt der Bildpunkt P′. Seine Entfernung von Z ist das k-Fache der Entfernung von P. Das machst du mit allen Punkten, am besten mit den Ecken der Figur. Verbindest du die Bildpunkte, erhältst du das Bild.

Liegt Z im Ursprung, ist die Rechnung besonders einfach: Aus $P(x|y)$ wird $P^{\prime }(kx|ky)$. Du multiplizierst beide Koordinaten mit k. Liegt Z woanders, multiplizierst du den Vektor von Z zu P mit k und trägst ihn von Z aus ab.

Konstruktion mit Geodreieck und Zirkel

Zeichnen kannst du die Streckung mit wenigen Schritten. Für jeden Eckpunkt gehst du so vor:

1. Zeichne mit dem Lineal einen Strahl von Z durch den Punkt P.
2. Miss die Länge der Strecke ZP.
3. Berechne die Länge ZP′ = |k| · ZP und trage sie von Z aus auf dem Strahl ab (bei negativem k auf dem Gegenstrahl). Du erhältst P′.
4. Verbinde die Bildpunkte in derselben Reihenfolge wie im Original.

Beispiel: Ist ZA = 3 cm und k = 2,5, dann ist ZA′ = 7,5 cm. Hast du A′ gefunden, genügt für alle weiteren Punkte eine Parallele: Die Bildstrecke A′B′ ist parallel zu AB. Du zeichnest durch A′ die Parallele zu AB (Anleitung bei Lot und Parallele) und schneidest sie mit dem Strahl ZB. Das ist genau die Strahlensatzfigur.

Der negative Streckfaktor

Auch negative Streckfaktoren sind erlaubt. Dann liegt der Bildpunkt nicht auf dem Strahl von Z durch P, sondern auf dem Strahl in die entgegengesetzte Richtung. Das Bild liegt also auf der anderen Seite von Z. Wie weit es entfernt ist, bestimmt der Betrag: Bei k = −2 ist der Bildpunkt doppelt so weit von Z weg wie das Original, nur auf der Gegenseite. Mit Zentrum im Ursprung gilt weiter $P^{\prime }(kx|ky)$, und die Koordinaten wechseln das Vorzeichen.

Im Bild wird das Dreieck mit $P(1|1)$, $Q(3|1)$ und $R(2|3)$ mit $k=-2$ gestreckt. Es entstehen $P^{\prime }(-2|-2)$, $Q^{\prime }(-6|-2)$ und $R^{\prime }(-4|-6)$. Das Bild wirkt „auf den Kopf gestellt“. Der Umlaufsinn bleibt aber derselbe: Beide Dreiecke werden gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen, wenn du die Ecken in der Reihenfolge P, Q, R abgehst.

Eigenschaften der zentrischen Streckung

Die Gründe liefern die Strahlensätze. Aus dem ersten Strahlensatz mit seiner Umkehrung folgt, dass A′B′ parallel zu AB ist, denn die Strecken auf den Strahlen stehen im gleichen Verhältnis. Aus dem zweiten Strahlensatz folgt $A^{\prime }{B}^{\prime }=\left|k\right|·AB$. Weil alle Seiten mit demselben Faktor wachsen und parallel bleiben, bleiben auch die Winkel gleich.

Ähnliche Figuren

Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn die eine aus der anderen durch eine zentrische Streckung und eventuell eine Verschiebung, Drehung oder Spiegelung entsteht. Sie haben dann die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe. Für Dreiecke schreibt man $ABC\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Entsprechende Winkel sind gleich, entsprechende Seiten stehen im gleichen Verhältnis k. Sind die Figuren auch gleich groß, nennt man sie kongruent. Wie man Figuren verschiebt, dreht und spiegelt, ohne ihre Größe zu ändern, zeigt die Seite Kongruenzabbildungen.

Die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

Um zu beweisen, dass zwei Dreiecke ähnlich sind, musst du nicht alle Stücke vergleichen. Wie bei den Kongruenzsätzen genügen wenige.

Flächen wachsen mit k², Volumen mit k³

Verdoppelst du alle Längen, wird die Fläche nicht doppelt, sondern vierfach so groß. In ein Quadrat mit der Seite 2 passen vier Einheitsquadrate, in ein Quadrat mit der Seite 3 sogar neun. Eine Fläche hat zwei Richtungen, und in beiden wird mit k multipliziert. Bei einem Körper kommt eine dritte Richtung dazu.

Rückwärts rechnest du mit der Wurzel. Soll eine Fläche doppelt so groß werden, brauchst du $k=\sqrt{2}\approx \mathrm{1,41}$. Volumenformeln stehen bei Kugel, Kegel und Pyramide.

Anwendungen: Maßstab und Lochkamera

Maßstab. Eine Landkarte im Maßstab 1 : 25.000 ist eine Verkleinerung mit $k=1/25.000$. Eine Strecke von 4 cm auf der Karte ist in Wirklichkeit 100.000 cm = 1 km lang. Für Flächen gilt k²: 1 cm² auf der Karte sind in Wirklichkeit ${25.000}^2=\mathrm{625.000.000}$ cm². Das sind 62.500 m², also 6,25 Hektar. Mit Maßstäben rechnest du im Arbeitsblatt Maßstab üben und im Maßstabsrechner.

Lochkamera. Durch ein kleines Loch in einer Schachtel fällt Licht und zeichnet ein Bild auf die Rückwand. Das Bild steht auf dem Kopf und ist seitenverkehrt. Das Loch ist das Streckzentrum Z, und der Streckfaktor ist negativ.

Übungen

Mehr Aufgaben mit immer neuen Zahlen findest du im Arbeitsblatt Zentrische Streckung üben. Für die Strahlensätze gibt es Strahlensätze üben.

Geschichte: von der Pyramide zum Quadrat-Kubik-Gesetz

Dass ähnliche Figuren feste Verhältnisse haben, nutzten Landvermesser seit der Antike. Von Thales berichten spätere Autoren, er habe die Höhe einer Pyramide aus ihrem Schatten bestimmt. Ob er den Satz kannte, ist unsicher. Als gesichert gilt die Lehre bei Euklid: In Buch VI der Elemente (um 300 v. Chr.) behandelt er ähnliche Figuren und zeigt, dass sich die Flächen ähnlicher Dreiecke wie die Quadrate entsprechender Seiten verhalten. Im Buch XII heißt es, dass sich Kugeln wie die dritten Potenzen ihrer Durchmesser verhalten.

Welche Folgen das für die Natur hat, erkannte 1638 Galileo Galilei in seinen Discorsi. Vergrößert man ein Tier in allen Richtungen, wächst sein Gewicht mit k³, die Knochenquerschnitte aber nur mit k². Ein Riese mit den Proportionen eines Menschen würde unter seinem Gewicht zusammenbrechen. Darum sind große Tiere nicht einfach vergrößerte kleine. Die Lochkamera untersuchte Ibn al-Haitham um das Jahr 1000. Mit Projektionen vom Auge aus befasste sich später die projektive Geometrie von Girard Desargues.

Häufige Fragen

Quellen und weiterführende Literatur

• Wikipedia: Zentrische Streckung
• Wikipedia: Ähnlichkeit (Geometrie)
• David E. Joyce: Euclid’s Elements, Book VI (englisch)
• Galileo Galilei: Unterredungen und mathematische Demonstrationen über zwei neue Wissenszweige (Discorsi), 1638.
• Hans Wußing: 6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Band 1, Springer, Berlin 2008.